选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图4－4－1所示.在平面内取一个定点O .叫做极点.自极点O 引一条射线Ox .叫做极轴；再选定一个长度单位.一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画.这两个数组成的有序数对(ρ.θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径.θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x .y )极坐标(ρ.θ)互化公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点P 的极坐标为)4,2(π.则点P 的直角坐标为 （ ）A.（1.1）B.（1.-1）C.（-1.1）D.（-1.-1）2、设点P 的直角坐标为(3,3)-.以原点为极点.实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<.则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4π-3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ.以极点为原点.极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中.过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝15．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.则曲线C 的极坐标方程为________．6. 在极坐标系中.求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二 极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时.如果不能直接用极坐标解决.可先转化为直角坐标方程.然后求解．1.在极坐标系中.已知圆C 经过点P(2.π4).圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点.求圆C 的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.圆心为C.点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3.则|CP|＝________.3.在极坐标系中.已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1.圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4.圆的半径为1.(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中.已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为2 3.则实数a 的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地.可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x .y 中的一个与参数t 的关系.例如x ＝f (t ).把它代入普通方程.求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t ).那么.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．点的轨迹 普通方程 参数方程直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .题型二 直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R ).圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π]).求直线l 被圆C 所截得的弦长．2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0）.直线l的参数方程为：（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切.求a值．3、在直角坐标系xoy中.曲线C1的参数方程为.（α为参数）.以原点O 为极点.x轴正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点.求点P到C2上点的距离最小值．综合应用1、曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A 21(0,)(,0)52、B 11(0,)(,0)52、C (0,4)(8,0)-、D 5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤3．判断下列结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系.在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点P 的直角坐标为(1.－3).则点P 的一个极坐标是（2.－π3）( ) (3)在极坐标系中.曲线的极坐标方程不是唯一的( )(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )4.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 15.参数方程()为参数θθθ⎩⎨⎧+==cot tan 2y x 所表示的曲线是 （ ）A ．直线B ．两条射线C ．线段D ．圆16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2=表示同一曲线的方程是： ( )A ．x t y t ==⎧⎨⎩2B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪D ．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t x tan 2cos 12cos 13.由参数方程()⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθθ为参数，y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是。
极坐标与参数方程一、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A ．23B ．23-C ．32D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A ．1(,2B ．31(,)42-C ．D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（） A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
