储油罐的变位识别与罐容表标定

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对于模型一，首先利用投影积分法分别求得无变位与纵向倾斜角度α两状态下油位高度对应储油量的理论值V 理论；将此理论值与对应实际数据对比可得储油量误差，再分别对无变位时误差散点与两个状态误差的差值散点进行分析并拟合其曲线，由此便可确立α的一次函数为修正函数并建立模型：()()()()()12,, 4.1V h V h f h f h ααα=-+⋅。

理论最后通过M atlab 符号积分进行模型求解。

倾斜角度为4.1。

时罐容表的标定值详见表1。

对于模型二，首先利用投影积分法及倾斜球缺的油面近似替代法分别求得无变位与纵向倾斜角度α横向偏转角度β两状态下油位高度对应储油量的理论值V 理论；将无变位状态的理论值与其实验数据对比得储油量误差并拟合误差曲线，由此建立含参数的修正函数并建立模型：()()()()()''21,,,,V h V h f h ah bh c αβαβα=-+++理论然后利用计算机枚举搜索算法确定最小误差对应,αβ的值分别为4.1,9.3。

，对应,,a b c 的值分别为：51.7100.1618--⨯-，，，变位后罐容表的标定值详见表2。

对于模型二的检验，可通过对比相同油位高度对应标定模型的理论值与对应实验数据，依据所得最大误差与总容量之比0.22%判断此模型较为准确。

关键词： 投影积分 修正函数 拟合 计算机枚举搜索算法一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题分析由于测量时油位探针的下端固定于油罐底端，因此当罐体变位后所测罐内油位高度与储油量对应关系较变位前发生变化，即罐容表的标定值改变。

为研究罐体变位后对罐容表的影响需分别建立无变位和有变位两种状态下罐容表的理论标定模型，然后与实际测量值进行误差分析，对模型进行修正得到最终模型。

2.1问题一的分析对于问题一，首先，考虑倾斜前后两种状态下的理论模型。

对于无变位状态储油罐形状为两端平头的椭圆柱体，所以可直接将其简化为几何模型，将储油量转化为平卧椭圆柱体在某高度h时的容积计算。

此时油液所在立体为一规则的立体，可以通过简单的积分计算求得。

对于变位倾斜角为α状态，不考虑油浮子达到罐体顶端后对应储油量变化，并依据油位高度h将倾斜后的几何模型分为四个部分计算。

根据投影法思想，罐内油液上表面面积可用其在罐体侧面的投影面积计算，再通过微元法积分求解每一部分对应储油量，即得倾斜后罐容表的理论值。

其次，将所得油位高度对应储油量的理论值与对应实际数据对比得储油量误差，并对无变位时误差与两状态下误差之差分别进行分析并拟合其曲线，利用所得曲线分析倾斜角变化与相应的误差变化，并确立修正函数并进行模型修正，最后通过M atlab符号积分从而可得储油量和油位高度及变位参数α的关系2.2问题二的分析对于问题二，要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

首先，考虑变位前后两种状态下的理论标定模型。

变位前的理论模型可分为一个圆柱体与两个球缺体两部分并通过三重积分求解。

对于横向偏转，通过垂直罐体底部的剖面图分析可知，不管是否有纵向倾斜，横向偏转前测量油位高度'h 与偏转后测量高度h为一与横向偏转角β有关的固定函数，因此变位后可先只考虑纵向倾斜再进行变量代换即可。

而对于纵向倾斜时的测量高度与对应的理论储油量间的函数可类似模型一进行分段求解。

由于罐体倾斜，液面与球缺的高度并不平行，但实际情况中倾角很小，因此可近似等效为球缺在垂直地面时液面为某高度'H可通过与'h的几何关系求的。

球缺在垂直地面时液面为H的容积计算，'某高度'H的容积计算可通过简单的多重积分得出。

罐身的容积与液高函数可同模型一利用投影法求的，由此便得变位前后的理论标定模型。

其次，将无变位状态的理论值与其实验数据对比得储油量误差并拟合误差曲线，由此分析倾斜角变化与相应误差变化的关系并建立含参数的修正函数对模型进行修正。

然后利用计算机枚举搜索算法确定最小误差对应的,αβ以及,,a b c的值，由此确定变为后罐容表的标定模型并利用实验所得数据隐形相关检验。

三、模型假设1）实际情况下储油罐变位角度不大。

2）储油罐无严重变形，或有微小变形但可忽略不计。

3）进出油量与油位高度的测量与时间点无关，或在短时间内可忽略其微小影响。

4）所测油罐属性均为内测法测得，即可忽略油罐厚度对实验的影响。

5）在试验的短期内温度、气压等没有剧烈变化。

四、符号说明五、模型的建立与求解5.1模型一测量时油位探针的下端固定于油罐底端，因此当罐体变位后所测罐内油位高度与储油量对应关系较变位前发生变化即罐容表的标定值改变。

为研究罐体变位后对罐容表的影响需分别建立无变位和变位倾斜角为α两种状态下罐容表的标定模型，然后进行比较分析最终确立罐体变位后对罐容表的影响模型。

5.1.1数据处理观察实验所得进\出油数据，现不妨取无变位时两项数据作为研究对象。

理论上某高度下的容积只与其油液高度有关，与其状态是进油还是出油无关，此处可利用定量分析进一步验证。

无变位出油所采集的数据为累加出油量而并没有给定出油前的总储油量，因此可利用数据中最大的油位高度1150.72m对应于进口数据中累计进油量为3656L，再加上罐内油量的初值262L 便可得累加出油量为52.72L 后油罐内剩余油量为3656262L L +，利用此方法可得累计储油量对应剩余油量。

由此可分别作出进\出油过程油罐容量依据油位变化的曲线图一。

图一：进\出油过程油罐容量依据油位变化的曲线由图一易观察出进\出油过程两曲线重合，即某高度下的容积只与其油液高度有关，与其状态是进油还是出油无关，因此模型建立过程不考虑进出油的影响。

5.1.2罐容表的理论标定模型 Ⅰ 无变位状态由图二可看出油罐形状为两端平头的椭圆柱体，由此将油罐储油量简化为几何图形的容积进行计算。

图二：小椭圆型油罐形状及尺寸示意图1) 图二中阴影部分即为油罐油位高度为h 时对应储油的纵截面，其面积可利用定积分计算：依据图一建立的直角坐标可得油罐纵截面椭圆方程：()222210.86,0.6x y a m b m ab+===其中……………………①由①得x 的表达式x a =由此利用图一所示阴影部分的范围积分得其面积S 为：2h b bS a --=⎰……………………………②2) 利用上述②对其进行二重积分可得油罐油位高度为h 时对应储油量V 为：()02 2.45d h b bV a d m --=⋅=⎰⎰其中…………………③用定积分公式对③求解得罐容表的理论标定模型：221(arcsin 12ah V d h b b b b b π⎡⎤⎛⎫=⋅⋅--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………④Ⅱ变位倾斜角为α的状态依据对应油位高度可将油罐分为图三所示五部分，其中罐体变位致使第5部分储油量范围内对应高度均为油位高度的最大值即此时油浮子到达油罐顶端，因此可将此罐体简化为只考虑前四个部分的几何模型。

图三：油罐五部分及对应纵截面第1部分1) 确定油位高度由图三易观察出储油量位于第1部分时油浮子位于罐体底端，即油位高度不 随储油量增加而增加其值始终保持0h =。

2) 储油量1V 的计算此时储油量与油位高度无关因此可直接计算第1部分的最大储油量1V 。

现利用微元法取油罐内厚度为1dy 的油层，其对应横截面为图四中ABC S ，在X Y 平面的投影为ABD S ，则有：sin A B D A B C S S α=其中ABD S 可利用椭圆方程①进行定积分算出，则有：sin sin ABD ABC S S αα==则有厚度为1dy 的油层体积为：11sin ABC V S dy dy α∆=⋅=而第一部分最大储油量油层厚度为0.4sin α，则有：()1sin 01100.4sin d V d m αα==⎰其中图四：油层表面的投影第2部分(1) 确定油位高度的变换范围由图三易观察出第2部分油浮子开始随储油量增加而上升，可计算其最大储油量对应油位高度2tan h d α=⋅。