组合数学中的全排列生成算法完整版

全排列和对换是组合数学中的重要概念，用于描述排列和组合的规律和性质。

全排列是指将n个不同元素按照一定顺序排列成一个有序序列的方法数。

全排列可以用递归的方式定义，即P(n)表示n个元素的全排列个数，则有：
P(n) = n * P(n-1)
其中，P(1) = 1。

例如，当n=3时，全排列的个数为：
P(3) = 3 * P(2) = 3 * 2 = 6
即有6种不同的排列方式，分别是(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1)。

对换是指将两个元素交换位置的一种操作。

对换可以用递归的方式定义，即C(n, k)表示从n 个不同元素中取出k个元素的组合个数，则有：
C(n, k) = n * (C(n-1, k-1) + C(n-1, k))
其中，C(1, 0) = 1，C(n, 0) = 1。

例如，当n=3，k=2时，从3个不同元素中取出2个元素的组合个数为：
C(3, 2) = 3 * (C(2, 1) + C(2, 2)) = 3 * (1 + 2) = 7
即有7种不同的组合方式，分别是(1,2)、(1,3)、(2,3)、(2,1)、(3,1)、(3,2)、(2,1,3)。

需要注意的是，对换是一种破坏性的操作，它会改变原有的排列或组合的顺序。

因此，在计算全排列和组合的个数时，对换应该被视为一种额外的操作，需要在计算结果中加以考虑。

排列组合求法那咱就开始说说排列组合的求法哈。

一、排列（Permutation）1. 全排列。

假如你有n个不同的东西，要把它们全排列，就像你有n个不同颜色的球，想把它们排成一排，那全排列的方法数就是n!（n的阶乘）。

啥叫n的阶乘呢？就是从1一直乘到n。

比如说你有3个球，红、黄、蓝，那全排列的方法数就是3! = 3×2×1 = 6种。

这6种可能就是红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红。

2. 部分排列（从n个不同元素中取出m个元素的排列数）这种情况呢，就是你有n个东西，但是你只选m个出来排列（m≤n）。

这时候排列数的求法就是A(n,m)=n(n 1)(n 2)…(n m+1)，也可以写成A(n,m)=(n!)/((n m)!)。

比如说你有5个小伙伴，你要选3个小伙伴站成一排拍照，那排列的方法数就是A(5,3)=(5!)/((5 3)!)=(5×4×3×2×1)/(2×1)=5×4×3 = 60种。

二、组合（Combination）1. 从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

组合和排列不一样哦，组合只关心选出哪些元素，不关心它们的顺序。

比如说你从一群小伙伴里选几个人去玩游戏，选谁就是谁，不管谁先谁后。

从n个不同元素中取出m个元素的组合数记为C(n,m)，它的求法是C(n,m)=(n!)/(m!(n m)!)。

例如，你有4个不同口味的冰淇淋（草莓、巧克力、香草、抹茶），你想选2个口味来吃，那组合数就是C(4,2)=(4!)/(2!(4 2)!)=(4×3×2×1)/((2×1)×(2×1)) = 6种。

这6种组合就是草莓和巧克力、草莓和香草、草莓和抹茶、巧克力和香草、巧克力和抹茶、香草和抹茶。

排列组合公式排列组合计算公式排列组合是数学中的一种计算方法，用于计算元素的排列和组合的数量。

在排列组合中，排列是指从一组元素中选择并排列若干个元素，组合则是从一组元素中选择若干个元素的方式。

为了方便计算，人们发展出了排列组合的计算公式，可以简化计算过程。

一、排列的计算公式排列是指从一组元素中选择若干个元素并按照一定顺序排列的方法。

计算排列的数量可以使用排列公式来求解。

排列公式：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n表示总的元素个数，r表示选取的元素个数，!表示阶乘运算，即将一个数连乘到1。

例如，从5个人中选取2个人的排列数量可以通过排列公式计算：P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = (5*4*3*2*1) / (3*2*1) = 20所以，从5个人中选取2个人的排列数量为20。

二、组合的计算公式组合是指从一组元素中选择若干个元素的方法，不考虑元素的顺序。

计算组合的数量可以使用组合公式来求解。

组合公式：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n表示总的元素个数，r表示选取的元素个数，!表示阶乘运算，即将一个数连乘到1。

例如，从5个人中选取2个人的组合数量可以通过组合公式计算：C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5*4*3*2*1) / ((2*1) *(3*2*1)) = 10所以，从5个人中选取2个人的组合数量为10。

三、应用举例1. 应用排列组合计算公式，可以解决赛事抽签问题。

比如有6个队伍进行比赛，每个队伍的抽签号码为1到6，那么可以计算出所有可能的抽签结果的数量为：P(6, 6) = 6! / (6-6)! = 6! = (6*5*4*3*2*1) = 7202. 应用排列组合计算公式，可以解决密码锁问题。

比如一个密码锁有10个数字按键，密码由3个数字组成，那么可以计算出所有可能的密码数量为：C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) =(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / ((3*2*1) * (7*6*5*4*3*2*1)) = 120以上就是排列组合的计算公式及其应用举例。

排列组合的计算公式和算法
排列组合的计算公式是：
全排列：A(n,n)=n!
组合：C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n!/(m!*(n-m)!)
这个计算公式是通过对排列组合的一些基本概念的分析所得，所以其算法就是将排列组合的基本概念结合起来，从而得出最终计算结果。

具体的步骤如下：
1、首先，我们要弄清楚全排列和组合的概念，才能清楚的理解排列组合的计算公式。

2、然后，用这些基本概念去讨论排列组合的情况，得出一个公式去验证排列组合的情况是否正确。

3、接着，我们需要做出正确的推断，将基本概念和判断的概率公式综合起来，形成一个新的公式。

4、最后，用新的公式推导出排列组合的计算公式，并计算出结果。

排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版）说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。

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另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。

一、排列数公式：!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m(1)(1)321n n A n n n推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行：第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋最后一步，排最后一位：有 1 种选法。

根据分步乘法原理，得出上述公式。

二、组合数公式：(1)(2)(1)!!!()!m m n nm mA n n n n m n CA m m n m1nn C推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋最后一步，取最后一个：有 1 种取法。

上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。

故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。

遂得出上述公式。

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

将部分排列问题m n A 分解为两个步骤：第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ；第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。

根据乘法原理，m m m n n m A C A 即：(1)(2)(1)!!!()!m m n nm mA n n n n m n CA m m n m组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。

全排列的生成算法对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。

字典序法按照字典序求下一个排列的算法 /*例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的全排列是:123,132,213,231,312,321。

注意一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、后缀。

*/生成给定全排列的下一个排列所谓一个全排列的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。

这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。

/*例是1—9的排列。

1—9的排列最前面的是，最后面的是，从右向左扫描若都是增的，就到了，也就没有下一个了。

否则找出第一次出现下降的位置。

算法: 由P1P2…Pn 生成的下一个排列的算法如下:1. 求i=max{j| Pj-1<Pj}2. 求l=max{k| Pi-1<Pk }3. 交换Pi-1 与Pl得到P1P2…Pi-1 (P i....Pn ) , 将红色部分顺序逆转,得到结果. 例求的下一个排列1. 确定i，从左到右两两比较找出后一个数比前一个大的组合，在这里有39 47，然后i取这些组中最到的位置号（不是最大的数）在这两组数中7的位置号最大为6，所以i=62.确定l，找出在i（包括i）后面的所有比i前面那一位大的数的最大的位置号，在此例中7，5 都满足要求，则选5，5的位置号为7，所以 l=73. 先将4和5交换，然后将5后的四位数倒转得到结果à以上算法是在数论课上老师给出的关于字典序全排列的生成算法，以前也经常要用到全排列生成算法来生成一个全排列对所有的情况进行测试，每次都是现到网上找一个算法，然后直接copy代码，修改一下和自己的程序兼容就行了，也不看是怎么来的，不是我不想看，实在是说的很抽象，那一大堆公式来吓人，一个实例都不给，更有甚者连算法都没有，只是在那里说，想看都看不懂，也没那个耐心取理解那些人写出来的那种让人无法忍受的解释。

12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分，咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。

先来说说排列公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。

比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。

再看组合公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。

就像从 10 个同学里选 4 个参加活动，选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。

我记得之前在课堂上，给学生们讲排列组合的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

当时我出了一道题：在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生，要选 3 个同学去参加比赛，其中至少有一个女生，有多少种选法？同学们开始埋头苦算，有的皱着眉头，有的咬着笔杆。

这时候，有个平时很调皮的男生突然举手说：“老师，这题太难啦，能不能少选几个同学啊？”大家都被他逗笑了。

我笑着说：“别着急，咱们一步步来分析。

”首先，我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。

然后，算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。

那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法，即 C(14, 3) - C(8, 3) 。

经过一番计算和讲解，同学们终于恍然大悟。

咱们继续说排列组合公式。

还有一些特殊的情况，比如可重复排列，从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数，公式是 n^m 。

还有环形排列，n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。

在实际生活中，排列组合的应用可多啦。

比如说抽奖，从一堆号码里抽出中奖号码，这就是组合；而把获奖的人排个名次，这就是排列。

再比如安排座位，教室里有 30 个座位，让 25 个同学去坐，这也是一种排列组合的问题。

排列与组合的计算方法排列与组合是组合数学中的一个重要概念，用于描述对象的不同排列方式和子集的选择方式。

它在数学、统计学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍排列与组合的计算方法，包括排列计算和组合计算两个部分。

一、排列计算排列是指从一组对象中，按照一定的顺序进行选择和排列，得到不同的结果。

在排列中，每个对象只能使用一次。

1. 全排列全排列是指从n个对象中选择m个对象进行排列，其中n>=m。

全排列的计算方法是使用阶乘运算。

设n为对象个数，m为选择的个数，则全排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!2. 循环排列循环排列是指在排列中考虑对象的循环性质，即将不同的起点看作是同一种情况。

循环排列的计算方法是使用阶乘运算。

设n为对象个数，则循环排列的计算公式为：C(n) = (n-1)!二、组合计算组合是指从一组对象中，选择m个对象进行组合，得到不同的结果。

在组合中，每个对象只能选择一次，但是顺序不重要。

1. 无重复组合无重复组合是指在组合中不考虑对象的顺序性质，即选择相同的对象组合的情况看作是同一种结果。

无重复组合的计算方法是使用组合数运算。

设n为对象个数，m为选择的个数，则无重复组合的计算公式为：C(n, m) = n! / [(n-m)! * m!]2. 有重复组合有重复组合是指在组合中考虑对象的重复选择性质。

有重复组合的计算方法是使用组合数运算和重复因子运算。

设n为对象个数，m为选择的个数，k为重复选择的因子个数，则有重复组合的计算公式为：H(n, m, k) = C(n+m-1, m) / k!三、应用举例1. 全排列的应用在密码的破解中，全排列可以用来生成所有可能的密码组合，然后进行密码匹配。

2. 组合的应用在概率统计中，组合可以用来计算事件发生的可能性，计算样本空间的个数。

总结：本文介绍了排列与组合的计算方法，包括排列计算和组合计算两个部分。

排列计算涉及全排列和循环排列两种情况，组合计算涉及无重复组合和有重复组合两种情况。

全排列组合的数学模型及计算方法在数学中，全排列组合是一种常见的问题类型，涉及到对象的不同排列或者组合方式。

全排列指的是从一组对象中选取所有可能的排列方式，而全组合则是从一组对象中选取所有可能的组合方式。

这两种问题都可以用数学模型来描述，并且可以通过计算方法来求解。

一、全排列的数学模型及计算方法全排列是指从n个不同的对象中选取m个进行排列，排列结果的数量为P(n,m)，计算方式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示n × (n-1) × … × 2 × 1。

这个计算公式可以用来求解从一组不同对象中选取特定数量进行排列的问题。

例如，有5个不同的数字，要求从中选取3个进行排列，可以使用全排列的数学模型及计算方法来求解：P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60因此，从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果有60种。

二、全组合的数学模型及计算方法全组合是指从n个不同的对象中选取m个进行组合，组合结果的数量为C(n,m)，计算方式为：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)同样地，n!表示n的阶乘。

这个计算公式可以用来求解从一组不同对象中选取特定数量进行组合的问题。

例如，有5个不同的数字，要求从中选取3个进行组合，可以使用全组合的数学模型及计算方法来求解：C(5,3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 5! / (3! × 2!) = 5 × 4 / 2 × 1 = 10因此，从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果有10种。

三、应用举例1. 生日排列法：假设有7个朋友，要求将他们的生日排列在一起，一种可能的方法是使用全排列的数学模型及计算方法。

在这种情况下，n=365（一年中的天数），m=7（朋友的数量），可以计算出共有P(365,7)种不同的排列方式。