天津大学仁爱学院2016-2017 学年高数下期末考试试卷

2016-2017学年天津市红桥区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．01233333C C C C +++=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．3A n =7×8×n ，则n=（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．103．2×2列联表中a ，b 的值分别为（ ）4．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ） A ． B ．C ．1D ．5．一位母亲记录了儿子3～7岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：cm ）与年龄的回归模型为7.273y x =+．若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是（ ） A ．身高一定是145cm B ．身高在145cm 以上 C ．身高在145cm 左右D ．身高在145cm 以下6．某射手射击所得环数的分布列如表，已知的数学期望E （）=8.9，则y 的值为（ ）7．在二项式（22+）6的展开式中，常数项是（ ） A ．50 B ．60C ．45D ．808．全组有8个男同学，4个女同学，现选出5个代表，最多有2个女同学当选的选法种数是（）A．672 B．616 C．336 D．280二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.9．五个不同的点最多可以连成线段的条数为．10．二项式（+2）5的展开式中，第3项的系数是．11．已知（1﹣2）7=a0+a1+a22+…+a77，那么a1+a2+…+a7= ．12．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为．13．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有种．三、解答题：本大题共4小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．14．（12分）已知（3+）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中项的系数．15．（12分）5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（Ⅰ）甲不在排头，也不在排尾；（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起．16．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．（12分）现有某批次同一型号的产品共10件，其中有8件合格品，2件次品．（Ⅰ）某检验员从中有放回地连续抽取产品2次，每次随机抽取1件，求两次都取到次品的概率；（Ⅱ）若该检验员从中任意抽取2件，用表示取出的2件产品中次品的件数，求的分布列．高二（理）数学（1706）一、选择题 每题4分9. 10 10. 40 11. -2 12.81513. 1200 三、解答题A A 1434=72种；.........................6分（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起，排列的方法有：A A 3333 ............................10分=36种； ..........................12分 （列式不唯一，以答案为准）16. 记E =｛甲组研发新产品成功｝，F =｛乙组研发新产品成功｝，由题意知，P E ()=23，P E ()=13,P F ()=35，P F ()=25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都是相互独立的。

⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方7．设级数a a 0 (n )为交错级数，，则（）. nnn 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.（A）若级数 a 发散，则级数n2a 也发散n名姓⋯⋯⋯⋯⋯题号一二三四总分得分（B）若级数（C）若级数nn112a发散，则级数n2a收敛，则级数nnn11a也发散na 也收敛nn 1 n 1⋯⋯．阅卷人得分一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共16 分）将每题的正确答案的（D）若级数|a n |收敛，则级数n 1n 12a 也收敛n号学⋯⋯⋯代号A B C D、、或填入下表中．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 阅卷人得分⋯线答案二、填空题(7 个小题，每小题 2分，共14 分) ．号序封密1．已知a与b都是非零向量，且满足a b a b，则必有（）.(A) a b0(B) a b0(C) a b0 (D) a b03x 4y 2z 61. 直线x 3y z a 0与z 轴相交，则常数 a为.号班学教12 2lim( xy )sinx 0y 0过2.极限( ).y2．设( , ) ln( ),f x y x x则f2 2D : x y 2x ，二重积分(x y)d= .(1,0)___________.y2 2x y超(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在3．函数 f (x, y) x y 在(3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.要3．下列函数中，df f 的是( ).（A）f ( x, y) xy （B）f (x, y) x y c0,c0为实数不4．设纸卷试题答2 2 x y（C）f (x, y) x y （D）f ( x, y) e4．函数 f (x, y) xy (3 x y) ，原点(0,0) 是f (x, y) 的( ).（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点5．设f x 是连续函数，D2 2{( x, y ,z) | 0 z 9 xy } ，2 2f (x y )dv在柱面坐标系下学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域x y2 2D : (x 1) (y1) 2 ，若I1d ，4Dx yI d ，24Dx yI3 d ，则有（）.34D（A）I I I （B）I1 I 2 I3 （C）I 2 I1 I3 （D）I 3I1 I 21 2 32 y2x2 26．设椭圆L ：1的周长为l ，则(3x 4y )ds （）.4 3L(A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l的三次积分为.6. 幂级数n 1n( 1)1nxn!的收敛域是.1 , xf ( x)7. 将函数 21 x , 0 x以2 为周期延拓后，其傅里叶级数在点x 处收敛于.2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第1页⋯阅卷人得分4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z 0 所围成的空间闭区域，求2 3d d dI xy z x y z .名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x1．设u xf (x, )y解：三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤），其中 f 有连续的一阶偏导数，求ux，uy．解：．⋯号学⋯⋯⋯线封z z xy 在点(2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．2．求曲面 e 3解：号序密过5．求幂级数nx n 1 的和函数S(x) ，并求级数n 1 nn 的和．n1 2解：超号班学要教不纸卷试题答3. 交换积分次序，并计算二次积分解：sin ydxdyxy．学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第2页阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字⋯⋯⋯⋯⋯⋯说明、证明过程或演算步骤）1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯号学⋯⋯⋯线2．计算积分L2 2( )dx y s，其中L 为圆周2 2x y ax ( a0)．号序封密解：蝌，5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分dxdy + dydz + dzdxS2 2 2其中为圆锥面z x y z 0 z 1介于平面及之间的部分的下侧.解：过超号班学要教不纸卷试题答3．利用格林公式，计算曲线积分I (x y )dx (x 2xy)dy ，其中L 是由抛物线y x2 和2 2Lx y2 所围成的区域D的正向边界曲线．学大峡三⋯⋯．⋯y2y x2 x y⋯D⋯⋯O x⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第 3 页2017 学年春季学期（B ）若级数2a 发散，则级数na 也发散；n《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷(A)答案及评分标准（C ）若级数n n 1 12 a 收敛，则级数 nn n 11a 也收敛；n（D ）若级数|a n |收敛，则级数2a 也收敛．nn 1n 1一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案D A B B A D C D二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．3x 4y 2z 6 0 x 3y z a 01. 直线与 z 轴相交，则常数 a 为 3 。

2017-2018学年天津市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．01233333C C C C +++=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．3A n =7×8×n ，则n=（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．2×2列联表中a ，b 的值分别为（ ）Y 1 Y 2 总计 X 1 a 21 73 X 2 2 25 27 总计b46A ．94，96B ．52，50C ．52，54D ．54，524．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ） A ． B ． C ．1D ．5．一位母亲记录了儿子3～7岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：cm ）与年龄的回归模型为$7.273y x =+．若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是（ ）A ．身高一定是145cmB ．身高在145cm 以上C ．身高在145cm 左右D ．身高在145cm 以下6．某射手射击所得环数X 的分布列如表，已知X 的数学期望E （X ）=8.9，则y 的值为（ ）X 7 8 9 10 Px0.10.3yA ．0.8B ．0.4C ．0.6D ．0.27．在二项式（2x2+）6的展开式中，常数项是（）A．50 B．60 C．45 D．808．全组有8个男同学，4个女同学，现选出5个代表，最多有2个女同学当选的选法种数是（）A．672 B．616 C．336 D．280二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.9．五个不同的点最多可以连成线段的条数为．10．二项式（+2）5的展开式中，第3项的系数是．11．已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7= ．12．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为．13．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有种．三、解答题：本大题共4小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．14．（12分）已知（3x+）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中x项的系数．15．（12分）5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（Ⅰ）甲不在排头，也不在排尾；（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起．16．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．（12分）现有某批次同一型号的产品共10件，其中有8件合格品，2件次品．（Ⅰ）某检验员从中有放回地连续抽取产品2次，每次随机抽取1件，求两次都取到次品的概率；（Ⅱ）若该检验员从中任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中次品的件数，求X的分布列．高二（理）数学（1706）一、选择题 每题4分9. 10 10. 40 11. -2 12.81513. 1200 三、解答题15. （Ⅰ）若甲不在排头，也不在排尾，排列的方法有：A A 1434............................4分 =72种；.........................6分（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起，排列的方法有：A A 3333............................10分 =36种； ..........................12分 （列式不唯一，以答案为准）16. 记E =｛甲组研发新产品成功｝，F =｛乙组研发新产品成功｝，由题意知，P E ()=23，P E ()=13,P F ()=35，P F ()=25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都是相互独立的。

2016-2017学年天津市部分区高一（下）期末考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①：某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样系统抽样B．分层抽样简单随机抽样C．系统抽样简单随机抽样D．简单随机抽样分层抽样2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各7名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的平均数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则 n﹣m的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是（）A．B．C．D．5．若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．D．36．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，b=1，c=，∠B=30°，则a的值为（）A．1或2 B．1 C．2 D．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．8．若a，b，c，d∈R，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则＜9．从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：根据如表可得回归方程=0.56x+，据此模型可预报身高为172cm的高一男生的体重为（）A．70.12kg B．70.29kg C．70.55kg D．71.05kg10．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），则S5等于（）A．85 B．255 C．341 D．1023二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．把二进制数110101（2）转化为十进制数为．12．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a的值是．13．已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，若a6=5，S4=12a4，则公差d的值为．14．在上随机的取一个数a，则事件“不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立”发生的概率为．15．已知a＞0，b＞0，且是3a与3b的等比中项，若+≥2m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N的样本，整理得到的数据作出了频率分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求出表中N及a，b，c的值；（Ⅱ）求频率分布直方图中d的值；（Ⅲ）从该产品中随机抽取一件，试估计这件产品的质量少于25千克的概率．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2asinB=b．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）某校高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，为调查他们的体育锻炼情况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．（Ⅰ）求A，B，C三个班各有学生多少人；（Ⅱ）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析．（i）列出所有可能抽取的结果；（ii）设A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣a2﹣1＞0的解集．天津市部分区2016～2017学年度第二学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．53 12．9 13．4 14．25 15． 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）解：（Ⅰ）由题意得：102000.05N ==， …………………………1分 200(10504020)80a =-+++=，800.40200b ==， 400.20200c ==． ………………………4分 （Ⅱ）0.20.082.5d ==． …………………………8分 （Ⅲ）记“从该产品中随机抽取一件，这件产品的质量少于25千克”为事件A ，由所给数据知，质量少于25千克的频率为1050800.7200++=．所以，可估计产品质量少于25千克的概率为0.7． …………………………12分 17．（12分）解：（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，2sin a B由正弦定理，得 2sin sin A B B = ……………………3分B 是锐角ABC ∆的内角，∴sin 0B >∴2sin A =sin A =……………………………5分 A 是锐角ABC ∆的内角，∴3A π=． ……………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅221722b c bc =+-⋅()237b c bc +-=……………………………8分1sin 2S bc A =⋅==……………………………9分 ∴6bc = ∴()2187b c +-= 5b c +=∴ABC △周长为5a b c ++=+ ……………………………12分18．（12分）解：（Ⅰ）样本容量为45615++=，样本容量与总体中的个数的比为1511208=，所以，A 、B 、C 三个班的学生人数分别为32，40，48． ……………………3分（Ⅱ）（ⅰ）从6名学生中随机抽取2人的所有可能结果为{}12,C C ，{}13,C C ，{}14,C C ，{}15,C C ，{}16,C C ，{}23,C C ，{}24,C C ，{}25,C C ，{}26,C C ，{}34,C C ，{}35,C C ，{}36,C C ，{}45,C C ，{}46,C C ，{}56,C C ，共15种．……………………8分（ⅱ）编号为1C 和2C 的2名学生中恰有1人被抽到的所有可能结果为：{}13,C C ，{}14,C C ，{}15,C C ，{}16,C C ，{}23,C C ，{}24,C C ，{}25,C C ，{}26,C C 共8种，因此，事件A 发生的概率8()15P A =． …………………………12分19．（12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，132n n n a S S n -=-=+， ……………1分当1=n 时， 1137522a S ==+=，适合上式 ． ……………2分 ∴32n a n =+． ………………………3分22b ，33b -，22b +成等差数列，∴2（33b -）＝22b ＋22b +． ………………………4分 又数列{}n b 是正项等比数列，设公比为q （0q >），∴2232q q =+，解得2q =或12q =-（舍）， ………………………5分14b =，∴12n n b +=． ………………………6分（Ⅱ）由题意得， 1(32)2n n n n c a b n +=⋅=+⋅， ………………………7分∴ 2315282(31)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯++⨯① 341225282(31)2(32)2n n n T n n ++=⨯+⨯++-⨯++⨯②① -②得234123122523(222)(32)23(222)20(32)2124(31)2n n n n n n T n n n +++++-=⋅++++-+⋅-⋅=+-+⋅-=---⋅ …………11分∴24(31)2n n T n +=+-⋅. ………………………12分20．（12分） 解：（Ⅰ）当12a =时，不等式可化为2340x x +-<； 即：(1)(34)0x x -+<．所以，原不等式的解集为4|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． ………………………3分 （Ⅱ）由题意可知，当02x <<时，不等式()0f x >恒成立等价于312a x x-<+对于一切(0,2)x ∈时恒成立， 设31()2g x x x=+，(0,2)x ∈， ………………………5分 则只需()g x 在(0,2)上的最小值大于a -即可．31()2g x x x =+≥=当且仅当312x x =，即3x =时，取“＝”． ………………………7分∴a >a 的取值范围()+∞． ……………………8分 （Ⅲ）由题意可知，不等式可化为()(3)0x a x a +-> ……………………9分①当0a <时，不等式的解集为|3a x x x a ⎧⎫<>-⎨⎬⎩⎭,或， ②当0a =时，不等式的解集为{}|0x x ≠， ③当0a >时，不等式的解集为|3a x x a x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭,或． ……………………12分。

2016-2017学年天津市红桥区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．C C C C=（）1．01233333A．5 B．6 C．7 D．8A n=7×8×n，则n=（）2．3A．7 B．8 C．9 D．103．2×2列联表中a，b的值分别为（）Y1 Y2总计1 a 21 732 2 25 27总计 b 46A．94，96 B．52，50 C．52，54 D．54，524．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A．B．C．1 D．5．一位母亲记录了儿子3～7岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：cm）与年龄的回归模型为7.273y x．若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是（）A．身高一定是145cm B．身高在145cm以上C．身高在145cm左右 D．身高在145cm以下6．某射手射击所得环数的分布列如表，已知的数学期望E（）=8.9，则y的值为（）7 8 9 10P 0.1 0.3 y A．0.8 B．0.4 C．0.6 D．0.27．在二项式（22+）6的展开式中，常数项是（）A．50 B．60 C．45 D．808．全组有8个男同学，4个女同学，现选出5个代表，最多有2个女同学当选的选法种数是（）A．672 B．616 C．336 D．280二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.9．五个不同的点最多可以连成线段的条数为．10．二项式（+2）5的展开式中，第3项的系数是．11．已知（1﹣2）7=a0+a1+a22+…+a77，那么a1+a2+…+a7= ．12．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为．13．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有种．三、解答题：本大题共4小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．14．（12分）已知（3+）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中项的系数．15．（12分）5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（Ⅰ）甲不在排头，也不在排尾；（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起．16．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．（12分）现有某批次同一型号的产品共10件，其中有8件合格品，2件次品．（Ⅰ）某检验员从中有放回地连续抽取产品2次，每次随机抽取1件，求两次都取到次品的概率；（Ⅱ）若该检验员从中任意抽取2件，用表示取出的2件产品中次品的件数，求的分布列．高二（理）数学（1706）一、选择题每题4分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D CCACBBA二、填空题每题4分9. 1010. 40 11. -2 12. 81513.1200三、解答题14.（Ⅰ）由题意得，n 216， (4)分解得n4。

2017-2018学年天津市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i为虚数单位，则等于（）A．+i B．2i C．iD．i2．已知命题p：∀x∈R（x≠0），x+≥2，则￢p为（）A．∃x0∈R（x0≠0），x0+≤2 B．∃x0∈R（x0≠0），x0+＜2C．∀x∈R（x≠0），x+≤2 D．∀x∈R（x≠0），x+＜23．过点（﹣2，3），且与直线3x﹣4y+5=0垂直的直线方程是（）A．3x﹣4y+18=0 B．4x+3y﹣1=0 C．4x﹣3y+17=0 D．4x+3y+1=04．设x∈R，则“|x﹣1|＜2”是“0＜x+1＜5”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．现有5名学生和2名教师站成一排合影，其中2名教师不相邻的排法共有（）A．720种B．1440种C．1800种D．3600种6．抛物线y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭图形的面积是（）A．B．1 C．D．7．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为（）A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内8．若函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=﹣8x有相同的焦点，且双曲线过点M（3，），则双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣=110．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＜0的解集为（1，2），则关于x的一元二次方程cx2+bx+a ＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（，1） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．已知（+）10的展开式中x2项的系数是，其中a＞0，则a的值为．13．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为．14．曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线方程．15．如图，将正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第20行从左向右的第2个数为．三.解答题：5题40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设直线l：y=﹣x+，圆O：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，求直线l被圆O所截得的弦长．17．已知从某批产品中随机抽取1件是二等品的概率为0.2．（1）若从该产品中有放回地抽取产品2次，每次抽取1件，设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，求P（A）；（2）若该批产品共有20件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求随机变量X 的分布列和数学期望．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E、F、G 分别是AB、PB、CD的中点．（1）求证：EF⊥DC；（2）求证：GF∥平面PAD；（3）求点G到平面PAB的距离．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（2，3），且右焦点为F（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设坐标原点为O，平行于OA的直线l与椭圆C有公共点，且OA与l的距离等于，求直线l的方程．20．设函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，x∈R．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（，+∞）内存在单调递增区间，求a的取值范围；（3）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i为虚数单位，则等于（）A．+i B．2i C．iD．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：C．2．已知命题p：∀x∈R（x≠0），x+≥2，则￢p为（）A．∃x0∈R（x0≠0），x0+≤2 B．∃x0∈R（x0≠0），x0+＜2C．∀x∈R（x≠0），x+≤2 D．∀x∈R（x≠0），x+＜2【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0∈R（x0≠0），x0+＜2，故选：B3．过点（﹣2，3），且与直线3x﹣4y+5=0垂直的直线方程是（）A．3x﹣4y+18=0 B．4x+3y﹣1=0 C．4x﹣3y+17=0 D．4x+3y+1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线3x﹣4y+5=0的斜率为：，∴与之垂直的直线的斜率为：﹣，∴所求直线的方程为y﹣3=﹣（x+2），化为一般式可得4x+3y﹣1=0，故选：B．4．设x∈R，则“|x﹣1|＜2”是“0＜x+1＜5”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由|x﹣1|＜2得﹣2＜x﹣1＜2即﹣1＜x＜3，由0＜x+1＜5得﹣1＜x＜4，即“|x﹣1|＜2”是“0＜x+1＜5”的充分不必要条件，故选：A5．现有5名学生和2名教师站成一排合影，其中2名教师不相邻的排法共有（）A．720种B．1440种C．1800种D．3600种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】首先分析题目已知5名学生和2位老师排成一排，2位老师不相邻，可以考虑到用插空法求解，先把5名学生排好，然后有6个空可以排老师，然后列出式子，根据分步计数原理求解即可．【解答】解：考虑2位老师不相邻排法，可以考虑到用插空法求解，先把5名学生排好，然后有6个空排老师，故有A55•A62=3600排法．故选：D．6．抛物线y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭图形的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由﹣x2+2x=0，得x=0，x=2再由图形可知求出x从0到2，﹣x2+2x上的定积分即为抛物线y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭图形的面积．【解答】解：由﹣x2+2x=0，得x=0，x=2，∴抛物线y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭图形的面积是S=（﹣x2+2x）dx=（﹣+x2）|=﹣+4=，故选：C．7．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为（）A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内【考点】复合命题的真假；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】本题用面面垂直性质定理逐项验证，注意在其中一个平面内作交线的垂线【解答】解：过点P且垂直于α的直线一定平行于在β内与交线垂直的直线，故A正确；由题意和面面垂直的判定定理知，选项B正确；由题意和面面垂直的性质定理知，选项B正确过点P且垂直于l的直线有可能垂直于α，D不正确；故选D．8．若函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，求导f′（x）=0，求得该函数的极值点x1，x2，并判断是极大值点x1，还是极小值点x2，代入f（x1）=6，f（x2）=2，解方程组可求得a，b的值，再由f′（x）＜0即可得到．【解答】解：：令f′（x）=3x2﹣3a=0，得x=±，令f′（x）＞0得x＞或x＜﹣；令f′（x）＜0得﹣＜x＜．即x=﹣取极大，x=取极小．∵函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，∴f（）=2，f（﹣）=6，即a﹣3a+b=2且﹣a+3a+b=6，得a=1，b=4，则f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜1．则减区间为（﹣1，1）．故选：B．9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=﹣8x有相同的焦点，且双曲线过点M（3，），则双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标即双曲线的一个焦点，利用双曲线的定义求出a，即可得到结论．【解答】解：抛物线y2=﹣8x的焦点坐标为（﹣2，0），即c=2，则双曲线的两个焦点坐标为A（2，0），B（﹣2，0），∵双曲线过点M（3，），∴2a=|BM|﹣|AM|=﹣=﹣=2，则a=，则b2=c2﹣a2=4﹣3=1，则双曲线的方程为﹣y2=1，故选：A．10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＜0的解集为（1，2），则关于x的一元二次方程cx2+bx+a ＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（，1） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式ax2+bx+c＜0的解集得出a＞0，求b=﹣3a，c=2a，再化简不等式cx2+bx+a＜0，求出解集即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＜0的解集为（1，2），∴﹣=1+2=3，=1×2，且a＞0，∴b=﹣3a，c=2a，∴不等式cx2+bx+a＜0可化为2ax2﹣3ax+a＜0，即可化为2x2﹣3x+1＜0，即为（2x﹣1）（x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故不等式的解集为（，1），故选：C．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为64 cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥与正四棱柱的组合体，由此求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体，如图所示，长方体的长为5，宽为4，高为3，∴该组合体的体积为V=×4×4×3+4×4×3=64．故答案为：64．12．已知（+）10的展开式中x2项的系数是，其中a＞0，则a的值为．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：二项式（+）10的展开式的通项T r+1=（）r C10r a10﹣r x4r﹣30，令4r﹣30=2，解得r=8．∴（）8C108a2=，化为：a2=，解得a=．故答案为：．13．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（x ﹣2）2+（y+2）2=1 ．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，即（x﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．14．曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线方程x﹣y+2=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，然后将点的坐标代入，求出切线斜率，即可求得曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线方程．【解答】解：y=x3﹣2x+4的导数为：y=3x2﹣2，将点（1，3）的坐标代入，即可得斜率为：k=1，∴曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线方程为y﹣3=x﹣1，即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0．15．如图，将正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第20行从左向右的第2个数为192 ．【考点】归纳推理．【分析】先找到数的分布规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第2个数即可得出第20行从左向右的第2个数．【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n﹣1）个数．所以第n行从左向右的第2个数n（n﹣1）+2，所以第20行从左向右的第2个数为=192，故答案为：192．三.解答题：5题40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设直线l：y=﹣x+，圆O：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，求直线l被圆O所截得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心O（2，1）到直线l的距离和圆O的半径，由此利用勾股定理能求出直线l被圆O所截得的弦长．【解答】解：∵直线l：y=﹣x+，∴直线l的一般形式为：3x+4y﹣5=0，圆O的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，则圆心O（2，1）到直线l的距离：d==1，圆O的半径r=2，故半弦长为=，∴直线l被圆O所截得的弦长为2．17．已知从某批产品中随机抽取1件是二等品的概率为0.2．（1）若从该产品中有放回地抽取产品2次，每次抽取1件，设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，求P（A）；（2）若该批产品共有20件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记A0表示事件“取出的2件产品中没有二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，则A1与A0互斥，且A=A0+A1，由此能求出事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中没有二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，则A1与A0互斥，且A=A0+A1，∴P（A）=P（A0）+P（A1）=（1﹣0.2）2+C×0.2×（1﹣0.2）=0.96．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，该产品共有二等品20×0.2=4（件），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：E（X）+=．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E、F、G 分别是AB、PB、CD的中点．（1）求证：EF⊥DC；（2）求证：GF∥平面PAD；（3）求点G到平面PAB的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证：EF⊥CD，先证DC⊥AP，再证EF‖AP即可证明EF⊥CD．（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，=（0，2，0）为平面PAD的一个法向量，=（1，0，1），证明．即可证明GF∥平面PAD；（3）证明GF⊥平面PAB，即可求点G到平面PAB的距离．【解答】（1）证明：∵PD⊥DC，DC⊥AD，AD∩PD=D，∴DC⊥平面PAD，∵AP∈平面ABCD，∴DC⊥AP，∵E、F分别是PB和AB的中点，EF是三角形PAB的中位线，EF‖AP，∴EF⊥CD．（2）证明：如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（2，1，0），F（1，1，1），G（0，1，0），∵=（0，2，0）为平面PAD的一个法向量，=（1，0，1），∴=1×0+0×2+1×0=0，∴．∵GF⊄平面PAD，∴GF∥平面PAD．（3）解：∵=（1，0，1），=（0，2，0），=（2，0，﹣2），∴=0，=0，即GF⊥AB，GF⊥PA，∵AB∩PA=A，∴GF⊥平面PAB，垂足为F点，∵||==．∴点G到平面PAB的距离为．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（2，3），且右焦点为F（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设坐标原点为O，平行于OA的直线l与椭圆C有公共点，且OA与l的距离等于，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）依题意设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）由已知得c=2，2a=|AF|+|AF′|=8，由此能求出椭圆C的方程．（2）平行于OA的直线l的方程为y=x+t，联立直线与椭圆方程，得3x2+3bx+t2﹣12=0，由此利用根的判别式，结合OA与l的距离等于，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）依题意设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）且可知左焦点为F′（﹣2，0），|AF|==3，|AF′|==5，从而有c=2，2a=|AF|+|AF′|=8，解得a=4，c=2，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为=1．（2）∵k OA=，∴平行于OA的直线l的方程为y=x+t，联立直线与椭圆方程，得3x2+3bx+t2﹣12=0，∵平行于OA的直线l与椭圆有公共点，∴△=9t2﹣12（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4∵OA与l的距离等于，∴=，∴t=±∈[﹣4，4]∴直线l的方程为y=x±．20．设函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，x∈R．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（，+∞）内存在单调递增区间，求a的取值范围；（3）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到导函数的符号，求出函数的单调性即可；（2）求出函数的导数，得到函数的极大值点，解关于a的不等式，求出a的范围即可；（3）求出x2的范围，解关于a的方程，求出a的值和x2的值，从而求出f（x）在区间[1，4]上的最大值．【解答】解：（1）a=﹣1时，f（x）=）=﹣x3+x2﹣2x，∵f′（x）=﹣﹣＜0，∴f（x）在R递减；（2）由f′（x）=﹣x2+x+2a=0，解得：x1=，x2=，则极大值点是x2，令＞，解得：a＞﹣，∴a的范围是（﹣，+∞）；（3）由（2）得f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增，当0＜a＜2时，x1∈（，0），x2∈（1，），故x1＜1＜x2＜4，∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（x2），∵f（4）﹣f（1）=﹣+6a＜0，∴f（x）在[1，4]上的最小值是f（4）=﹣+8a=﹣，解得：a=1，x2=2，∴f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（2）=．2016年8月21日。

2017-2018学年天津市部分区县高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：1．（4分）已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．ac＞bc B．|a|＞|b|C．D．2．（4分）在用反证法证明命题“已知a＞0，b＞0，且a+b＞1，求证：中至少有一个小于2”时，假设正确的是（）A．假设都不大于2B．假设都小于2C．假设都不小于2D．假设都大于23．（4分）i是虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（）A．0B．C．1D．24．（4分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B等于（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 5．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝1﹣x2B．C．D．y＝lgx6．（4分）已知变量x与y之间的一组数据：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测当x＝9时，y的估计值是（）A．19B．20C．21D．227．（4分）若，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c8．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足其导函数f'（x）＜0在R上恒成立，则不等式f（|x|）＜f（1）的解集为（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）9．（4分）若，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 10．（4分）已知函数，若1＜a＜2，且函数g（x）＝f（x）﹣a的所有零点之和为，则实数a的值为（）A．B．C．D．二、填空题11．（4分）已知，则f（f（3））的值为．12．（4分）为了解学案的使用是否对学生的学习成绩有影响，随机抽取100名学生进行调查，得到2×2列联表，经计算K2的观测值k≈7.4，则可以得到结论：在犯错误的概率不超过的前提下，认为学生的学习成绩与使用学案有关．参考数据：13．（4分）已知数列{a n}满足，且a1＝2，猜想这个数列的通项公式为．14．（4分）已知函数f（x）＝（x+1）e x，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（0）的值为．15．（4分）已知函数f（x）＝lgx，若f（2a）+f（2b）＝f（2）（a＞0，且b＞0），则的最小值是．三、解答题16．（12分）i是虚数单位，且（a，b∈R）．（1）求a，b的值；（2）设复数z＝﹣1+yi（y∈R），且满足复数（a+bi）•z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求|z|．17．（12分）设不等式|2x﹣5|＜1的解集为A．（1）求A；（2）若a，b∈A，试比较ab+4与2（a+b）的大小．18．（12分）已知函数（c∈R）．（1）当c＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有三个不同的零点，求c的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝log a（x2﹣1）（a＞0，且a≠1）．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）当a＝3是时，求的值；（3）解关于x的不等式f（x）＞1．20．（12分）已知函数（a＜0）．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数y＝f（x）的单调区间；（3）若对∀x∈[e，+∞）（e为自然对数的底数），恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年天津市部分区县高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（4分）已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．ac＞bc B．|a|＞|b|C．D．【解答】解：利用排除法：对于选项A：当c＝0时，ac＝bc，故错误．对于选项B：当0＞a＞b，故：|a|＜|b|．故错误．对于选项C，当a＝0，b＝﹣1时，关系式不成立．故错误：故选：D．2．（4分）在用反证法证明命题“已知a＞0，b＞0，且a+b＞1，求证：中至少有一个小于2”时，假设正确的是（）A．假设都不大于2B．假设都小于2C．假设都不小于2D．假设都大于2【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，已知a＞0，b＞0，且a+b＞1，求证：中至少有一个小于2的反面都不小于2；故选：C．3．（4分）i是虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（）A．0B．C．1D．2【解答】解：复数＝﹣ai＝+i是实数，则﹣a＝0，实数a＝．故选：B．4．（4分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B等于（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【解答】解：由B中的不等式|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3，即B＝（﹣1，3），∵A＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．5．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝1﹣x2B．C．D．y＝lgx【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝1﹣x2＝﹣x2+1为二次函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；对于B，y＝，在区间（﹣1，+∞）上单调递减，不符合题意；对于C，y＝（）x为指数函数，则R上为减函数，不符合题意；对于D，y＝lgx，为对数函数，在（0，+∞）为增函数，符合题意；故选：D．6．（4分）已知变量x与y之间的一组数据：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测当x＝9时，y的估计值是（）A．19B．20C．21D．22【解答】解：由题意，＝＝4，＝＝7，中，＝7﹣2.4×4＝﹣2.6，∴x＝9，＝x+＝2.4×9﹣2.6＝19，故选：A．7．（4分）若，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c【解答】解：a2＝16＝9+7＝9+2，b2＝9+2，c2＝9+2，∵＜14＜18，∴a2＜b2＜c2，∴a＜b＜c，故选：A．8．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足其导函数f'（x）＜0在R上恒成立，则不等式f（|x|）＜f（1）的解集为（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足其导函数f'（x）＜0在R上恒成立，可知函数f（x）是减函数，函数y＝f（|x|）是偶函数，当x＞0时，可得x＞1，当x＜0时，可得x＜﹣1，则不等式f（|x|）＜f（1）的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：D．9．（4分）若，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：a＝log0.33＜0，∈（0，1），c＝1.20.8＞1．∴a＜b＜c．故选：C．10．（4分）已知函数，若1＜a＜2，且函数g（x）＝f（x）﹣a的所有零点之和为，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：作出函数的图象，函数g（x）＝f（x）﹣a的零点，即f（x）＝a的根，由1＜a＜2可得三个交点，横坐标由小到大设为x1，x2，x3，可得x2+x3＝6，则x1＝﹣6＝，可得a＝＝＝，故选：B．二、填空题11．（4分）已知，则f（f（3））的值为．【解答】解：∵，∴f（3）＝3＝﹣1，f（f（3））＝f（﹣1）＝2e﹣1﹣1＝．故答案为：．故答案为：．12．（4分）为了解学案的使用是否对学生的学习成绩有影响，随机抽取100名学生进行调查，得到2×2列联表，经计算K2的观测值k≈7.4，则可以得到结论：在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为学生的学习成绩与使用学案有关．参考数据：【解答】解：由题意得出观测值K2≈7.4＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“学生的学习成绩与使用学案有关”．故答案为：0.010．13．（4分）已知数列{a n}满足，且a1＝2，猜想这个数列的通项公式为a n＝．【解答】解：数列{a n}满足，且a1＝2，可得：a2＝＝，同理可得：a3＝，a4＝．猜想这个数列的通项公式为：a n＝．故答案为：a n＝．14．（4分）已知函数f（x）＝（x+1）e x，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（0）的值为2．【解答】解：由题意f′（x）＝e x（x+2），则f′（0）＝e0（0+2）＝2，故答案为：2．15．（4分）已知函数f（x）＝lgx，若f（2a）+f（2b）＝f（2）（a＞0，且b＞0），则的最小值是3+2．【解答】解：函数f（x）＝lgx，若f（2a）+f（2b）＝f（2），可得lg2a+lg2b＝lg2，即有2a+b＝2，即a+b＝1，a＞0，b＞0，则＝+＝（a+b）（+）＝3++≥3＝2＝3+2，当且仅当b＝a＝2﹣，上式取得等号，则的最小值为3+2．故答案为：3+2．三、解答题16．（12分）i是虚数单位，且（a，b∈R）．（1）求a，b的值；（2）设复数z＝﹣1+yi（y∈R），且满足复数（a+bi）•z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求|z|．【解答】解：（1）∵＝，∴a＝3，b＝﹣1；（2）由z＝﹣1+yi（y∈R），得（a+bi）•z＝（3﹣i）（﹣1+yi）＝（﹣3+y）+（3y+1）i．由题意可知：﹣3+y＝3y+1，解得y＝﹣2．∴|z|＝．17．（12分）设不等式|2x﹣5|＜1的解集为A．（1）求A；（2）若a，b∈A，试比较ab+4与2（a+b）的大小．【解答】解：（1）由|2x﹣5|＜1得，﹣1＜2x﹣5＜1，即：2＜x＜3．∴A＝{x|2＜x＜3}．（2）ab+4﹣2（a+b）＝a（b﹣2）+2（2﹣b）＝（a﹣2）（b﹣2）∵a，b∈A，∴ab+4﹣2（a+b）＞0．∴ab+4＞2（a+b）．18．（12分）已知函数（c∈R）．（1）当c＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有三个不同的零点，求c的取值范围．【解答】解：（1）当c＝0时，f（x）＝x3﹣x2﹣x，∴f′（x）＝x2﹣x﹣，令f′（x）＝0，解得，x＝1或x ＝﹣∴当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：，）所以，当x＝﹣时，f（x）有极大值；当x ＝1时，f（x）有极小值﹣．（2）由（1）可知，若函数f（x）有三个不同的零点只须，解得﹣＜c ＜，∴当﹣＜c＜时，函数f （x）有三个不同的零点．19．（12分）已知函数f（x）＝log a（x2﹣1）（a＞0，且a≠1）．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）当a＝3是时，求的值；（3）解关于x的不等式f（x）＞1．【解答】解：（1）函数f（x）为偶函数，证明如下：函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，且＝，∴函数f（x）为偶函数（2）当a＝3时，＝；（3）当a＞1时，log a（x2﹣1）＞1，可得x2﹣1＞a，解得或，此时，不等式f（x）＞1的解集为；当0＜a＜1时，log a（x2﹣1）＞1，可得0＜x2﹣1＜a，解得，此时，不等式f（x）＞1的解集为{x |．20．（12分）已知函数（a＜0）．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数y＝f（x）的单调区间；（3）若对∀x∈[e，+∞）（e为自然对数的底数），恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝x +﹣lnx，f′（x）＝1﹣﹣，f′（1）＝﹣2，又f（1）＝3，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣3＝﹣2（x﹣1），即：2x+y﹣5＝0；（2）f′（x ）＝，∵a＜0时，∴a＜0＜1﹣a，令f′（x）＞0，解得：x＞1﹣a，令f′（x）＜0，解得：10＜x＜1﹣a，∴y＝f（x）的单调递增区间为（1﹣a，+∞）；单调递减区间（0，1﹣a）；（3）由题意，对∀x∈[e，+∞），恒有f（x）＜x ﹣成立，等价于对∀x∈[e，+∞），恒有a2＜xlnx成立，即：a2＜（xlnx）min，设g（x）＝xlnx，x∈[e，+∞），∵g′（x）＝lnx+1＞0在[e，+∞）上恒成立，∴g（x）在[e，+∞）单调递增，∴g（x）min＝g（e）＝e，∴只须a2＜e ；即：﹣＜a ＜，又∵a＜0，∴﹣＜a＜0，∴实数a 的取值范围是（﹣，0）．第11页（共11页）。

2016-2017学年天津市红桥区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．01233333C C C C +++=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．3A n =7×8×n ，则n=（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．2×2列联表中a ，b 的值分别为（ ）A ．94，96B ．52，50C ．52，54D ．54，524．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ） A ． B ． C ．1D ．5．一位母亲记录了儿子3～7岁时的身高，并根据记录数据求得身高（单位：cm ）与年龄的回归模型为7.273y x =+．若用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述正确的是（ ）A ．身高一定是145cmB ．身高在145cm 以上C ．身高在145cm 左右D ．身高在145cm 以下6．某射手射击所得环数X 的分布列如表，已知X 的数学期望E （X ）=8.9，则y 的值为（ ）A ．0.8B ．0.4C ．0.6D ．0.27．在二项式（2x 2+）6的展开式中，常数项是（ ） A ．50 B ．60 C ．45 D ．808．全组有8个男同学，4个女同学，现选出5个代表，最多有2个女同学当选的选法种数是（）A．672 B．616 C．336 D．280二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.9．五个不同的点最多可以连成线段的条数为．10．二项式（+2）5的展开式中，第3项的系数是．11．已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7= ．12．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为．13．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有种．三、解答题：本大题共4小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．14．（12分）已知（3x+）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中x项的系数．15．（12分）5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（Ⅰ）甲不在排头，也不在排尾；（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起．16．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．（12分）现有某批次同一型号的产品共10件，其中有8件合格品，2件次品．（Ⅰ）某检验员从中有放回地连续抽取产品2次，每次随机抽取1件，求两次都取到次品的概率；（Ⅱ）若该检验员从中任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中次品的件数，求X的分布列．高二（理）数学（1706）一、选择题每题4分二、填空题每题4分9. 1010. 4011. -212.8 1513.1200三、解答题15. （Ⅰ）若甲不在排头，也不在排尾，排列的方法有：A A1434............................4分=72种；.........................6分（Ⅱ）甲、乙、丙三人必须在一起，排列的方法有：A A3333............................10分=36种； ..........................12分（列式不唯一，以答案为准）16. 记E =｛甲组研发新产品成功｝，F =｛乙组研发新产品成功｝，由题意知，P E ()=23，P E ()=13,P F ()=35，P F ()=25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都是相互独立的。

2016-2017学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A n2=132，则n=（）A．11 B．12 C．13 D．142．若离散型随机变量ξ的概率分布如表所示，则a的值为（）ξ﹣11P4a﹣13a2+a A．B．﹣2 C．或﹣2 D．3．在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则y与x之间的线性回归方程为（）A．=x﹣1 B．=x+2 C．=2x+1 D．=x+14．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的标报名方法共有（）A．4种 B．16种C．64种D．256种5．二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A．24 B．18 C．6 D．166．某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A．种B．种C．8种D．2种7．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是（）A．70 B．98 C．108 D．1208．若X是离散型随机变量，P（X=x1）=，P（X=x2）=，且x1＜x2，又已知E （X）=，D（X）=，则x1+x2的值为（）A．B．C．3 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在题中的横线上）9．每次试验的成功率为p（0＜p＜1），重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为．10．端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘火车到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是．11．二项式（9x+）18的展开式的常数项为（用数字作答）．12．一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A专业不能作为第一、第二志愿，则他共有种不同的填法（用数字作答）．13．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．14．一个口袋里装有5个不同的红球，7个不同的黑球，若取出一个红球记2分，取出一个黑球记1分，现从口袋中取出6个球，使总分低于8分的取法种数为（用数字作答）．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答题应写出解题（或证明）过程.）15．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？16．从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求（Ⅰ）ξ的分布列；（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率．17．环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采取10分制，保留一位小数）．现随机抽取20天的指数（见下表），将指数不低于8.5视为当天空气质量优良．天数1 2 34 5 6 789 107.18.3 7.39.58.67.78.78.88.7 9.1空气质量指数天数1112 13 14 1516 17 18 19 207.48.59.78.49.67.69.48.98.39.3空气质量指数（Ⅰ）求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；（Ⅱ）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）．若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X 的分布列及数学期望．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．19．已知函数f（x）=x2+alnx（a为实常数）（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A n2=132，则n=（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】根据排列数的公式，列出方程，求出n的值即可．【解答】解：∵=132，∴n（n﹣1）=132，整理，得，n2﹣n﹣132=0；解得n=12，或n=﹣11（不合题意，舍去）；∴n的值为12．故选：B．2．若离散型随机变量ξ的概率分布如表所示，则a的值为（）ξ﹣11P4a﹣13a2+a A．B．﹣2 C．或﹣2 D．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】利用离散型随机变量ξ的概率分布列的性质列出不等式组，由此能求出结果．【解答】解：由离散型随机变量ξ的概率分布表知：，解得a=．故选：A．3．在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则y与x之间的线性回归方程为（）A．=x﹣1 B．=x+2 C．=2x+1 D．=x+1【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．【解答】解：∵=×（1+2+3+4）=2.5，=×（2+3+4+5）=3.5，∴这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，故选：D．4．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的标报名方法共有（）A．4种 B．16种C．64种D．256种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得4名同学中每个同学都有2种选法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，每个同学可以在两个课外活动小组中任选1个，即有2种选法，则4名同学一共有2×2×2×2=16种选法；故选：B．5．二项式（a+2b）n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A．24 B．18 C．6 D．16【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：•a n﹣1•2b=a n﹣1b，∴=8，解得n=4．它的第三项的二项式系数为=6．故选：C．6．某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A．种B．种C．8种D．2种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用捆绑法分析：将4个空车位看成一个整体，并将这个整体与8辆不同的车全排列，由排列数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求有4个空车位连在一起，则将4个空车位看成一个整体，将这个整体与8辆不同的车全排列，有A99种不同的排法，即有A99种不同的停车方法；故选：A．7．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是（）A．70 B．98 C．108 D．120【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，由于A，B，C三门中至多选一门，则分2种情况讨论：①、从A，B，C三门中选出1门，其余7门中选出2门，②、从除A，B，C三门之外的7门中选出3门，分别求出每一种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、从A，B，C三门中选出1门，其余7门中选出2门，有C31C72=63种选法，②、从除A，B，C三门之外的7门中选出3门，有C73=35种选法；故不同的选法有63+35=98种；故选：B．8．若X是离散型随机变量，P（X=x1）=，P（X=x2）=，且x1＜x2，又已知E （X）=，D（X）=，则x1+x2的值为（）A．B．C．3 D．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据数学期望和方差公式列方程组解出x1，x2．【解答】解：∵E（X）=，D（X）=，∴，解得或（舍），∴x1+x2=3．故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在题中的横线上）9．每次试验的成功率为p（0＜p＜1），重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为（1﹣p）6•p4．【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意知符合二项分布概率类型，由概率公式计算即可．【解答】解：每次试验的成功率为p（0＜p＜1），重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功，所以所求的概率为（1﹣p）6•p4．故答案为：（1﹣p）6•p4．10．端午节小长假期间，张洋与几位同学从天津乘火车到大连去旅游，若当天从天津到大连的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列正点到达的概率是0.398．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】设当天从天津到大连的三列火车正点到达的事件分别为A，B，C，事件A，B，C相互独立，这三列火车恰好有两列正点到达的概率p=P（AB）+P（A C）+P（），由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：设当天从天津到大连的三列火车正点到达的事件分别为A，B，C，则P（A）=0.8，P（B）=0.7，P（C）=0.9，事件A，B，C相互独立，∴这三列火车恰好有两列正点到达的概率：p=P（AB）+P（A C）+P（）=0.8×0.7×（1﹣0.9）+0.8×（1﹣0.7）×0.9+（1﹣0.8）×0.7×0.9=0.398．故答案为：0.398．11．二项式（9x+）18的展开式的常数项为18564（用数字作答）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】首先写出展开式的通项并整理，从未知数的指数找出满足条件的常数项．【解答】解：由已知得到展开式的通项为：=，令r=12，得到常数项为=18564；故答案为：18564．12．一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A专业不能作为第一、第二志愿，则他共有1800种不同的填法（用数字作答）．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在除A之外的6个专业中，任选2个，作为第一、二志愿，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、由于A专业不能作为第一、第二志愿，需要在除A之外的6个专业中，任选2个，作为第一、二志愿，有A62=30种填法，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，有A53=60种填法，则该学生有30×60=1800种不同的填法；故答案为：1800．13．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即P（A|B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P （A|B）=，运算求得结果．【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P（A|B）．又P（AB）=P（A）==，P（B）==，∴P（A|B）===，故答案为：．14．一个口袋里装有5个不同的红球，7个不同的黑球，若取出一个红球记2分，取出一个黑球记1分，现从口袋中取出6个球，使总分低于8分的取法种数为112（用数字作答）．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，设取出x个红球，则取出6﹣x个黑球，若总分低于8分，可得2x+（6﹣x）＜8，即x＜2，分析可得总分低于8分的情况有2种：①、取出6个黑球，②、取出1个红球，5个黑球，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，设取出x个红球，则取出6﹣x个黑球，此时总得分为2x+（6﹣x），若总分低于8分，则有2x+（6﹣x）＜8，即x＜2，即x可取的情况有2种，即x=0或x=1，即总分低于8分的情况有2种：①、取出6个黑球，有C76=7种取法，②、取出1个红球，5个黑球，有C51×C75=105种取法，故使总分低于8分的取法有7+105=112种；故答案为：112．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答题应写出解题（或证明）过程.）15．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅱ）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；（Ⅲ）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，从5名男生中选出2人，有C52=10种选法，从4名女生中选出2人，有C42=6种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60种；（Ⅱ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有C74=35种，则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有126﹣35=91种；（Ⅲ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，其中只有男生的选法有C51=5种，只有女生的选法有C41=1种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有126﹣5﹣1=120种．16．从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求（Ⅰ）ξ的分布列；（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，ξ股从超几何分布P（ξ=k）=，由此能求出ξ的分布列．（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率为P（ξ≥2）=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4），由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，ξ股从超几何分布P（ξ=k）=，k=0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：ξ01234P（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率为：P（ξ≥2）=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）==．17．环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采取10分制，保留一位小数）．现随机抽取20天的指数（见下表），将指数不低于8.5视为当天空气质量优良．天数1 2 34 5 6 789 107.18.3 7.39.58.67.78.78.88.7 9.1空气质量指数天数1112 13 14 1516 17 18 19 207.48.59.78.49.67.69.48.98.39.3空气质量指数（Ⅰ）求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；（Ⅱ）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）．若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X 的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）根据组合数公式计算所有可能的情况种数，得出答案；（II）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（I）由表中数据可知20天中，空气质量优良的天数是12天，∴从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率为P==．（II）任意抽取1天，则该天空气质量优良的概率为=，故X服从二项分布X～B（3，），∴P（X=0）=（）3=，P（X=1）=××（）2=，P（X=2）=×（）2×=，P（X=3）=（）3=．∴X的分布列为：X0 1 2 3P∴E（X）=0×+1×+2×+3×=．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD ⊥平面BCD．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则•=（﹣1，0，1）•（0，，0）=0，•=（﹣1，0，1）•（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD⊂平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．19．已知函数f（x）=x2+alnx（a为实常数）（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】（1）当a=﹣2时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函数在（1，+∞）上是增函数；（2）求导f′（x）=2x+=（x＞0），当x∈[1，e]时，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．分①a≥﹣2，②﹣2e2＜a＜﹣2，③a≤﹣2e2，三种情况得到函数f（x）在[1，e]上是单调性，进而得到[f（x）]min；（3）由题意可化简得到（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，x∈（0，+∞），则f′（x）=2x﹣=（x＞0）由于f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函数在（1，+∞）上是增函数；（2）f′（x）=2x+=（x＞0），当x∈[1，e]时，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．①若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f′（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．②若﹣2e2＜a＜﹣2，当x=时，f′（x）=0；当1≤x＜时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；当＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min=f（）=ln（﹣）﹣．③若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为ln（﹣）﹣，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），则，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．2017年7月13日。