考点04 天体运动与人造航天器
【命题意图】
本类题通常主要考查对描述圆周运动的基本参量——线速度、角速度、周期（频率）等概念的理解，以及对牛顿第二定律、向心力公式、万有引力定律等规律的理解与应用。 【专题定位】
高考命题方式为选择题，2热点为天体质量（密度）的计算，人造卫星的运行规律的特点，卫星的发射及变轨问题。 【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题的形式出现，极个别情况下会出现在计算题中，难度一般中等；在考查内容上一般考查对描述圆周运动参量间的关系、牛顿第二定律、向心力公式、万有引力定律等基本概念和基本规律的理解与应用，有时还会涉及能量知识，同时还会考查运用控制变量法进行定性判断或定量计算的能力。 【应考策略】
(1)本考点高考命题角度为万有引力定律的理解，万有引力与牛顿运动定律的应用．
(2)正确理解万有引力及万有引力定律，掌握天体质量(密度)的估算方法，熟悉一些天体的运行常识是前提． 【得分要点】
在行星（卫星）运动中，所做匀速圆周运动的向心力由中心天体对它们的万有引力提供，即：万F ＝F n ，设中心天体的质量为M ，行星或卫星（即环绕天体）的质量为m ，根据万有引力定律、牛顿第二定律和向心力公式有：万F ＝
F n ＝2
r Mm G ＝r v m 2＝mrω2
＝224T πmr ＝ma n ，解得： v ＝
r
GM ∝r
1
①v 、ω、T 、a n 均与环绕天体本身质量m 无关，与中心天体质量M 有关； ω＝3r
GM ∝3
1r
②随着轨道半径r 的增大，v 、ω、a n 均变小，T 变大； T ＝GM
r π32∝3r ③在行星（卫星）环绕运动中，当涉及v 、ω、T 、a n 中某个参量变化，讨论
a n ＝
2r GM ∝21
r
量的变化情况时，应需注意轨道半径r 的变化，并采用控制变量法予以讨论； 万F ＝F n ＝2r Mm G
∝2
r m
④万F 或F n 与环绕天体本身质量m 、中心天体质量M 都有关。 【2017年高考选题】【2017·新课标Ⅲ卷】2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆轨道）运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的 A ．周期变大 B ．速率变大 C ．动能变大
D ．向心加速度变大
【答案】C
【考点定位】万有引力定律的应用、动能
【名师点睛】万有引力与航天试题，涉及的公式和物理量非常多，理解万有引力提供做圆周运动的向心力，适当
选用公式22
22
2π()GMm mv m r m r ma r T r
ω====，是解题的关键。要知道周期、线速度、角速度、向心加速度只与轨道半径有关，但动能还与卫星的质量有关。
【知识精讲】
1.在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供.其基
本关系式为G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m (2πT
)2r ＝m (2πf )2
r .
在天体表面，忽略自转的情况下有G Mm
R
2＝mg .
2.卫星的绕行速度v 、角速度ω、周期T 与轨道半径r 的关系
(1)由G Mm r 2＝m v 2
r
，得v ＝
GM
r
，则r 越大，v 越小. (2)由G Mm r
2＝mω2
r ，得ω＝
GM
r 3
，则r 越大，ω越小. (3)由G Mm r 2＝m 4π2
T
2r ，得T ＝
4π2r
3
GM
，则r 越大，T 越大.
3.卫星变轨
(1)由低轨变高轨，需增大速度，稳定在高轨道上时速度比在低轨道小. (2)由高轨变低轨，需减小速度，稳定在低轨道上时速度比在高轨道大. 4.宇宙速度 (1)第一宇宙速度：
推导过程为：由mg ＝mv 2
1R ＝GMm
R
2得：
v 1＝
GM
R
＝gR ＝7.9 km/s. 第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度. (2)第二宇宙速度：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
(3)第三宇宙速度：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度. 【高频考点】
高频考点一：万有引力定律及天体质量和密度求解 【解题方略】
1.利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .
由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43
πR
3＝3g 4πGR
.
2.通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .
(1)由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r
3
GT 2；
(2)若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43
πR
3＝3πr
3
GT 2R 3
；
(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π
GT
2.可
见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度. 3．解题的常见误区及提醒
(1)不能正确区分万有引力和万有引力定律．万有引力普遍存在，万有引力定律的应用有条件． (2)对公式F ＝
Gm 1m 2
r 2
，应用时应明确“r ”的意义是距离；m 1和m 2间的作用力是一对作用力与反作用力． (3)天体密度估算时，易混淆天体半径和轨道半径．
【例题1】2016年8月16日，墨子号量子科学实验卫星成功发射升空，这标志着我国空间科学研究又迈出重要一步。已知卫星在距地球表面高度为h 的圆形轨道上运动，运行周期为T ，引力常量为G ，地球半径为R ，则地球的质量可表示为（ ）
A. 23
24R GT π B. ()3224R h GT π+ C. ()224R h GT π+ D. ()2
22
4R h GT π+
【答案】B
【解析】根据万有引力提供向心力有：
()
()2
2
24GMm
m R h T
R h π=++
解得：M =
()3
22
4R h GT π+ ，故B 正确，ACD 错误。
故选：B.
高频考点二：卫星运行参量的比较 【解题方略】
1．高考考查特点
(1)高考的命题角度为人造卫星的运行参数，卫星的变轨及变轨前后的速度、能量变化．
(2)解此类题的关键是掌握卫星的运动模型，离心(向心)运动的原因及万有引力做功的特点．
不同轨道上的卫星线速度、角速度、周期、向心加速度的大小比较属于高考的常考题型。该类问题有规可循，有法可依，掌握以下两种方法，注意三种常设情形，便可快速、精准破题。
2．定量分析法
(1)列出五个连等式：
G Mm
r2
＝ma＝m
v2
r
＝mω2r＝m
4π2
T2
r
(2)导出四个表达式：
a＝G M
r2，v＝
GM
r
，ω＝
GM
r3
，T＝
4π2r3
GM
(3)结合r大小关系，比较得出a、v、ω、T的大小关系。
3．定性结论法
将下述结论牢记于心：r越大，向心加速度、线速度、动能、角速度均越小，而周期和能量均越大。4．解题常见误区及提醒
(1)对宇宙速度特别是第一宇宙速度不理解．
(2)对公式v＝GM
r
不理解，误认为阻力做功速度减小半径增大．
(3)误认为宇宙飞船处于完全失重状态时不受重力作用．
(4)分析线速度(v)、角速度(ω)、周期(T)与半径R的关系时，不能正确控制变量．
【例题2】地球赤道上的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，卫星甲、乙、丙在如图所示的三个椭圆轨道上绕地球运行，卫星甲和乙的运行轨道在P点相切。不计阻力，以下说法正确的是（）
A. 如果地球的转速为原来的倍，那么赤道上的物体将会“飘”起来而处于完全失重状态
B. 卫星甲、乙分别经过P点时的速度相等
C. 卫星甲的机械能最大
D. 卫星甲的周期最小
【答案】A
高频考点三：卫星变轨问题
【解题方略】
卫星变轨问题一般分析的是卫星变轨过程中线速度、角速度、周期、加速度、动能、势能以及机械能等的变化情况，只要按照一定的思维流程，正确分析变轨原因及特点，再联系相关知识，答案便可水落石出。
1．人造卫星运动规律分析“1、2、3”
2．分析卫星变轨应注意的3个问题
(1)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定的新轨道上的运行速度变化由v
＝GM
r
判断．
(2)卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(3)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
【例题3】发射地球同步卫星要经过三个阶段：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后使其沿椭圆轨道2运行，最
后将卫星送入同步圆轨道3．轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如题图所示．当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，则以下说法正确的是（ ）
A. 卫星在轨道3上的运行速率大于7.9km/s
B. 卫星在轨道3上的机械能小于它在轨道1上的机械能
C. 卫星在轨道3上的运行速率小于它在轨道1上的运行速率
D. 卫星沿轨道1经过Q 点时的加速度小于轨道2经过Q 点时的加速度 【答案】C
点睛：解答此类问题就是根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、向心加速度、和向心力的表达式进行讨论即可．
高频考点四：双星与多星问题 【解题方略】
在宇宙中有一些彼此较近，而离其他星较远的几颗星组成孤立行星系统，称为双星或多星系统，这类系统具有研究对象多个、运动模型多样、受力情况复杂、科技联系密切等特点，备受高考命题者青睐。对于这类问题，解题的关键是弄清运动模式，确定好角速度、周期、轨道半径等数量关系。 1、双星系统模型有以下特点：
(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L
2＝m 2ω
2
2r 2. (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2. (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . 2、三星系统之“二绕一”和“三角形”模型
三星系统由三颗相距较近的星体组成，其运动模型有两种：一种是三颗星体在一条直线上，两颗星体围绕中间的
星体做圆周运动(简称“二绕一”模型)
另一种是三颗星体组成一个三角形，三星体以等边三角形的几何中心为圆心做匀速转动(简称“三角形”模型)。最常见的“三角形”模型中，三星结构稳定，角速度相同，半径相同，任一颗星的向心力均由另两颗星对它的万有引力的合力提供。另外，也有三星不在同一个圆周上运动的“三星”系统。
【例题4】2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬X射线调制望远镜卫星“慧眼”。“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国国X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越。“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象。在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为（）
A.
23
2
4L
GT
π
B.
23
2
4
3
L
GT
π
C.
3
22
4
GL
T
π
D.
23
2
4T
GL
π
【答案】A
【近三年高考题精选】
1．【2017·北京卷】利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离