2
=+
=+，2c d
a b
2222
ac bd a b c d
+≤++．
(()()
证法四：（函数法）
222
=+-
()()2(
x a b x
222
+≥
c d
222
+≥
c d
22
+≥
c d
（柯西不等式的向量形式）
是两个向量，则
练习：已知a为实数，求证
2
+-．
()
b d
证法：（分析法）平方应用柯西不等式
根据两点间距离公式以及三角形的边长关系，容易发现
22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-
当且仅当点12,P P 与原点O 在同一直线上，并且12,P P 在原点O 两旁时，等号成立．
⑦定理3 （二维形式的三角不等式）
设1122,,,x y x y R ∈，则
22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-.
如何利用柯西不等式，从代数的角度证明．
证明：222221122)x y x y +++(
2222222211112222x y x y x y x y ++++++=2
222211121222x y x x y y x y ≥+++++2
222211121222()x y x x y y x y ≥+-+++2
221212()+()x -x y -y =，
所以 22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-．
证明中哪一步用了柯西不等式？
⑧→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
由于定理3对于任何实数都成立，不妨用13x -x 代1x ，用13y -y 代1y ，用23x -x 代2x ，用23y -y 代2y 代入，得
222222131323231212()()()()()()x -x y y x x y y x x y y +-+-+-≥-+- 这个不等式的几何意义是什么？
三、典型例题：
例1 已知,a b 为实数，证明4422332
()()()a b a b a b ++≥+．
证明：根据柯西不等式，有 4422222332()()()()a b a b a a b b a b ++≥?+?=+．
例1中的哪4个数分别对应柯西不等式中的,,,a b c d ？
例2 求函数51102y x x =-+-的最大值？
分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演