Lect16

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5.2.1 一阶共振从轨道共振第二基本模型出发,讨论一阶共振( k = 1)H = AJ + BJ + C ( 2 J ) cos ϕ ,212A, B, C 为三个常数, J , ϕ 是一对共轭坐标.定义新的广义动量 I 和时间τ :J = B − 2 3C 2 3 I , t = B −1 3C −2 3τ .Hamilton系统简化为:H ′ = δ I + I 2 + ( 2 I ) cos ϕ ,12δ = AB −1 3C −2 3 .1, B ∼ 1上述变换使得时间变慢,轨道偏心率或轨道倾角被放大. A, C引入直角坐标:x = 2 I cos ϕ , y = 2 I sin ϕ ,这时的 Hamilton函数变成 1 1 2 2 2 2 2 H ′ = δ ( x + y ) + ( x + y ) + x. 2 45.2.1 一阶共振由Hamilton方程 1 1 2 2 2 2 2 H ′ = δ ( x + y ) + ( x + y ) + x, 2 4 知道正则运动方程是: ∂H x=− = −δ y − y ( x 2 + y 2 ) , ∂y ∂H y=+ = δ x + x ( x 2 + y 2 ) + 1. ∂x 平动点 ( x0 , y0 ) 满足: x = −δ y − y ( x 2 + y 2 ) = 0, y = δ x + x ( x 2 + y 2 ) + 1 = 0. 求解得 :3 δ x0 + x0 + 1 = 0,x, y 表示对新时间变量求导 : dy dx x≡ , y≡ dτ dτy0 = 0.5.2.1 一阶共振记: ⎡ 1 ⎛1 δ ⎞ d1 = ⎢ − + ⎜ + ⎟ ⎢ 2 ⎝ 4 27 ⎠ ⎣ 则 x0 的三个解为 :3 12 13⎤ ⎡ 1 ⎛1 δ ⎞ ⎥ , d2 = ⎢− − ⎜ + ⎟ ⎥ ⎢ 2 ⎝ 4 27 ⎠ ⎦ ⎣312 13⎤ ⎥ ⎥ ⎦x01 = d1 + d2 , x02 = − 1 ( d1 + d2 ) + 3i ( d1 − d2 ) , 2 2 x03 = − 1 ( d1 + d2 ) − 3i ( d1 − d2 ) . 2 2 δ > −1.88988, 一个平动点 δ = −1.88988, 两个个平动点 δ < −1.88988, 三个平动点1 δ3 + = 0, δ = −1.88988 4 275.2.1 一阶共振5.2.1 一阶共振5.2.1 一阶共振5.2.2 二阶共振当 k = 2时,为二阶共振的情况,此时的Hamilton函数为: 1 1 2 2 2 2 2 2 2 12 H = δ (x + y ) + (x + y ) + x(x + y ) , 2 4 而正则运动方程是: ∂H 2 2 2 2 −1 2 = −δ y − y ( x + y ) − xy ( x + y ) , x=− ∂y ∂H 2 2 2 2 12 2 2 2 −1 2 = δ x + x(x + y ) + (x + y ) + x (x + y ) . y=+ ∂x 平动点 ( x0 , y0 ) 满足: x = −δ y − y ( x + y ) − xy ( x + y2 2 2 2 −1 2)= 0,2 2 −1 2y = δ x + x(x + y ) + (x + y2 2 22 12)+ x (x + y2)= 0.求解得 :δ x0 + x + x0 + x x03 0 2 0−1= 0,y0 = 0.⎧ −2 − δ , ⎪ 解为 : x0 = ⎨ ⎪− 2 − δ , ⎩δ < −2 δ < +2,y0 = 0.5.2.2 二阶共振5.2.2 二阶共振5.2.2 二阶共振5.3.1 主带小行星的3:1空隙主带小行星位置及其运动行星轨道 彗星 主带小行星 近地小天体5.3.1 主带小行星的3:1空隙主带小行星轨道半长径分布 Kirkwood Gaps5.3.1 主带小行星的3:1空隙采用平面限制性三体模型,考察处于该共振中的小行星的轨道演化. 取木星质量 µ = 1 1047.355, 太阳质量为 µ1 = 1 − µ , 木星轨道半长径为长 2AU ) 为长度单位 : a′ = 1, 木星周期 (11.86yr ) 为 2π 个时间单位, 此时 度 ( 5.木星的平运动频率 n′ = 1, 万有引力常数G = 1.木星轨道偏心率 e′ = 0.048, 因为是平面限制性模型,有 i = i′ = 0, s = s′ = 0. 描述小行星在 3 :1共振处运动的摄动函数为:其中直接项 RD ( 包括长期项和共振项,展开到 e, e′ 的二阶 ) 为:′ R = Gm ( RD + α RE ) = µ ( RD + α RE )3:1 . a′RD ≈ A1 + A2 ( e2 + e′2 ) + A3ee′ cos ⎡ϖ − ϖ ′⎤ + A13e2 cos ⎡3λ ′ − λ − 2ϖ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + A23ee′ cos ⎡3λ ′ − λ −ϖ ′ −ϖ ⎤ + A33e′2 cos ⎡3λ ′ − λ − 2ϖ ′⎤ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦间接项为:RE ≈ − 27 e′2 cos ⎡3λ ′ − λ − 2ϖ ′⎤ . ⎣ ⎦ 85.3.1 主带小行星的3:1空隙RD 中的系数为: 1 0 1 3 A1 = b1( 2) (α ) , A13 = ( 21 + 10α D + α 2 D 2 ) b1( 2) (α ) , 2 8 1 1 0 2 A2 = ( 2α D + α 2 D 2 ) b1( 2) (α ) , A23 = ( −20 − 10α D − α 2 D 2 ) b1( 2) (α ) , 8 4 1 1 1 1 A3 = ( 2 − 2α D − α 2 D 2 ) b1( 2) (α ) , A33 = (17 + 10α D + α 2 D 2 ) b1( 2) (α ) . 4 8 令 A33 = A33 − 27 α , 则可以把间接项也写到一个统一的表达式中. ′ 8 采用Poincare变量,L = µ1a ,ρ = µ1a 1 − 1 − e 2 , g = −ϖ = − (ω + Ω ) .Hamilton函数是: H =−()l = λ = M + ω + Ω,ρ ∼ e 2 是小量, 且 e 2 ∼ 2 ρ Lµ122L2− µ ( RD + α RE ) .5.3.1 主带小行星的3:1空隙在共振处, 半长径的变化是比较小的,因此可以近似认为α = a a′ 是常数, 在这种假设下,直接项中 A1 , A2 e′2 这样的项就是常数,可以从Hamilton 函数中略去,最终的Hamilton函数是:H =−其中µ122L2− µ Rsec − µ Rres ,2ρ 2ρ e′ cos (ϖ ′ − ϖ ) + A3 L LRsec = A2 e 2 + A3ee′ cos (ϖ ′ − ϖ ) ≈ A2= 2 F ρ + G 2 ρ e′ cos (ϖ ′ − ϖ ) ,e2 ≈ 2 ρ LRres = A132ρ 2ρ e′ cos ( 3λ ′ − λ − ϖ ′ − ϖ ) cos ( 3λ ′ − λ − 2ϖ ) + A23 L L ′ + A33e′2 cos ( 3λ ′ − λ − 2ϖ ′ ) + Ee′2 cos ( 3λ ′ − λ − 2ϖ ′ )= 2C ρ cos ( 3λ ′ − λ − 2ϖ ) + D 2 ρ e′ cos ( 3λ ′ − λ − ϖ ′ − ϖ )5.3.1 主带小行星的3:1空隙显然 A A A A2 ′ , G = 3 , C = 13 , D = 23 , E = A33 . L L L L 在于木星轨道发生3 :1共振处, F= a ⎛ n′ ⎞ α = =⎜ ⎟ a′ ⎝ n ⎠ 分别计算可得 : F = 0.2050694, G = −0.1987054, C = 0.8631579, D = −2.656407, E = 0.3629536. 此时的Hamilton函数显式地写为 :常数231 =⎛ ⎞ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠23= 0.4807498.λ ′ = t , 含时H =−µ122L2− µ ⎡ 2 F ρ + G 2 ρ e′ cos (ϖ ′ + g ) + 2C ρ cos ( 3λ ′ − l + 2 g ) ⎣+ D 2 ρ e′ cos ( 3λ ′ − l − ϖ ′ + g ) + Ee′2 cos ( 3λ ′ − l − 2ϖ ′ ) ⎤ ⎦5.3.1 主带小行星的3:1空隙为了达到变量变换 φ = λ − 3λ ′ 的目的, 定义生成函数 S : S = ( l − 3λ ′ ) Φ + g ρ ′. 该生成函数给出的变换 ( L, ρ , l , g ) → ( Φ, ρ ′, φ , g ′ ) : ∂S ∂S ∂S ∂S = l − 3λ ′, g ′ = = g, L = = Φ, ρ = = ρ ′. ′ ∂Φ ∂ρ ∂l ∂g 生成函数中的 g ρ ′ 保证了在变换中 ρ , g 保持不变因此把新变量记成 : .生成函数是 S ( q, P ) 形式φ=( Φ = L, ρ , φ = l − 3λ ′, g ) .变换后的Hamilton函数是 :µ H ′ = H + ∂S = − 1 2 − 3Φ − µ Rsec − µ Rres ∂t 2Φ2已消除了时间 t , 若设常 数ϖ ′ = 0, 可进一步简化=−2Φµ122− 3Φ − µ ⎡ 2 F ρ + G 2 ρ e′ cos (ϖ ′ + g ) + 2C ρ cos (φ − 2 g ) ⎣+ D 2 ρ e′ cos (φ + ϖ ′ − g ) + Ee′2 cos (φ + 2ϖ ′ ) ⎤ . ⎦5.3.1 主带小行星的3:1空隙将极坐标 ( ρ , g ) 换成直角坐标 ( x, y )的形式,可通过如下生成函数完成: S= 1 2 x tan g , 2 ∂S 1 2 = x sec 2 g , ∂g 2 y=生成函数是 S ( q, P ) 形式相应的坐标变换是 ρ =∂S = x tan g , 即: ∂xx = 2 ρ cos g , y = 2 ρ sin g.坐标变换后的Hamilton函数是 :H′ = −2 µ12Φ 2 ⎡ ⎤ − µ ⎣C ( x 2 − y 2 ) + e′Dx + e′2 E ⎦ cos φ − µ [ 2Cxy + e′Dy ] sin φ .∂H ′ dΦ ; =− dt ∂φ dy ∂H ′ , =+ dt ∂x ∂H ′ dx . =− dt ∂y− 3Φ − µ F ( x 2 + y 2 ) − e′µ Gx因此可以直接写出正则方程组: dφ ∂H ′ , =+ dt ∂Φ5.3.1 主带小行星的3:1空隙正则方程组: dφ = 3 − 3, dt Φ dΦ ⎡ ⎤ = − µ ⎣C ( x 2 − y 2 ) + e′Dx + e′2 E ⎦ sin φ + µ [ 2Cxy + e′Dy ] cos φ , dt dy = − µ ⎡ 2 Fx + e′G + ( 2Cx + e′D ) cos φ + 2Cy sin φ ⎤ ⎣ ⎦ dt dx = 2 µ y ( F − C cos φ ) + µ [ 2Cx + e′D ] sin φ . dt a cos ϕ + b sin ϕ Hamilton函数可以写成更简洁的形式. ⎛ a2 µ1H′ = −2 µ12Φ 2 − µ ⎡C ( x 2 − y 2 ) + e′Dx + e′2 E ⎤ cos φ − µ [ 2Cxy + e′Dy ] sin φ ⎣ ⎦2 µ1− 3Φ − µ F ( x 2 + y 2 ) − e′µ Gx⎞ b cos ϕ + sin ϕ ⎟ = a 2 + b2 ⎜ 2 2 a 2 + b2 ⎝ a +b ⎠ = a 2 + b 2 cos (ϕ −ψ )=−2Φ 2− 3Φ − µ F ( x 2 + y 2 ) − e′µ Gx − µ A ( x, y ) cos ⎡φ −ψ ( x, y ) ⎤ . ⎣ ⎦5.3.1 主带小行星的3:1空隙Hamilton函数: H =−2 µ1A = ⎡C ( x − y ) + e′Dx + e′ E ⎤ + [ 2Cxy + e′Dy ] ⎣ ⎦2 2 2 2{2Φ 2− 3Φ − µ F ( x 2 + y 2 ) − e′µ Gx − µ A ( x, y ) cos ⎡φ −ψ ( x, y ) ⎤ . ⎣ ⎦2}12,tanψ =2Cxy + e′Dy . 2 2 2 C ( x − y ) + e′Dx + e′ E为便于和已有的结果(Wisdom 1985)比较,可以定义如下的 Poincare截面: 35 / 3 µ12 3 H+ = const., 2 φ −ψ = π , φ >0共振处的小天体,在木星的摄动之下,偏心率会突-6.0-5.0-4.0-3.4-2.8-2.5-2.0-1.5-1.05.03:2共振处的动力学稳定性图中白色点表示真实的小行星(直径大于50 km 的,大约30个)在平运动轨道与木星发生3:2共振处,有一群小行星聚集,称为Hilda 群.2:1共振处,偏心率突然升高的时间尺度3:210GyrT ≥。