概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理
课前导读
概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。 数学中研究大量的工具是极限。 因此这一章学习概率论中的极限定理。
第一节 大数定律
随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。大数定律解释了这一结论。
首先介绍切比雪夫不等式。
一、切比雪夫(Chebyshev)不等式
随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。
切比雪夫不等式：
对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。
当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。
二、依概率收敛
随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。 只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。
依概率收敛的定义：
定理2：
三、大数定律
三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。注意这三个大数定律的条件有何异同。
定理3 切比雪夫大数定律： 若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。 定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）： 辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。
伯努利大数定律： 伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。 伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。
1 第四章 大数定律和中心极限定理
一. 填空题
1. 设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数, p为A在每次试验中出现的概率, 则对任意 > 0, 有||limpnYPnn__________.
解. ||limpnYPnn1－011||limpnYPnn
2. 设随机变量X和Y的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X－Y| 6) _______.
解. E(X－Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0
D(X－Y) = D(X) + D(Y)－)()(2YDXDXY= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3
所以 1213636)()6|(|2YXDYXP
二. 选择题
1. 设随机变量nXXX,,,21相互独立, nnXXXS21, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, nS近似服从正态分布, 只要nXXX,,,21
( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差
( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布
解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求nXXX,,,21既有相同的数学期望,
又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.
三. 计算题
1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作,
试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.
解. 假设X表示400台机器中发生故障的台数, 所以X～B(400, 0.02)
由棣莫佛－拉普拉斯定理:
)(2198.002.040002.0400lim22xdtexXPxtn
大学数学云课堂 1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机
的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,…,16).依
本章定理1知
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从而.2119.07881.01)1920(1)1920(16
116
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3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取
整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，
（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
（2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90
解：
（1）设取整误差为Xi（L,2,1=i，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分
布。 于是： 0
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第5章 大数定律与中心极限定理
教学要求
1．理解切比雪夫不等式及其含义. 会用切比雪夫不等式估计概率和证明大数定律.
2．了解依概率收敛的概念.
3．理解大数定律的意义，掌握切比雪夫大数定理、辛钦大数定理、伯努利大数定理成立的条件和结论.
4．理解中心极限定理的实质，掌握独立同分布和棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理的条件和结论，并会利用这两个定理近似计算有关事件的概率，了解李雅普诺夫中心极限定理成立的条件和结论.
教学重点
切比雪夫不等式与切比雪夫大数定理，独立同分布和棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理.
教学难点
用切比雪夫不等式与，独立同分布和棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理估计概率.
课时安排
本章安排2课时.
教学内容和要点
一、大数定律
1.切比雪夫不等式
2.大数定理
二、中心极限定理
1.独立同分布中心极限定理
2.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理
3.李雅普诺夫中心极限定理
主要概念
依概率收敛
