三年级奥数第16讲数字趣谈(教师版)
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1 / 10 三年级奥数第16讲数字趣谈(教师版）
尝试使用探索法和分类统计法解决自然数列计数问题
在日常生活中,0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9是我们最常见、最熟悉的数,由这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题,动动脑筋,你就会找到答案。本周的习题,大都是关于自然数列方面的计数问题,解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法,相信你们能很好地掌握它。
考点一：枚举计数
例1、在10和40之间有多少个数是3的倍数？
【解析】由尝试法可求出答案：
3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21 3×8=24
3×9=27 3×10=30 3×11=33 3×12=36 3×13=39
例2、 在10和1000之间有多少个数是3的倍数？
【解析】求10和1000之间有多少个数是3的倍数,用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样思考：
10÷3=3……1 说明10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333……1 说明1000以内有333个数是3的倍数。
333－3=330 说明10——1000之间有330个数是3的倍数。 教学目标
知识梳理
典例分析
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例3、从1——9九个数中选取,将11写成两个不同的自然数之和,有多少种不同的写法？
【解析】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
1,2,3,4,5,6,7,8,9
先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求,但用第二小的2和最大的9相加,
和为11符合要求,得11=2＋9。依次做下去,可得11=3＋8,11=4＋7,11=5＋6。
共有4种不同的写法。
例4、2000年2月的一天,有三批同学去植树,每批的人数不相等,没有一个人单独去的,三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想,这三批学生各有几人？
【解析】2000年2月有29天,三批同学人数的乘积不能大于29,我们可以先用最小的几个数试乘（1除外）：2×3×4=24,24＜29；2×3×5=30,30＞29,不合题意。所以,这三批学生的人数是2,3,4人。
例5、一本连环画共100页,排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下,排这本书的页码共要用多少个铅字？
【解析】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页,共9页,每页用1个铅字,共用1×9=9个；
从第10页到第99页,共90页,每页用2个铅字,共用2×90=180个；
第100页,只有1页共用3个铅字。
所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。
例6、一本书共250页,求编码时需要多少个数码？
【解析】由于本书的页码有一位数、 两位数、 三位数；
而几位数就需要几个数码。故须分类计数,再相加。
一位数：有9个,共需9×1=9个数码；
两位数：有90个,共需90×2=180个数码；
三位数：有250-99=151个,共需151×3=453个数码；
3 / 10 共需9+180+453=642个数码。
记住规律：
一位数： 1~9,有9个；
两位数： 10~99,有99-10+1=90个,或99-9=90；
三位数： 100~999,有999-100+1=900个,或999-99=900个；
四位数： 9000个；
……
例7、 给一本书编码,一共用了723个数字,这本书一共用多少页？
【解析】刚才例子是正着问,此题倒着问。边尝试边计算：
一位数：有9个,共计用去9个数码；
两位数：有90个,共需90×2=180个数码；
三位数：有900个,共需900×3=2700个数码；
而此题只有 723个数码,多于9+180,小于 9+180+2700,说明数的页数是三位数。
一位数和两位数共计用去9+180=189个数码,
还剩723-189=534个数码给三位数用,每个三位数用3个数码,
则还有534÷3=178个三位数,
第178个三位数是99+178=277,故本书有277页。
例8、 一本书的页码, 在印刷时必须用198个铅字, 自这一本书的页码中数字1出现多少次？
【解析】一位数和两位数共计用去9+180=189个数码,
还剩198-189=9个数码给三位数用,每个三位数用3个数码,
则还有9÷3=3个三位数,
第3个三位数是102,故本书有 102页。
那么本题转化为：一本书有102页,问1出现多少次？
即相当于问： 1~102里1出现的次数。
数少时可以按由小到大的顺序枚举,即便如此,也很少有孩子能一次想全。
因此,为使计数不重不漏,我们一定要按照一定的顺序枚举。
4 / 10 本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的：
最多有3位数, 因此,1如果出现一定是在个位、十位、或百位。
所以我们把个、十、百位的1分类计数,然后再相加。
个位1： 1,11,21,31,……, 101。有11个；
十位1： 10, 11,12,……, 19。。有10个；
百位1： 100,101,102。有3个。
1出现24次。
考点二：计数和数论的综合题
例1、 1~3998这些自然数中,有多少个能被4整除？
【解析】最简单的方法是找规律,除以几,数就有几种可能,
如除以4,余数可能 0~3,共四种；
连续自然数（或等差数列）除以同一个数余数肯定成周期,周期为除数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
除以4余数 1 2 3 0 1 2 3 0 1
……
周期为4,3998÷4=999……2,余下的2个为1和2,因此能被4整除的共999个。
注意：在这个范围内被4整除的和除以4余3的有999个；
除以4余1的和除以4余2的都有 999+1=1000个。
例2、 1234~3998这些自然数中,有多少个能被4整除？
【解析】 1234~3998共有3998-1234+1=2765个数。
1234 1235 1236 1237 1238 1239 1240 1241 1242 ……
除以4余数 2 3 0 1 2 3 0 1 2
……
周期为4,2765÷4=691……1,余下的一个是2,因此能被4整除的有691个。
注意：在这个范围内被4整除的、除以4余3以及除以4余1的有691个；
除以4余2的都有691+1=692个。
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考点三：计数问题中的乘法原理
加法分类,类类独立；乘法分步,步步相关。
乘法原理： 一般的, 完成一个任务有N步, 第一步有A种做法, 第二步有 B种做法,第三步有C种做法,……那么完成这个任务共有A×B×C×……种方法。
例1、 从北京到天津有3种路线, 从天津到大连有4种路线, 那么从北
京经过天津再去大连共有几种路线。
【解析】完成任务分两步,第一步从北京到天津,第二步从天津到大连, 分步用乘法原理,
3×4=12
例2、 1~7中选4个不同数字,组成四位数,共有多少个？
【解析】组成四位数,需要一位一位的确定各个位上的数字,分四步。
第一步： 1~7中选一个数字放到千位,共7种；
第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到百位,共6种；
第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到十位,共5种；
第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到个位,共4种；
分步用乘法： 7×6×5×4=840种。
特殊元素优先排列,特殊位置优先考虑。
例3、 1~7中选4个不同数字,组成四位奇数,共有多少个？
【解析】特殊位置优先考虑
奇数,末位特殊, 1,3,5,7共4中选择。
第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到千位,共6种；
第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到百位,共5种；
第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到十位,共4种；
分步用乘法： 4×6×5×4=480种。
考点四：数论中位值原理的应用
位值原理是方程工具（代数思想）的一个体现,是将来学习进位制的基础。
6 / 10 如： 1234=1000+200+30+4=1×1000+2×100+3×10+4×1
1在千这个位置上,它代表的数值是1个1000；
2在百这个位置上,它代表的数值是2个100；
3在十这个位置上,它代表的数值是3个10；
4在个这个位置上,它代表的数值是4个1；
位值原理体现的是一种位置和数值的对应关系。
位值原理的两种展开方式：
（ 1）全部展开：如： 1234=1×1000+2×100+3×10+4×1
（ 2）分析题意,根据需要灵活展开：如：
1234=12×100+34×1；
12345=12×1000+345×1；
12345=123×100+45×1；
12345=12×1000+34×10+5×1；
例1、 在一个两位数的两个数字中间加一个 0,那么,所得的三位数是原数的6倍。求这个两位数。
【解析】 设原来的两位数是ab,那么新的三位数就是ab 0 ,新数是原数的6倍,
得到方程： ab 0 =6×ab（ a,b均为整数； 0＜a≤9； 0≤b≤9）
根据位值原理： ab=10a+b； ab 0 =100a+b；
则100a+b=6（ 10a+b）
100a+b=60a+6b
40a=5b
8a=b（ 0＜a≤9； 0≤b≤9）
a=1,b=8
原数为18。
例2、 有一个三位数, 个位数字是百位的2倍, 百位数字与个位数字之和等于十位数字,若百位数字与个位数字对换,新数比原数大198, 求原数。
【解析】只看这一个条件：若百位数字与个位数字对换,新数比原数大198。
设原数为abc,则新数为cba,原数+198=新数
abc+198=cba
100a+10b+c+198=100c+10b+a
198=99c-99a
c-a=2
又,个位数字是百位的2倍,即c=2a,
