2013年高考理科数学试题分类汇编2：数列

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D2013全国高考理科数学 数列专题 邓老师

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6 1 9．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于

A.-24 B.0 C.12

D.24

【答案】A

二、填空题

10．（2013年高考四川卷（理））在等差数列{}na中,218aa,且4a为2a和3a的等比中项,求数列{}na的首项、公差及前n项和.

【答案】解:设该数列公差为d,前n项和为ns.由已知,可得

21111228,38adadadad.

所以114,30addda,

解得14,0ad,或11,3ad,即数列na的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.

所以数列的前n项和4nsn或232nnns

11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列na的前n项和为nS,已知10150,25SS,则nnS的最小值为________.

【答案】49

12．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第2013全国高考理科数学 数列专题 邓老师

7 n个三角形数为2111222nnnn.记第n个k边形数为,Nnk3k,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:

三角形数 211,322Nnnn

正方形数 2,4Nnn

五边形数 231,522Nnnn

六边形数 2,62Nnnn

可以推测,Nnk的表达式,由此计算10,24N___________.

选考题

【答案】1000

13．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数列}{na中,215a,376aa,则满足nnaaaaaa2121的最大正整数n 的值为_____________.

【答案】12

14．（2013年高考湖南卷（理））设nS为数列na的前n项和,1(1),,2nnnnSanN则

(1)3a_____; (2)12100SSS___________. 2013全国高考理科数学 数列专题 邓老师

8 【答案】116;10011(1)32

15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当,1xRx时,有如下表达式:211.......1nxxxx

两边同时积分得:111112222220000011.......1ndxxdxxdxxdxdxx

从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln2.2223212nn

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:

0122311111111()()...()_____2223212nnnnnnnCCCC

【答案】113[()1]12nn

16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知na是等差数列,11a,公差0d,nS为其前n项和,若125,,aaa成等比数列,则8_____S

【答案】64

17．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和n=S__________.

【答案】25766nn

18．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列na中,已知3810aa,则573aa_____.

【答案】20 2013全国高考理科数学 数列专题 邓老师

9 19．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:

211

22123

2221263

2222124310

照此规律, 第n个等式可为___)1(2)1-n1--32-1121-n222nnn（）（____.

【答案】)1(2)1-n1--32-1121-n222nnn（）（

20．（2013年高考新课标1（理））若数列{na}的前n项和为Sn=2133na,则数列{na}的通项公式是na=______.

【答案】na=1(2)n.

21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同的点12,,,nAAX和12,,,nBBB分别在角O的两条边上,所有nnAB相互平行,且所有梯形11nnnnABBA的面积均相等.设.nnOAa若121,2,aa则数列na的通项公式是_________.

【答案】*,23Nnnan

22．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和2013全国高考理科数学 数列专题 邓老师

10 Sn=___________.

【答案】2,122n

23．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列na是递增数列,nS是na的前n项和,若13aa，是方程2540xx的两个根,则6S____________.

【答案】63

三、解答题

24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数22222()1(,)23nnnxxxfxxxRnNn,证明:

(Ⅰ)对每个nnN,存在唯一的2[,1]3nx,满足()0nnfx;

(Ⅱ)对任意npN,由(Ⅰ)中nx构成的数列nx满足10nnpxxn.

【答案】解: (Ⅰ)

224232224321)(0nxxxxxxfnxyxnnn是单调递增的时，当是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数.

011)1(,01)0(nnff且.

010)(],1,0(321nnnnxxxxxfx，且满足存在唯一

xxxxxxxxxxxxxfxnnn1141114122221)(,).1,0(2122242322时当]1,32[0)23)(2(1141)(02nnnnnnnnxxxxxxxf 2013全国高考理科数学 数列专题 邓老师

11 综上,对每个nnN,存在唯一的2[,1]3nx,满足()0nnfx;(证毕)

(Ⅱ) 由题知04321)(,012242322nxxxxxxfxxnnnnnnnnpnn

0)()1(4321)(2212242322pnxnxnxxxxxxfpnpnnpnnpnpnpnpnpnpnpn上式相减:22122423222242322)()1(432432pnxnxnxxxxxnxxxxxpnpnnpnnpnpnpnpnpnnnnnnn）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--pnxnxnxxxxxxxxxxpnpnnpnnnnpnnpnnpnnpnpnn

nxxnpnnpnn1-111.

法二: 2013全国高考理科数学 数列专题 邓老师

12

25．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数0c,定义函数()2|4|||fxxcxc,数列123,,,aaa满足*1(),nnafanN.

(1)若12ac,求2a及3a;(2)求证:对任意*1,nnnNaac,; 2013全国高考理科数学 数列专题 邓老师

13 (3)是否存在1a,使得12,,,naaa成等差数列?若存在,求出所有这样的1a,若不存在,说明理由.

【答案】:(1)因为0c,1(2)ac,故2111()2|4|||2afaacac,

3122()2|4|||10afaacacc

(2)要证明原命题,只需证明()fxxc对任意xR都成立,

()2|4|||fxxcxcxcxc

即只需证明2|4|||+xcxcxc

若0xc,显然有2|4|||+=0xcxcxc成立;

若0xc,则2|4|||+4xcxcxcxcxc显然成立

综上,()fxxc恒成立,即对任意的*nN,1nnaac

(3)由(2)知,若{}na为等差数列,则公差0dc,故n无限增大时,总有0na

此时,1()2(4)()8nnnnnafaacacac

即8dc

故21111()2|4|||8afaacacac,

即1112|4|||8acacac,

当10ac时,等式成立,且2n时,0na,此时{}na为等差数列,满足题意;

若10ac,则11|4|48acac,

此时,230,8,,(2)(8)naacanc也满足题意;