材料力学笔记

孙训方《材料力学》（第6版）笔记和

课后习题（含考研真题）详解

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第1章绪论及基本概念

1.1复习笔记

材料力学是固体力学的一个分支，是研究结构构件和机械零件承载能力的基础学科。其主要任务是研究材

料及构件在外力作用下的变形、受力和失效的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性分析的

理论和方法。本章主要介绍了材料力学的基本概念，是整个材料力学内容的一个浓缩，后面章节的叙述都

是本章的展开和延伸。

一、材料力学的任务（见表1-1-1）

表1-1-1材料力学的任务

二、可变形固体的性质及其基本假设（见表1-1-2）

表1-1-2可变形固体的性质及其基本假设

三、杆件变形的基本形式（见表1-1-3）

表1-1-3杆件变形的基本形式

材料力学笔记

第一章 绪论

材料应满足的基本要求:强度要求（抵抗破坏的能量），刚度要求（抵抗变形的能力），稳定性要求（保持原有平衡形态的能力）。

基本假设：连续性假设,均匀性假设、各向同性假设

内力：物体内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用.

垂直于截面的应用分量称为正应力sigma（σ），切于截面的应力称为切应力tau(τ）；

应变epsilon ε：研究对象某点沿某个方向的伸长或缩短值;切应变γ:研究对象在某个平面内角度的变化；

材料变形的基本形式：拉伸或压缩；剪切；扭转

第二章 拉伸、压缩与剪切

截面应力：σ=𝐹𝑁𝐴；斜截面正应力:σ𝛼=σcos2α;斜截面切应力:τ𝛼=12σsin2α

低碳钢材料力学性能:弹性阶段，屈服阶段,强化阶段，局部变形阶段。相关概念有比例极限σ𝑝，弹性极限σ𝑒，屈服极限σ𝑠，强度极限σ𝑏

断裂和塑性变形统称为失效。许用应力，对塑性材料[σ]=𝜎𝑠𝑛𝑠; 对于脆性材料：[σ]=𝜎𝑏𝑛𝑏

应力应变关系胡克定律：σ=𝐸ε,𝛥𝑙=𝐹𝑙𝐸𝐴,𝐸𝐴为杆件的抗拉或抗压刚度

抽象拉伸或压缩的应变能,应变能密度：vε=𝜎22𝐸（J/m3）

剪切面切应力：𝜏=𝐹𝑠𝐴≤[𝜏]；挤压应力：σbs=𝐹𝑁𝐴𝑏𝑠≤[σbs ]

第三章 扭矩

计算外力偶矩｛Me}=9549𝑃𝑛，P为功率，n为转速。

切应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,切应力必然成对存在，且数值相等。

切应变： γ=𝑟𝜑𝑙𝜑表示圆柱两端截面的相对转角，称为扭转角

剪切胡克定律:切应变γ与切应力𝜏成正比𝜏=𝐺γ、

剪切应变能密度：𝑣ε=𝜏22𝐺（J/m3）

圆柱扭转时最大切应力：𝜏max=𝑇𝑊，T内力系对圆心的力矩T=∫𝜌𝜏𝜌𝑑A𝐴， W=𝐼𝑝𝑅

𝐼𝑝=∫𝜌2𝑑A𝐴为极惯性矩（截面二次矩）;W为抗扭截面系数

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第5章 梁弯曲时的位移

5.1 复习笔记

梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出

现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线

方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再

介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。

一、梁的位移——挠度及转角

挠度和转角的概念（见表5-1-1）

表5-1-1 挠度和转角的概念

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二、梁的挠曲线近似微分方程及其积分

1．挠曲线近似微分方程（见表5-1-2）

表5-1-2 挠曲线近似微分方程

2．挠曲线近似微分方程积分（见表5-1-3）

表5-1-3 挠曲线近似微分方程积分

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三、按叠加原理计算梁的挠度和转角

叠加原理：梁在小变形情况下，其挠度和转角与作用在梁上的荷载呈线性关系，梁在多

项荷载同时作用下，其挠度和转角等于每项荷载单独作用下挠度和转角的叠加，计算方法见

表5-1-4。

表5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角

四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表5-1-5）

表5-1-5 梁的刚度校核及提高措施

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五、梁内的弯曲应变能

定义：

由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其

弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表5-1-6。

表5-1-6 梁内的弯曲应变能

5.2 课后习题详解

材料力学笔记

一、截面对形心轴的轴惯性矩

矩形、实心圆、空心圆、薄壁圆截面的轴惯性矩分别为

Ix=Iy=bh³/12

（B.3-4）

（B.3-5）

Ix=Iy=πR0³t （B.3-6）

式中，d—实心圆直径和空心圆内径，D—空心圆外径，R0—薄壁圆平均半径。t—薄壁圆壁厚。

惯性矩I量纲为长度的四次方（mm4），恒为正。

二、截面抗弯刚度EIz和抗弯截面模量Wz

（a）

上式代表距中性层为y处的任一纵向“纤维”的正应变，式中的ρ对同一横截面来说是个常数， 所以正应变ε与y成正比（上缩下伸），与z无关。式（a）即为横截面保持平面，只绕中性轴旋转的数学表达式，通常称为几何方面的关系式。

（b）

式（b）表示横截面上正应力沿梁高度的变化规律，即物理方面的关系式。由于式中ρ对同一横截面来说是个常数，均匀材料的弹性模量E也是常数，所以横截面上任一点处的正应力与y成正比（上压下拉） 。显然中性轴上的正应力为零，而距中性轴愈远，正应力愈大，最大正应力σmax发生在距中性轴最远的上下边缘（图7.2-4）。

图7.2-4 弯曲正应力分布 微内力对中性轴z之矩组成弯矩M，即 （e）

代入式（b），并将常数从积分号中提出，得

。

令 ，称为横截面对z轴的惯性矩，它只取决于横截面的形状和尺寸，其量纲是长度的四次方， 此值很容易通过积分求出 。于是得出

（7.2-1）

上式确定了曲率的大小。式中EIz称为截面抗弯刚度（stiffness in bending）。到此为止，式（a）中的y和ρ已经确定。联合式（b）及式（7.2-1），得出

（7.2-2）

上式即为对称弯曲正应力公式。当y=ymax时，得出最大正应力公式，即

（7.2-3）

式中 称为抗弯截面模量（section modulus in bending），其量纲是长度的三次方。

表7.2-I列出了简单截面的Iz和Wz计算公式。表中=d/D，R0为薄壁圆平均半径。