第四章 大数定律与中心极限定理
第一节 大数定律
一、历史简介
概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.
二、大数定律
定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有
证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且
而
于是
由契比晓夫不等式有
又由独立性知道有
从而有
这就证明了定理1.
若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的,有
成立,则称随机变量序列服从大数定律.
定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有
则对于任意的,有
证明:利用契比晓夫不等式,有
因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到
从而有
从而定理2得证.
[例1] 设为独立同分布的随机变量,均服从参数为的普哇松分布.由以往的讨论知道,,因而满足定理2的要求,则由定理2 的结论可知
大数定理
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
发展历史
1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
表现形式
大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：
切比雪夫大数定理
设
是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望
和方差
。若存在常数C使得：
则对任意小的正数 ε，满足公式一：
将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
伯努利大数定律
设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二：
该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。
辛钦大数定律
辛钦大数定律：常用的大数定律之一
设{
，i>=1}为独立同分布的随机变量序列，若
的数学期望存在，则服从大数定律:
即对任意的ε>0，有公式三：
、
中心极限定理
中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量积累分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。
1第四章 大数定律与中心极限定理
习题4.1
1． 如果XXP
n→
，且YXP
n→
．试证：P{X = Y
} = 1．
证：因
|
X − Y
| = | −(X
n − X
) + (X
n − Y
)| ≤ |
X
n − X
| + |
X
n − Y
|，对任意的ε
> 0，有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−≤≥−≤
2||
2||}|{|0εε
ε
YXPXXPYXP
nn，
又因XXP
n→
，且YXP
n→，有0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
XXP
n
n，0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
YXP
n
n，
则P{|
X − Y
| ≥ ε
} = 0，取
k1
=ε，有01
||=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
kYXP，即11
||=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<−
kYXP
， 故11
||lim1
||}{
1=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<−==
+∞→+∞
=kYXP
kYXPYXP
k
kI
．
2． 如果XXP
n→
，YYP
n→
．试证：
（1）YXYXP
nn+→+
；
（2）XYYXP
nn→
．
证：（1）因
|
(X
n + Y
n) − (X + Y
)
| = | (X
n − X
) + (Y
n − Y
)| ≤ |
X
n − X
| + |
Y
n − Y
|，对任意的ε
> 0，有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−≤≥+−+≤
2||
2||}|)()({|0εε
ε
YYPXXPYXYXP
nnnn，
又因XXP
n→
，YYP
n→，有0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
XXP
n
n，0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
YYP
n
n，
故0}|)()({|lim=≥+−+
+∞→ε
YXYXP
nn
n，即YXYXP
nn+→+
；
（2）因
|
X
nY
n − XY | = | (X
n − X
)Y
n + X
(Y
n − Y
) | ≤ |
X
n − X
| ⋅ | Y
n | + | X | ⋅ |
Y
n − Y
|，对任意的ε
> 0，有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
考研数学三概率论与数理统计（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1
(总分86,考试时间90分钟)
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+XN，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时SN近似服从正态分布，只要X1，X2，…，XN
A. 有相同期望和方差． B. 服从同一离散型分布．
C. 服从同一均匀分布． D. 服从同一连续型分布．
2. 假设随机变量X1，X2，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是
A. X1，X2，…，Xn，…
B. X1+1，X2+2，…，Xn+n，…
C. X1，2X2，…nXn,…
D.
3. 设随机变量序列X1，…Xn，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}
A. 有相同的数学期望．
B. 有相同的方差．
C. 服从同一泊松分布．
D. 服从同一连续型分布，f(x)=(一∞＜x＜+∞)．
4. 设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则
A. B.
C. D.
5. 设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数Fα(3，4)满足P{X＞Fα(3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=
A.
B.
C. Fα(4，3)．
D. F1-α(4，3)．
6. 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X1一2X2)2+b(3X3—4x4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则
A. n必为2． B. n必为4．
C. n为1或2． D. n为2或4．
7. 设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，和S2为样本均值和样本方差，则
A. 服从标准正态分布
