第5章数字控制器的直接设计方法

目录第五章数字控制器的直接设计方法 (158)5.1 引言 (158)5.2 设计基本原理 (159)5.3 最小拍控制器的设计方法 (160)5.3.1 简单对象最小拍控制器设计 (161)5.3.2 复杂对象最小拍控制器设计 (166)5.4 最小拍控制器的工程化改进 (173)5.4.1 最小拍控制系统存在的问题 (173)5.4.2 最小拍无纹波控制器的设计 (173)5.4.3 针对输入信号类型敏感问题的改进 (178)5.4.4 针对模型参数变化敏感问题的改进 (182)5.5 大林算法（Dahlin） (186)5.5.1 大林算法设计原理 (187)5.5.2 振铃现象及其消除方法 (190)5.6 大林算法工程应用中关键参数的选择 (193)5.6.1 解决振铃现象中关键参数的选择 (193)5.6.2 解决分数时滞问题中关键参数的选择 (195)5.7 数字控制器的程序实现 (200)5.7.1 直接程序设计法 (200)5.7.2 串联程序设计法 (201)5.7.3 并行程序设计法 (203)本章小结 (205)习题与思考题 (206)第五章数字控制器的直接设计方法5.1 引言前一章讨论的是利用模拟化设计方法对计算机控制系统进行综合与设计，其实质是在采样周期较小的情况下，将计算机控制系统近似看成连续系统进行控制器的设计，然后通过对连续控制器的离散化处理，得到计算机控制系统的数字控制算法。

该方法对于不能获得被控对象准确数学模型的情况下数字控制器的设计较为实用，但是具有一定的局限性，本质上属于一种近似化的设计方法。

将连续的控制对象及其零阶保持器用适当的方法离散化后，系统完全变成离散系统，因此可以用离散系统的设计方法直接在z域进行控制器的设计，此即为数字控制器的直接设计方法。

这种离散化的设计方法，稳定性好，精度高，一般用于可以精确建立对象数学模型的情况。

由于该方法是在给定的采样周期下进行设计的，因此采样周期的选择取决于被控对象的特性，不受分析设计方法的限制，可以不必选得太小，达到系统控制指标的要求即可。

离散化直接设计方法包括根轨迹设计法，频率响应设计法和解析设计法，本章主要讲述解析设计方法范畴的最小拍控制设计方法和大林（Dahlin）算法，以及两种方法的工程化改进与应用。

解析设计方法是在给定计算机控制系统闭环系统脉冲传递函数的条件下，直接计算出数字控制器的脉冲传递函数，本质上属于一种极点配置的设计方法。

最小拍控制属于时间最优的控制系统设计，即控制的目标是使整个闭环系统的调节时间最短；而大林算法则用于解决纯滞后被控对象的控制器设计问题。

由于解析设计法依赖于被控对象模型的精确性建立，因此在工程化实用过程中，需要针对具体情况进行相应的控制算法改进或算法中关键参数的工程化选择。

本章概要 5.1节讲述数字控制器直接设计方法的基本概念、应用范围，以及本章讲述的控制算法的本质；5.2节介绍直接设计方法的基本原理和设计准则；5.3节讲述有纹波最小拍控制器的设计，分为简单对象和复杂对象两种情况下的最小拍控制器的设计方法；5.4节讲述最小拍控制器的工程化改进方法，包括无纹波最小拍控制器的设计方法，以及对输入信号类型敏感和对被控对象模型参数变化敏感两种情况下，最小拍控制算法的工程化改进方法；5.5节讲述了大林算法的设计原理，以及该算法表现出来的振铃现象的本质和消除方法；5.6节讲述了通过合理选择大林算法中的关键参数，解决大林算法应用过程中的振铃现象和分数时滞问题；5.7节对数字控制器的实现方法进行了介绍。

5.2 设计基本原理对于第3章图3.11所示的单位反馈计算机控制系统，将被控对象与零阶保持器法一起离散化后，得到的离散系统如图5.1所示。

图5.1 计算机控制系统结构图由式（3.30）可知，系统的闭环脉冲传递函数为：()()()()()1()()d B d D z W z Y z W z R z D z W z ==+ (5.1)由式（3.31）可知，系统闭环误差脉冲传递函数为：()1()()1()()e d E z W z R z D z W z ==+ (5.2)由式（3.32）可知：()1()B e W z W z =- (5.3)从而得到控制器的脉冲传递函数为：1()()()()()[1()]()()()()e B B d B d e d e W z W z W z D z W z W z W z W z W z W z -===- (5.4)若已知被控对象的脉冲传递函数()d W z ，并根据性能指标要求确定出整个系统的闭环脉冲传递函数()B W z 或闭环误差脉冲传递函数()e W z ，则数字控制器()D z 可以唯一确定。

因此，可以将数字控制器直接设计法的解析设计过程归纳为如下步骤：（1）确定被控对象的传递函数模型，该过程是算法设计的基础。

直接设计方法假定已经得到了被控对象的精确模型()W s ，将其连同前面的零阶保持器一起离散化后，得到被控对象的广义被控模型()d W z ；（2）根据控制系统的性能指标要求及其他约束条件，确定出闭环系统的传递函数()B W z 或()e W z ，或同时确定()B W z 或()e W z ，其二者满足式（5.3）的约束；（3）根据式（5.4）确定控制器传递函数模型()D z ； （4）根据()D z 编制控制算法。

在被控对象模型已知的前提下，直接设计方法关键在于闭环系统脉冲传递函数()B W z 的选择（或闭环误差脉冲传递函数()e W z ）。

()B W z 或()e W z 的选择（本章后续内容以确定()B W z 为主）要满足计算机控制系统的基本要求，概括为数字控制器的物理可实现性、稳定性、准确性和快速性等几个方面，也就是直接设计方法的基本原则。

（1）物理可实现性。

指设计得到的数字控制器()D z ，在物理逻辑上必须是可实现的。

判断()D z 在物理上能够实现的条件是()D z 分母的z 的最高阶次n 大于或等于()D z 分子的z 的最高阶次m ，即m n ≥。

否则就会出现要求数字控制器有超前输出，这是无法实现的。

例如：21212()11()()1u z z z z zD zE z z zz----++++===--其中：1=n ，2=m ，m n <。

对上式进行交叉相乘，得出1212()()(1)()zz u z zzE z -----=++对上式两边进行z 反变换，得出：(1)(2)()(1)(2)u k u k e k e k e k ---=+-+-或写成()(1)(1)()(1)u k u k e k e k e k =-++++-上式表明计算机（数字控制器）本次采样输出值()u k 与下次采样偏差(1)e k +有关。

由于计算机在本次采样期间无法得到下次采样的偏差值(1)e k +，算不出()u k ，计算机无法工作。

如果满足m n ≥条件，类似上式的(1)e k +项，将不会出现。

（2）稳定性。

指由计算机作为数字控制器的闭环控制系统，必须是稳定的。

计算机控制系统的稳定性包含两方面的含义：一是整个系统的输出()Y z 能够较好地复现控制系统的输入()R z ，不能发散；二是数字控制器的输出()U z 也不能发散，应以较少的振荡次数驱动系统的输出()Y z 达到稳定状态。

关于稳定性的要求将在随后的章节中进行具体讲述。

（3）准确性，指系统的稳态指标。

对于离散系统来说，要求在特定输入信号作用下，其输出序列值应该与输入序列值相等，即稳态误差为零，这就是“无差”的概念。

对于计算机控制系统来说，可能还会进一步要求系统在采样点之间也没有稳态误差。

（4）快速性，指系统的暂态指标。

一般来说，暂态指标包括调节时间和超调量，这里着重强调系统的调节时间，即系统的输出响应能够在尽量短的时间内，达到稳定状态，也就是要求系统的输出响应，应能够尽快跟踪输入信号的变化。

5.3 最小拍控制器的设计方法所谓最小拍系统，也称为最少调整时间系统或最快响应系统，是指系统对应典型的输入：单位阶跃输入、单位速度输入或单位加速度输入等，具有最快的响应速度。

系统在典型的输入作用下，经过最少个采样周期，使得输出的稳态误差为零，达到输出完全跟踪输入，从这个准则出发，来确定控制器()D z 的脉冲传递函数，即计算机的控制算法。

5.3.1 简单对象最小拍控制器设计假定广义被控对象的脉冲传递函数()d W z 是稳定的，它在z 单位圆上（（1，0）点除外）或圆外无零点和极点，而且没有纯滞后。

最小拍系统的性能指标要求： （1）无稳态偏差。

（2）达到稳态所需拍数（采样周期数）为最少。

下面根据这两个指标确定()B W z 。

偏差()e t 的z 变换()E z 的级数形式是12()(0)(1)(2)E z e e ze z--=+++ (5.5)式中(0)e ，(1)e ，(2), e 为偏差采样值。

显然，要求偏差的采样值在最短时间内达到零并保持为零，亦即在采样周期数（或拍数）N k ≥以后，恒有()e k =0，并且N 越小越好。

这就要求()E z 为1z -的多项式，而且项数越少越好。

这就是最小拍系统的设计原则。

下面来研究什么样的()B W z 可使稳态偏差为零。

偏差的z 变换为[]()()()1()()B E z R z Y z W z R z =-=- (5.6)由z 变换的终值定理可得[]11lim ()lim (1)1()()B t z e t z W z R z -→∞→=-- (5.7)因此，无稳态偏差的条件是使上式为零。

于是，便可从式（5.7）中求出()B W z 。

显然，使式（5.7）为零的()B W z 与输入函数()r t 的z 变换()R z 有关，输入函数()r t 不同时，()R z 也不同。

下面分析不同的()R z 时的()B W z 。

单位阶跃输入：()1()r t t =，11()1R z z-=- 单位速度输入：()r t t =，112()(1)TzR z z --=-单位加速度输入：2()2tr t =，21113(1)()2(1)T z z R z z ----=-可见典型输入的z 变换具有如下的一般形式为：1()()(1)mA z R z z -=- (5.8) 式中()A z 是不包含1(1)z --因式的1z -多项式。

对于不同的典型输入m 不同：单位阶跃输入：1=m ；单位速度输入：2=m ； 单位加速度输入：3=m将式（5.8）代入式（5.7）中，得[]111()lim ()lim (1)1()(1)B mt z A z e t z W z z --→∞→=--- (5.9)很明显，要使上式等于零，[]1()B W z -应具有如下形式11()(1)()mB W z z F z --=- (5.10)式中()F z 为不含1(1)z --因式的1z -多项式。