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高考专业精品文档 (1329)

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第二讲 一元二次函数
本讲概述
一元二次函数部分在目前竞赛中所占比重不算太大。

其主要出现在各省市预赛与联赛一试填空题中。

若在一试填空题中出现，一般都是与其它函数如对数、指数函数或绝对值函数、分式、根式方程等相联系、复合以增加复杂度。

其考察难度与高考基本相同。

但值得注意的是，在部分省市的高考压轴题中往往可能出现较为复杂的与一元二次函数乃至三次函数相关的问题，但北京市基本上不这么考。

只有各中学或各区自己命题时有时会考到。

但是，作为高考和竞赛的一个基础性内容，毋庸置疑本讲是每一位同学都必须滚瓜乱熟地掌握的。

本讲内容以基础性问题为主，更为复杂的问题将在函数综合、代数复习等讲中出现。

每一讲板块的划分是很粗糙的，因为的确有很多问题难以划分到某个板块中去，而将板块进一步细分也没有必要。

事实上，一元二次函数、一元二次方程、抛物线图象是从三个不同侧重点来研究同一个问题，因此本讲还包含部分一元二次方程及不等式问题。

例题精讲
板块一 二次函数解析式
求二次函数解析式是最基本的题型，其主流方法是用待定系数法，一般设法有：
2212()()()()f x ax bx c a x h k a x x x x =++=-+=--
根据题目特点设相应的形式往往能够简化计算.
【例1】 设二次函数f(x)在区间[1,4]-上的最大值为12，且关于x 的不等式f(x)<0的解集为（0,5），求
f(x)的解析式. 【例2】 关于x 的方程2
2
(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，求a .
【例3】 已知a 为正整数，抛物线2
y ax bx c =++过点A(-1,4),B(2,1),并且与x 轴有两个不同的交点.求（1）
a 的最小值；（2）b+c 的最大值. 【例4】 若对任何实数p,抛物线2241y x px p =-++都通过一定点，求此定点的坐标.
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2
【例5】 考察抛物线族：2
2
y x ax b =+-，它们中每一个都与x 轴有3个交点，作其外接圆，证明：所有
这些圆过一定点.
板块二 最值与值域
对于一般一元二次函数而言，当二次项系数大于零时，最小值对应点为2
4(,)24b ac b a a
--.但对具体题
目特别是含参变量的二次函数，往往需要经过分区间讨论并对比图象得到具体的最值或值域.当与其它函数
相复合时，问题往往会更为复杂.
【例6】 已知2
()2
a
f x x ax =-+，[0,1],0x a ∈>. 求f(x)的最小值g(a)的表达式，并求g(a)的最大值.
【例7】 已知2
1()2
f x x x =-+，试求实数m,n 使得f(x)的定义域为[,]m n 时，对应值域为[2,2]m n .
板块三 零点的分布与韦达定理
函数的零点即函数对应方程的根.讨论零点的分布一般需要讨论对称轴、判别式以及某函数值的正负等，其手段较为灵活，难以掌握.
韦达定理在处理与平面解析几何相关问题时异常重要，往往可以简化运算. 【例8】 函数2
2
()7(13)2f x x p x p p =-++--的零点,αβ满足012αβ<<<<，求p 的范围
【例9】 若a<0,求证方程
21110x x a x a ++=++ （1） 有两个异号实根； （2） 正根小于23a -，负根大于223
a -.
【例10】 方程2
2
322311x x x x -+++-=的实数解的个数是几个？
【例11】 已知方程4
2
(3)30mx m x m --+=有一个根小于-2，其它三个根都大于-1，求m 的取值范围.
【例12】 如抛物线2(1)1y x k x k =----与x 轴的交点为A,B ，顶点为C ，求ABC ∆的面积最小值.
【例13】 设a,b 为实常数，当k 取任意实数时，2
2
2
(1)2()(3)y k k x a k x k ak b =++-++++的图象与x
轴交于A(1,0). (1) 求a,b 的值 （2）若与x 轴另一交点为B,变动k 时求max AB
大显身手
1． 已知2
2
()2,()962f x x x a f bx x x =++=-+，则()0f ax b +=的解集为？
2． 已知2()22(4)1f x mx m x =+-+，()g x mx =，若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为
正，则实数m 的取值范围是？
3． （1）2()f x ax bx c =++满足(0)2,(1)1f f ==-且图象在x 轴上截得线段长为求()f x .
（2）2()f x ax bx c =++当x=3时取最大值10，且图象在x 轴上截得线段长为4，求(1)f
4． 证明：抛物线族2
1
(1)24
p y x p x =++++中每一条均过一定点,且其顶点均在一定抛物线上
5． 设12,x x 分别是关于x 的二次方程2
0ax bx c ++=和2
0ax bx c -++=的一个非零实根，且
12x x ≠，证明
2
02
a x bx c ++=必有一根介于12,x x 之间.
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4
6． 已知方程2
(21)(6)0x m x m +-+-=有一根不大于1-，另一根不小于1.
(1)求m 的取值范围 （2）求方程两根平方和的最大值与最小值
学习之外
陶哲轩谈什么是好数学（续）
好的数学还包括：
好的数学品味 (比如自身有趣且对重要课题、 主题或问题有影响的研究目标)； 好的数学普及 (比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就)； 好的元数学 (比如数学基础、 哲学、 历史、 学识或实践方面的进展)； [ 严密的数学 (所有细节都正确、 细致而完整地给出)；
美丽的数学 (比如 Ramanujan 的令人惊奇的恒等式； 陈述简单漂亮， 证明却很困难的结果)；
优美的数学 (比如 Paul Erdos 的 “来自天书的证明” 观念； 通过最少的努力得到困难的结果)；
创造性的数学 (比如本质上新颖的原创技巧、 观点或各类结果)；
有用的数学 (比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法)；
强有力的数学 (比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果， 或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论)；
深刻的数学 (比如一个明显非平凡的结果， 比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象)；
直观的数学 (比如一个自然的、 容易形象化的论证)；
明确的数学 (比如对某一类型的所有客体的分类； 对一个数学课题的结论)； 其它。

如上所述， 数学品质这一概念是一个高维的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在显而易见的标准排序。

我相信这是由于数学本身就是复杂和高维的， 并且会以一种自我调整及难以预料的方式而演化； 上述每种品质都代表了我们作为一个群体增进对数学的理解及运用的不同方式。

至于上述品质的相对重要性或权重， 看来并无普遍的共识。

这部分地是由于技术上的考虑： 一个特定时期的某个数学领域的发展也许更易于接纳一种特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考虑： 任何一个特定的数学领域或学派都倾向于吸引具有相似思维、 喜爱相似方法的数学家。

它同时也反映了数学能力的多样性： 不同的数学家往往擅长不同的风格， 因而适应不同类型的数学挑战。

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高考专业精品文档 (1049)

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课时作业37生态系统的信息传递及稳定性时间：25分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共60分)1．有关生态系统中信息传递作用的说法中，不正确的是()A．生命活动正常进行，离不开信息的作用B．生物种群的繁衍，离不开信息的传递C．调节生物的种间关系，维持生态系统的稳定D．只有以上三种作用解析：本题考查了信息的作用，难度层次为中等题。

信息的作用除了题目所述三种外，还有很多作用。

有的甚至肉眼看不到，需进一步研究。

答案：D2．下列生产实践措施不是利用生态系统中信息传递的是()A．人工合成性外激素，干扰害虫的正常交尾B．控制日照时间长短从而控制开花时间C．利用“黑光灯”集中捕杀棉铃虫D．基因工程培育的抗虫棉能杀死棉铃虫解析：本题结合实际考查了信息作用在生产上的应用，难度层次为中等题。

基因工程培育的抗虫棉不是利用信息的作用。

答案：D3．下列关于生态系统功能的叙述中，不正确的是()A．能量流动是生态系统的动力B．物质循环是生态系统的基础C．并非任何一个生态系统都有能量流动、物质循环和信息传递D．信息传递的作用与能量流动、物质循环一样，把生态系统各组分联系成一个整体，并且有调节系统稳定性的作用解析：本题综合考查了生态系统的功能、信息作用等知识，难度层次为中等题。

信息传递有调节系统稳定性的作用，任何一个生态系统都有能量流动、物质循环和信息传递。

C项错误。

答案：C4．(2011·济宁模拟)以下关于生态系统信息传递的说法不正确的是()A．任何生命形式，如果没有接受信息、处理信息和利用信息的能力，就谈不上对环境的适应，就不可避免地要被大自然所淘汰B．信息传递在农业生产中的应用可提高农产品或畜产品的产量，也可对有害动物进行控制C．短日照作物黄麻南种北移可延长生长期，提高麻皮产量，这是对行为信息的合理利用D．任何生态系统中，能量、物质和信息问题处于不可侵害的密切相关状态解析：生态系统的三大功能即为能量流动、物质循环和信息传递，使生态系统处于相对平衡的状态，利用信息，吸引大量的传粉动物，就可以提高果树的结实率，从而提高农产品或畜产品的产量，也可以用昆虫信息素诱捕或警示有害动物，对有害动物进行控制。

高考专业精品文档 (136)

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循序渐进掌握感叹句之what，how引导的感叹句How lucky I am!How exciting the lottery is!How forgetful a guy you are!What a big prize I have won!What a terrible experience I had!What a pity!What bad news I heard!What useful sentences they are!1．_________clever girl she is!A．What a B．What C．How a D．how 2．__________interesting story it is!A．What an B．What a C．How an D．How1．___________bad the weather is!A．How B．What C．What a D．How a 2．______________good news it is !A．How B．What a C．How a D．What1．Which is true?A．How tall the buildings are! B．What tall the buildings are!C．How tall buildings they are! D．what a tall buildings they are! 2．__________ it is raining!A．How heavily B．What heavy C．How heavy1．_______ hard he works！A．How B．What2．____ delicious the dish is!A．What B. How C．What a1．New York is very beautiful．________ ________ New Y ork is！2．The book is very useful．________ ________ ________ book it is！1．He was _____ an honest man that he was praised by the teacher.2．They are ______ interesting novels that I want to read them once again.3．—__________fine day it is today!—Yes,the sunshine is__________beautiful that I'd like to go swimming in the sea. 4．He had ____ many falls that he was black and blue all over.5．He had ____ little education that he was unfit for this job.注意如果such后的名词前由______、______、______、_______等词所修饰的话，则不用such 而用so。

高考专业精品文档 (1823)

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第七讲组合综合问题本讲概述在前六讲我们对组合数学中的不少专题进行了研究，本讲不再进行具体某个专题的学习，而是通过一些综合性的问题的探讨来寻找组合数学“解题的感觉”.本讲的题目与前面相比，综合性更强，难度在二试与冬令营之间，可能需要综合应用前面所学的多种组合知识乃至其它学科的知识来解决.事实上，组合与几何学、数论相联系形成的组合几何、组合数论问题往往难度较大，又能同时考察多个学科，是命题人青睐的对象，而在组合问题的探索过程中，特别是组合极值问题中，常常用到代数知识特别是数列与不等式知识.教师备注：本讲主要研究两大方面问题：（1）组合与其它学科相结合（2）组合极值及其构造、论证；部分题目来自冬令营或相当冬令营难度的比赛，教师可自行选择适当问题讲述例题精讲【例1】设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。

将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。

【解析】将E中的点染成红、蓝二色，即证明必存在一个直角三角形，它们的顶点同色。

在三边上取三等分点P，Q，R，如图01—05。

易知RQ⊥BC，QP⊥AC，PR⊥AB。

这三点必至少有两点同色。

不妨设R，Q为红色。

（1）如果BC边上除Q点外还有红色的点X，则Rt△RQX三个顶点同为红色。

（2）如果BC边上除Q外不存在红色点，则B点是蓝色的。

如果AB上除B外还有蓝色点Y，作YM⊥BC，M为垂足，显然M不同于Q。

所以Rt△YBM三个顶点均为蓝色；如果AB上除B点外均为红色。

作QZ⊥AB，Z为垂足，则Rt△RQZ的三个顶点均为红色。

证毕。

【例2】某足球邀请赛有16个城市参加，每市派出甲乙两队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，且同一城市两队之间不比赛.比赛进行若干天后统计，发现除A市甲队之外，其它各队已赛过场次互不相同.试问A市乙队已赛过多少场？.【解析】依比赛规则，每队至多赛30场，所以除A市甲队之外，其它各队已赛过场次依次为0,1,2,,29,30考场赛过30场和0场的队，经简单推理知此两队必为同城队；接下来依次配对（29,1），（28,2），…，（14,16）.只有15没有配对，这就是乙队. 于是乙队赛过15场.【例3】 20支足球队参加比赛，每两队至多赛一场.为了使任何三队中都有两队赛过，球赛组委会安排了m场比赛，试求m最小值.高一·联赛班·寒假第7讲·教师版2【解析】 设A 队赛过k 场，是所有队中赛过场次最少的.与A 队赛过的k 个队，各至少赛过k 场，没有与A 赛过的19-k 个队中的任何两队B,C 必赛过（否则就出现A,B,C 三队两两未赛过，矛盾！）.于是比赛场数()22191(1)990902k m k k C k -≥++=-+≥, 于是至少要赛90场.下面给出一种比赛方案，使得恰赛90场：把20支队分成两组，每组10个队，同组两两都赛，不同组不比赛，共安排2102C 场比赛. 显然这个方案合要求.注 本题为组合中最难的安排赛程表题型，也可以把它看成一个图论问题.比赛方案是受到论证过程的结果启发构造出来的.【例4】 设k ，n 为给定的整数，2n k >≥. 对任意n 元的数集P ，作P 的所有k 元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q ，集合Q 中元素个数是Q C ，求Q C 的最大值.【解析】 Q C 的最大值为knC . 因P 共有kn C 个k 元子集，故显然有kQ nC C ≤. 下面我们指出，对集合2{2, 2,, 2}n P =，相应的Q C 等于knC ，即P 的任意两个不同的k 元子集的元素之和不相等. 从而Q C 的最大值为kn C .事实上，若上述的集合P 有两个不同的k 元子集12{2,2,,2}k r r r A =， 12{2,2,,2}k s s s B =，使得A 与B 的元素之和相等，则1212222222k k r s r r s s M+++=+++=（设）. ①因①可视为正整数M 的二进制表示，由于i r 互不相同，i s 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯 一性，我们由①推出，集合12{,,,}k r r r 必须与12{,,,}k s s s 相同，从而子集A B =，矛盾.这就证明了我们的断言.注 本题为2009江苏赛区复赛题. 这是一道典型的组合极值问题，难度并不太大. 这种问题一般分为两部分：构造与论证，分别考察不同的数学能力，因此是近年来的命题热点.【例5】 (1) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的 最小值, 并说明理由；(2) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005, 求 n 的最小值, 并说明理由.【解析】 (1) 因为 3333101000,111331,121728,132197====, 3312200513<<， 故 1n ≠.因为 3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在 4n =， 使min 4n ≤． ……………… 6分高一·联赛班·寒假第7讲·教师版3若 2n =，因 3310102005+<, 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算33200511674,200512277-=-=，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以2n = 不可能是 n 的最小值. ……………… 9分若 3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 328320053⨯>≥x , 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11 或 12.由于 3932005⨯<, 5479220053=⨯-, 0829200533>⨯--, 所以 9x ≠.由于 510220053=⨯-, 332005109276--=, 332005108493--=,07210200533>⨯--, 所以10x ≠.由于 332005118162--=, 332005117331--=, 06211200533>⨯--, 所以 11x ≠.由于 33200512661--=, 33320051251525--=>, 所以 12x ≠. 因此 3n = 不可能是 n 的最小值.综上所述，4n = 才是 n 的最小值. ……………… 12分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12,,,n x x x ， 则3332005122002n x x x +++=．…………… ⑤由 20024(mod9)≡， 341(mod9)≡，得20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡．…… ⑥ …… 15分又当 x ∈N* 时，30,1(mod9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod 9)， 3312x x + ≡∕4(mod9)， 333123x x x ++ ≡∕4(mod9). … ⑦ …………… 21分⑤ 式模 9, 由 ⑥、⑦ 可知, 4n ≥．而 33332002101011=+++，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++．…… 24分因此 4n = 为所求的最小值．注 本题为2005年江苏预赛16题. 这类与数论相联系的极值问题往往兼具组合构造与数论证明两大特点 但鉴于本题组合味道并不太浓，建议选讲.高一·联赛班·寒假第7讲·教师版4【例6】 假定100个人中的每一个人都知道一个消息，而且这100个消息都不相同。

高考专业精品文档 (3859)

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| 高一·数学·第1讲·联赛班·学生版 | 1知识点拨名人名言伦琴第一是数学，第二是数学，第三还是数学 ．这是伦琴在被问到科学工作者必须具备什么素养时回答的一句话，可见伦琴对数学在科学中巨大作用的肯定 ．伦琴（W.C. Rontgen ，1845～1923，德国物理学家）一生在物理学许多领域中进行实验研究工作，但在科学上最大的贡献是发现了X 射线，后人称为伦琴射线 ．X 射线的发现给现代物理学提供了一种新的研究手段，在光电效应研究、晶体结构分析、金相组织检验、材料无损探伤、人体疾病的透视与治疗等方面具有广泛的用途 ．伦琴因发现X 射线享誉全球，1901年获得第一届诺贝尔物理学奖 ．柯西一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量 ．数学决定着一个国家科技的进步，是关系着一个国家未来发展的核心学科，这就是柯西总结的观点 ．柯西（A.L.Cauchy ,1789～1857，法国数学家、力学家）是分析学家，给出了分析学一系列基本概念的严格定义 ．他著作甚丰，一生中至少出版过7本书和800第一讲 探索法1．由少到多2．由特殊到一般3．部分到整体4．大胆猜测，小心求证例题精讲【例1】有99个筐装着苹果和桃子（混装），证明：可取50筐，这50筐的总苹果数，总桃子数均不少于总数一半．【例2】在平面上给定一直线，半径为10厘米的圆以及在圆内的40条长为1厘米的线段．试证在给定的圆内可以作一条和给定直线平行或垂直的弦，它至少与两条给定的线段相交．【例3】平面上有50个点，证明：存在51个同心圆满足：①他们的半径都是最小圆半径的整数倍；②同心圆所形成的50个圆环中，每个恰含一个已知点．2| 高一·数学·第1讲·联赛班·学生版 || 高一·数学·第1讲·联赛班·学生版 | 3【例4】 试在810⨯的矩形表中填入80个互不相同的平方数，使得每一行，每一列的和都是平方数．【例5】 在1,2,,1999 中至多可找出多少个数，使得任意两个找出来的数,x y ，都有x y x y -+Œ？【例6】 三角形ABC 的一条边及此边上对应的高是定值，问三角形的三条高的乘积何时最大．4 | 高一·数学·第1讲·联赛班·学生版 |【例7】 设,,a b c 满足222111bc a ac b ab c ++=---，求证：()()()2222220a b c bc a ac b ab c ++=---【例8】 已知1111a b c a b c ++=++，证明：7777771111a b c a b c ++=++1． 从1232009 ，，，，中任意取出m 个数，且对取出数中的任意三个数x y z ，，均有x y +不能整除z ．求m 的最大值．大显身手2．在一个1010⨯的小方格组成的图形，它既可被n个“ ”型的图⨯的方格表中有一个由4n个11形覆盖，也可被n个“ ”或“ ”型（可以旋转）的图形覆盖．求正整数n的最小值．| 高一·数学·第1讲·联赛班·学生版 |5。