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储油罐的变位识别与罐容表标定70084

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储油罐的变位识别与罐容表标定薛申芳（邢台学院数学系， 邢台：054001）摘要 该文就储油罐的变位识别与罐容表标定问题1，用四次多项式灌内油体离散变率进行回归得到连续变化率，建立了连续型微分方程模型，通过该微分方程初值问题，得到倾斜灌内油体体积随高度的变化规律，然后把无变位与倾斜情况的灌内油体随测量高度的变化引起的灌内油量差异，以及当灌内油体相同时，而油标高度测量值差差异来判断分析影响。

该文就问题2的倾斜旋转油罐，通过坐标系旋转方法，建立了计算灌内油体与油位关系的精确积分模型；由于灌内油体不是油位、倾斜角以及旋转角的初等函数，利用所给测量数据和所建立的数学模型进行变位参数的确定时采用了最小二乘方法，且对部分被积函数的二元二次多项式展开近似处理，以及对倾斜角和旋转角的离散化（把倾斜角和旋转角的范围化为一些离散小区间）搜索，计算结果显示倾斜角为0.057，旋转角为9.8；最后利用所给出的模型和所求出的倾斜角和旋转角给出灌容标定值。

关键词 数学建模；罐容表标定；多项式回归；坐标旋转变换；积分1 问题通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

现用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）对小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验(实验数据参看CMCM2010A 附件1),去建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（2）对中间部分为柱面，两端为球冠面的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系、利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（参看CMCM2010A 附件2）确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

2 问题12.1 问题1分析图1 进油变化率 图2 出油变化率从附表1中，可以得到油位以及油体的改变量，从而可以建立微分方程模型。

图1和图2分别给出了无变位时进油和出油情况的罐内油体增加量（出油时罐内油体增加量取负）与油位增量之比（油体变化率）随油位变的离散图形。

在图1中有几个不正常的点，可能由于测量误差造成的；而从图2中的点比较正常，所以在无变位情况建模时采用附表1中的出油数据。

对倾斜情况，通过对附件1中的数据分析，采用了附件1中进油测量数据，且在计算变化率时把一组点：累计进油量为0.0017l 3m （该值由积分计算得到）时，油位高度为0m 。

上述两种情况，通过对灌内油体的离散变化率进行拟合，得到连续变化率，进而可以求解连续变量的微分方程去得到灌内油体体积随高度的变化规律。

2.2 问题1变量说明记()i i V h ：罐内油体的体积（3m ）； i h : 罐内油位（m ）； i h ∆：油位增量（m ）；i V ∆: 罐内油体的增加量（3m ）；i f ：，即为油体关于i h 的变化率的拟合函数；其中1,2i =，为1时表示无变位情况，为2时表示倾斜情况。

3 问题1数学模型及其及解下面通过建立模型，得到无变位和倾斜两种情况下罐内油体的体积与油位高度的关系。

3.1 无变位情况由2.1的分析以及2.2定义的变量知，现选用出油数据对11V h ∆∆随着油位高度变化的数据，用四次多项式进行回归得[1]：()43218.1219.8123.5313.93 1.09f h h h h h =-+-++ （1）这里显著性水平取为0.05α=，其决定系数为20.99979R =,81077F =,0p =，可知回归方程非常显著，回归模型成立。

通过解微分方程初值问题：()()111100dV f h dh V ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2） 得到1V ，其解为()()5432111111111.62 4.957.84 6.96 1.090 1.2V h h h h h h h =-+-++≤≤ （3）上式即为无变位情况下罐内油体的体积与油位高度的关系。

3.2 倾斜情况为了让结果更符合实际，利用附件1中倾斜进油变位数据，对22V h ∆∆随着油位高度变化的数据用四次多项式进行回归得：432226.5152.3037.6813.461.804f h h h h =-+-+ （4）显著性水平也取为0.05α=，决定系数为20.6847R =,26.06F =,0p =，回归模型成立（经验证比用出油数据拟合效果好）。

通过解微分方程初值问题：()()2222200.00171dV f h dh V ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （5） 得到2V ，其解为()()54322222222=-5.30+13.08-12.56+6.73+1.80+0.00171012V h h h h h h h .≤≤ （6） 无变位与倾斜情况的灌内油体随测量高度的变化以及灌内油量差()21e h V V =-参看图3。

当灌内油体相同时，而油标高度测量值差差异的部分数据参看表1。

倾斜灌容标定值参看附表1。

表1 相同油体对应的油位注：上表中1h 为无变位油位，2h 为倾斜油位。

图3 无变位与倾斜比较 油量差4问题2下面建立中间部分为柱面，两端为球冠面的实际储油罐变位后标定罐容表的数学模型。

4.1问题2分析油罐变位包括倾斜和旋转两种变位方式，这里先对倾斜进行讨论，然后再加上旋转。

首先建立适当的坐标系，对于倾斜变位，相当于实行坐标系旋转，在新的坐标系下，计算罐体中的油体与坐标高度的关系；对于旋转变位，根据罐体的轴对称性，便可以得到油位的坐标高度与测量浮标高度的关系，从而得到灌内油体与测油浮标高度的关系的数学模型。

然后利用最小二乘法得到参数α和β。

4.2问题2变量记号记α：油罐纵向倾斜角(弧度),假设不超过10o ×π/180 )，且假定油罐右端上斜；β：油罐旋转角（弧度，假设不超过10o ×π/180 ）；a ：油罐柱面半径（1.5m ）；0z ：油罐柱体的长度（8m ）；h ：油罐油面铅垂坐标(m )；*h ：变位后罐内油浮子的高度,即浸泡在罐油中的浮杆长度（m ）；V ：罐油体积(3m )；R ：球冠半径(1.625m )。

5问题2模型现在建立问题2的数学模型。

5.1 无变位油罐的坐标系对无变位油罐而言，以柱面左侧圆的圆心为坐标中心，x 指向正上方，z 轴穿过柱面中心轴指向右方，建立右手坐标系oxyz （参看图4）.记,,,A B C D 分别为0y =平面与罐体柱面所交矩形的四个顶点（参看图4）。

则在oxyz 坐标系下，油罐柱面方程为：()22200x y a z z +=≤≤ (7)图4 罐体无变位坐标系左、右球冠面满足的方程分别为：[]22221x y z R R ++-+= (8)和()222201x y z z R R ++--+=⎡⎤⎣⎦(9) 柱面左、右侧所在的平面方程分别为：0z = (10)和0z z = (11)5.2 倾斜油罐的坐标系假设油罐右端向上倾斜，倾斜角度为α，这等价于将oxyz 坐标系绕y 轴顺时针旋转α角度，假设得到的新坐标系为OXYZ ,则这两个坐标系之关系为[2]：()y X x Y R y Z z α⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()1y x X y R Y z Z α-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12)其中()y R α为旋转矩阵（正交矩阵），且()cos 0sin 010sin 0cos x R ααααα-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(13)这里旋转矩阵中的α取旋转角度的负值（绕y 轴逆时针旋转取正，顺时旋转针取负）。

于是在OXYZ 坐标系下，油罐柱面方程为：()()222cos sin X Z Y a αα++=⎡⎤⎣⎦(14)左、右球冠面满足的方程分别为：()()()2222cos sin()sin cos()1X Z y X Z R R αααα⎡⎤+++-+-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦(15) 和()()()()22220cos sin()sin cos()1X Z y X Z z R R αααα⎡⎤+++-+--+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦(16) 柱面左、右侧所在的平面方程分别为：()tan Z X α= (17)和()()01tan cos Z z X αα=+ (18)记,,A B C D X X X ,X 分别为点,,,A B C D 在OXYZ 坐标系下的X 坐标，则A C 3cos 5349cos sin 520349cos sin 5203cos()5B D X X X X αααααα=-=--=-= (19)且在假定最大倾斜角度不会超过10º的情况下，易得：B D X X < (20)5.3 倾斜油罐灌容模型下面在OXYZ 坐标系下讨论倾斜油罐内油体与坐标高度h 和倾斜角α的关系：(),V V h α= (21)利用微元法知，在X 方向取微元dX ，用过X 轴上的点X 作垂直于X 轴的平面去截取油罐体，得到的截面面积与X 有关，记之为()S X ,则微元体的体积为()S X dX ，则罐油体积可用积分()CAX X V S X dX =⎰(22)得到。

由于罐面是,Y Z 的分片函数，故对X 的不同区间范围进行分别积分，即分为三个区间[,],[,],[,]A B B D D C X X X X X X 范围分别进行积分[3]，即()()()()()()()()()()()()112123123,,A A B A BA B B D A B DD A B h h L A B X X X h h hL R X X X X B D X X hX X X X h L R X X D C V S X dX S X dX X h XV S X dX S X dX S X dX S X dXX h X V h V S X dX S X dX S X dXS X dX S X dX X h X α⎧=+≤≤⎪⎪=+++⎪⎪⎪≤≤⎪=⎨⎪=++⎪⎪++⎪⎪≤≤⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (23) 其中()()()()()()123,,A B B D D C S X X X X S X X X X S X X X X ≤≤≤≤≤≤为当X 在不同区间上用过X 轴上的点X 作垂直于X 轴的平面去截取油罐体，得到的截面面积。

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储油罐的变位标识与罐容表的标定

储油罐的变位标识与罐容表的标定

摘要为解决加油站的地下储油罐在使用一段时间后，由于地基的变形会导致无法根据预先标定的罐容表计算储油罐内油量容积的问题，研究如何识别储油罐变位以及对罐容表的重新标定的问题．得到储油罐的总油量与油标高度、纵向偏转角、横向偏转角之间的关系模型．利用该模型可根据加油站的出油量以及对应的油标高度来识别储油罐的变位，通过建立优化模型, 搜索算法和MATLAB软件求解出了所识别的变位的变位角度, 并利用实验数据对求解结果进行了检验; 最后利用得到的油量表达式给出了两个储油罐的罐容表.为了得到变位参数的有效估计，对进出油实测数据建立非线性的最小二乘回归模型，在数值求解中，采用截面积的微元方法，有效减少了复杂的体积积分计算，从而完成罐容表的修正标定。

关键词：MATLAB 变位标识罐容表标定储油罐ABSTRACTIn order to solve the problem that the calculation of oil tank volume must be calibrated periodically because an oil tank shift for the foundation deformation，the fuction relation between oil volume，altitude，direction deflection angle，transverse direction deflection angle is given out．The shift parameter Can be found with the model and data of oil volume．The new calculation of oil tank volume can be finned after tank shift．a1．Further more,we have gained the displacement angle by developing a optimization model, gradually decrease interval search algorithm and Matlab software, and then apply the experimental data to verify our solved results.We develop the non—linear of least squared regression model to estimate the parameters of position change．In particular，the differential element method of the sectional area is proposed to effectively reduce the complex numerical computation of integral．Therefore，the volume table is readjusted by the estimation of parameters of position change．Keywords：MATLAB；shift confirm ；calibration calculation of volume；oil tank第一章绪论1.1 储油罐问题的背景由来储油罐是储存油品的容器，在我们周边加油站是普遍存在的，一般加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，先通过流量计和油位计来测量进／出油量与罐内油位高度等数据，再通过预先标定的罐容表(即罐内油位高度与储油量的对应关系)进行实时计算，使地面上的人很容易了解罐内油位高度和储油量的变化情况。

储油罐的变位识别与罐容表标定

储油罐的变位识别与罐容表标定


H 3 h' H 2 和 h' H 3 .
我们以第三种情况为例，来建立变位椭圆罐体模型. 首先，我们给出变位后的椭圆罐体纵向截面图，如下所示：
B
Q
P
h2 A
h1
M
l2
h


D
l1
N
图 3 椭圆罐体倾斜 角度时的横向截面图
在图 3 中， 我们以 D 点为端点作平行于 MN 的直线 DB ，B 点位于直线 AM 上. h1 表
y
b
O dx
a x
h
f(y)
图 2 小椭圆油罐体在无变位时的纵向截面图
图 2 中的 h 为小椭圆界面油量的高度，阴影部分就是罐体内部储油量的截面面积. 我们以椭圆圆心为圆点 O ，椭圆的长半轴为 x 轴，短半轴为 y 轴建立直角坐标系. 设椭 圆的长半轴为 a ，短半轴为 b ，根据这些变量我们可以容易得到椭圆的方程： x2 y 2 1 a 2 b2 由于截面面积的边界是和椭圆相连接的，不能够用 / 360 S 椭圆来求，所以我们 运用了数学上的积分来对此部分面积进行求解. 首先，我们先将面积分为左右两部分进行计算. 以右半部分为例，由于曲边梯形
4
度最高的 、 的值，并据此给出油位高度间隔 10 cm 的罐容表标定值，验证所建立的 模型的正确性与方法的可靠性.
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1 椭圆罐体模型的建立 在对问题一进行分析时， 我们分别对罐体无变位和纵向倾斜的变位情况进行了分析. 因此，我们针对这两种情况建立无变位椭圆罐体模型和变位椭圆罐体模型. 无变位椭圆罐体模型的建立 在椭圆罐体未发生纵向倾斜，即在无变位的情况下，油罐体与地面没有夹角，此时 0， 罐体内部的油量在液面各处都是平稳的. 下图为椭圆罐体在无变位时的纵向截面 图.
储油罐的变为识别与罐容表的标定

储油罐的变为识别与罐容表的标定

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要罐容表是用于实时精确测定罐存油品的重要依照之一，地基的变化造成储油罐位使得罐内的油位探测装置无法正确的测量出油量所对应的油位高度。

为了掌握实际罐体变位后对罐容表的影响，本文先分析无变位和纵向倾斜α=4.10时，小椭圆型储油罐油位高度与部分容积的关系，由于储油罐在发生纵向和横向变位后，计算罐容表的方法已经发生变化，建立实际储油罐体变位后标定罐容表的数学模型。

首先，对于理想的小椭圆型油罐，根据已知的示意图，建立油罐无变位模型和油罐纵向倾斜模型，用二重积分思想，求得任意油位高度时油平面的面积，将此面积对高度积分，得到储油量计算值与油位高度的对应关系，计算出无变位以及纵向倾角为α时罐容表，比较储油量计算值与真实值的大小，无变位时得到平均相对误差为0.0337，纵向发生倾斜时为0.0223。

分析变位前后的罐容表，发现在相同高度下，变位后的储油量总是小于变位前的储油量，对罐容表进行重新标定具有实际意义。

接着，由小椭圆型油罐数学模型推广到实际储油罐的数学模型，同样用二重积分的数学思想。

由于实际的储油罐的两端是球冠体，所求的油量体积是两端的球冠体内油量体积与中间柱体的油量体积之和。

变位分为纵向倾斜和横向倾斜，而横向倾斜不改变油在储油罐中的形状，只改变了测量高度。

但纵向倾斜会改变油在储油罐中的形状，使测量高度不能再真实的反应储油量。

根据不同的油位高度，本文分析了5种可能的情况，得出不同情况下的油位高度与油量，变位参数α的关系式。

再考虑横向偏转对模型的影响，利用几何关系，得到考虑横向偏转前后油位高度之间的转化关系，将只存在纵向倾斜变位时的油位高度代换为考虑横向偏转后的油位高度，得到综合得到油位高度与油量，变位参数α、β的关系式。

代入实测数据，借助MATLAB，得到该模型的变位参数纵向倾斜角1.442度和横向倾斜角5.8643度。

然后得出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

储油罐的变位识别与罐容表的标定

储油罐的变位识别与罐容表的标定

——————————————————收稿日期：2010-09-17；修回日期：2011-01-28 作者简介：廖 嘉（1978—），女，天津人，讲师，ridge78@.针测得的油位高度为各个截面的实际高度，通过罐体外标注的罐容表就可以得出罐内油量的容积（见图1）。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，罐。

图1 储油罐正面示意图 Fig.1 positive of the oil tankV =1 首先考虑只有纵向偏转角α时，储油罐的总油量V 与油标高度h 、纵向偏转角α之间的关系模型V =V (h , α)。

1.1 中间圆柱形罐体的油量建立空间直角坐标系，xOy 平面如图5(a)所示，z轴垂直于xOy 平面并满足右手系法则。

罐体中间部分为一圆柱面，其方程为22224⎛⎫-+= ⎪⎝⎭H H y z 。

当油量适中时（tan tan αα<≤-C h H B ），层积分的积分上限，此时罐中部分油量（见图6(a)）cot ()tan 10h h x B m V dx αα--=⎰⎰。

（2）同理，当油量过多时（tan α-<<H B h H ），m V 满R (x 00面在新坐标系下方程为cot y x α=-。

）图8 储油罐右球冠部分示意图 Fig.8 right ball crown of the oil tankVV从上述模型中可以看出，给出油罐的尺寸后，储油罐总油量V即为油标高度h'、纵向偏转角α、横向偏转角β的函数。

加油站只需记录各个时刻的进（出）油量和对应的油标高度，即可利用该模型计算。