概率论与数理统计第5章-大数定律与中心极限定理

概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理

课前导读

概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。 数学中研究大量的工具是极限。 因此这一章学习概率论中的极限定理。

第一节 大数定律

随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。大数定律解释了这一结论。

首先介绍切比雪夫不等式。

一、切比雪夫(Chebyshev)不等式

随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。

切比雪夫不等式：

对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。

当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。

二、依概率收敛

随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。 只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。

依概率收敛的定义：

定理2：

三、大数定律

三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。注意这三个大数定律的条件有何异同。

定理3 切比雪夫大数定律： 若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。 定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）： 辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。

伯努利大数定律： 伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。 伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。

大学数学云课堂 1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机

的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,…,16).依

本章定理1知

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3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取

整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90

解：

（1）设取整误差为Xi（L,2,1=i，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分

布。 于是： 0

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1 / 9

河北金融学院教案

课程名称：概率论与数理统计

教材名称：《概率论与数理统计》

出版单位：中国质检出版社

出版时间：2011年6月

主 编：陈爱江、张文良

教案编写人：尹亮亮

授课专业（班级）：10物流本、10国贸本、

10保险本

授课时间：2011年9月—2012年1月2 / 9 河北金融学院课程教案

授课教师： 授课班级： 授课时间：

课 题 §5.1 大数定律的概念 §5.2 切贝谢夫不等式 §5.3 切贝谢夫定理

教学基本

要求与目标 了解大数定律的实际意义及三大定律之间的联系；

掌握切贝谢夫不等式的内容及利用不等式估计随机变量区间概率的方法

方法与手段 讲解与练习相结合

实践性环节 课堂练习

课外要求 完成课后习题

内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”） 课时分配

教学引入：在第一章，我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。在实践中，人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。

本节介绍三个定理，他们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。

△一、切贝谢夫不等式

1、定理内容：

随机变量X，数学期望E，方差2D，则对0有：

22P

2、概念解析：定理的另一种形式

22{}1PP

3、例题应用

若废品率为0.03，利用切贝谢夫不等式估计1000个产品中废品多于20少于40的概率。

4、不等式的局限性

对于随机变量2(,)N:，可由不等式估计

221{3}0.11(3)9P

10’

30’

3 / 9 内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”） 课时分配

但根据第二章的3原则可知

概率论与数理统计教学教案 第五章大数定律及中心极限定理 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第五章 第一节 大数定律 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 切比雪夫不等式和依概率收敛的定义，三个大数定律的讲解 教学难点 用切比雪夫不等式求解概率上界；理解依概率收敛的定义 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解切比雪夫不等式的意义 掌握用切比雪夫不等式求解概率的上界 理解依概率收敛的定义 掌握切比雪夫大数定律 掌握伯努利大数定律 掌握辛钦大数定律 理解大数定律在实际中的应用 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1、切比雪夫不等式 设随机变量的数学期望及方差存在，则对于任意的，有

. 2、随机变量序列极限的定义方式 设是一个随机变量序列。如果存在一个常数，使得对任意一个，总有。那么，称随机变量序列依概率收敛于，记作。。 PXEX

XEXDX02DXPXEX

12,,XXc0lim(||)1nnPXc12,,XXcPnXc0,(||)0,nPXcn即对任意 二、定理与性质 1、如果，，且函数在处连续，那么 。 2、切比雪夫大数定律 设随机变量序列相互独立（或两两不相关），若存在常数，使得，.则对任意，有 也可以表示为。 3、独立同分布大数定律 设随机变量序列独立同分布，若，，。则对任意，有 也可以表示为. 4、贝努利大数定律 设随机变量序列独立同分布，且，。则对任意，有 三、主要例题： 例1 （1）求；（2）用切比雪夫不等式估计概率。 例2 设是独立同分布的随机变量序列.在下列三种情形下,当时,试问，分别依概率收敛于什么值？ （1） （2） PnXcPnYb(,)gxy(,)ab(,)(,)PnngXYgab12,,,,nXXXc2=iiDXc1,2,,,in01111lim1.nniiniiPXEXnn1111nnPiiiiXXEXnn12,,,,nXXXiEX2=iDX1,2,i011lim1.niniPXn11nPiiXXn12,,,,nXXX(1,)iXBp1,2,i011lim1.niniPXpn2~(,)XN设，(3)PX(3)PX12,,XXnX211niiXn(,),1,2,;iXBmpi,iXE1,2,;i（3）. 授课序号02 教 学 基 本 指 标 教学课题 第五章 第二节 中心极限定理 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 中心极限定理求解 教学难点 中心极限定理求解 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 作业布置 课后习题 大纲要求 掌握 应用中心极限定理求解相互独立随机变量之和的近似概率值 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1、列维-林德伯格中心极限定理 设随机变量序列独立同分布，若，，且。则对任意实数，有 2、德莫弗—拉普拉斯中心极限定设随机变量序列独立同分布，且，。则对任何实数，有 二 主要例题： 例1 已知某计算机程序进行加法运算时，要对每个加数四舍五入取整。假设所有取整的误差相互独立，并且均服从。（1）如果将1200个数相加，求误差总和的绝对值超过20的概率；（2）要使误差总和的绝对值不超过5的概率超过0.95，最多有多少个加数？ 2,,iXN1,2,i