优化探究高考数学一轮复习 第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课时作业 理 新人教A版

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．1．辨明三个易误点(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．(2)注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．1.教材习题改编已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)A 由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.2．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ，无解；选项D ，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)A 法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.4．(2015·高考江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．因为 m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝2－5＝－3.－35.教材习题改编已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________．设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.(1，5)平面向量基本定理及其应用(1)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b (2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________．【解析】 (1)因为CB →＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →， 所以CD →＝14CB →＝14(a －b )，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .(2)因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →， 即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 所以2AP →＝PB →.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)，又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC→，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－AC →＝t 3AB →－tAC →. 故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.【答案】 (1)B (2)341．在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →. 因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →.2．在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋2－λ2CA →＝λ2CB →＋(1－λ)CA → ＝λCQ →＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA→2.因此点M 是AQ 的中点．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1．如图，在三角形ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝()A.12a ＋12bB.12a ＋13bC.14a ＋12b D.12a ＋14b D 因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线， 所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b ，故选D.2．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值是________．法一：根据题意可知△AFE ∽△CFB ，所以EF FB ＝AE CB ＝12，故EF →＝12FB →＝13EB →＝13(AB →－AE →)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AD →＝13AB →－16AD →，所以m n ＝13－16＝－2.法二：如图，AD →＝2AE →， EF →＝mAB →＋nAD →，所以AF →＝AE →＋EF → ＝mAB →＋(2n ＋1)AE →，因为F ，E ，B 三点共线，所以m ＋2n ＋1＝1，所以mn＝－2. －2平面向量的坐标运算已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于( )A ．(－2，7)B ．(－6，21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)B BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．2．已知A (7，1)、B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________．设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x ，4－y )，因为AC →＝2CB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝2（1－x ）y －1＝2（4－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3.所以C (3，3)．又因为C 在直线y ＝12ax 上，所以3＝12a ·3，所以a ＝2.2平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度： (1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标； (3)三点共线问题．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 【解】 (1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线， 所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝m λ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →.所以8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，所以m ＝32.(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．角度一 利用两向量共线求参数1．(2017·邯郸一模)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12C 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为(m a ＋n b )∥(a －2b )，所以－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，所以m n ＝－12.角度二 利用两向量共线的条件求向量坐标2．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B (x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)． (4，7)角度三 三点共线问题3．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13A AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.——忽视平面向量基本定理的条件致误已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ，2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？【解】 由题设，知CD →＝d －c ＝2b －3a ， CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b . ①若a ，b 共线，则t 可为任意实数；②若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解之得t ＝65.综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.在平面向量基本定理中，一定要注意两个基向量不共线这一条件，本题在利用向量共线的充要条件列出等式后，易漏掉当a ，b 共线时，t 可为任意实数这个解．已知a ，b ，c 是共起点的向量，a ，b 不共线，且∃m ，n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立．若a ，b ，c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1C 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为a ，b ，c 的终点共线，所以设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →， 即c ＝(1－λ)a ＋λb . 又c ＝m a ＋n b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，所以m ＋n ＝1，故选C.1．已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32bC ．－32a －12bD ．－32a ＋12bB 设c ＝λa ＋μb ，则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，所以c ＝12a －32b .2．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝( ) A.23 B.79 C.89D ．1 B 因为AP →＝AR →＋RP →＝AR →＋13RC →＝AR →＋13(AC →－AR →)＝23AR →＋13AC →＝49AB →＋13AC →，所以m ＋n ＝49＋13＝79. 3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x ＞0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．2A a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2， 2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0， 故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ），12x －2＝λ（x ＋1）⇒x ＝4(x ＞0)．4．已知非零不共线向量OA →、OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0A 由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0，故选A.5.(2017·济南模拟)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3B 因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3. 6．(2017·龙岩质检)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的两点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤B 在ON 上取点C 使OC →＝2OB →，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA ，则OD →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，排除选项A ，C ；取OA 的中点E ，作EF 綊12OB ，由于EF →＝12OB →，所以12OA →＋13OB →的终点在阴影区域内，排除选项D.故选B. 7．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cos θ＝±22，又因为θ为锐角，所以θ＝π4. π48．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值为________．易知AB →＝(a －1，1)，AC →＝(－b －1，2)，由A ，B ，C 三点共线知AB →∥AC →，故2(a －1)－(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1.由基本不等式可得1＝2a ＋b ≥22ab ，当且仅当2a ＝b 时等号成立，所以ab ≤18，即ab 的最大值为18.189．(2017·合肥质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，向量a ＝(cos C ，3b －c )，向量b ＝(cos A ，a )且a ∥b ，则tan A ＝________．a ∥b ⇒(3b －c )cos A －a cos C ＝0，即3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，再由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C ·cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝33，所以sin A ＝63，tan A ＝sin A cos A ＝ 2. 210．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的个数为________．BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确； CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.故④正确．所以正确命题为②③④，共3个．3 11.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .因为OD →＝a ＋b ，所以ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a－16b . 综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .12．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →. (1)求点E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →.(1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则依题意，得AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)． 所以AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以AE →＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.所以(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＋(－1，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， 所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.(2)证明：由(1)知(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又AB →＝(4，－1)，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，所以EF →∥AB →.13．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈ 由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，知OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以点P 在∠BAC 的平分线上，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 14．(2017·太原模拟)已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线． (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时， 由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)． 因为AB →＝OB →－OA →＝(4，4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，且有公共点A ，所以不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线． 15.如图，设Ox ，Oy 为平面内相交成60°角的两条数轴，e 1、e 2分别是x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则把有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →的坐标为(1，1)． (1)求|OP →|；(2)过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点A 、B ，试确定A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小，并求出最小值．(1)过点P 作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于点M 、N .则|ON →|＝1，|OM →|＝|NP →|＝1，∠ONP ＝120°， 所以|OP →|＝|ON →|2＋|PN →|2－2|ON →||PN →|cos 120°＝ 3. (2)设|OA →|＝x ，|OB →|＝y ， OP →＝mOA →＋nOB →(m ＋n ＝1)，则OP →＝mOA →＋nOB →＝mx e 1＋ny e 2.得⎩⎪⎨⎪⎧mx ＝1，ny ＝1⇒1x ＋1y ＝1.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin 60°＝12xy sin 60°＝34xy . 因为1x ＋1y＝1≥2xy，所以xy ≥2，S △AOB ＝34xy ≥3， 当且仅当x ＝y ＝2，即当A (2，0)，B (0，2)时，△AOB 面积最小，最小值为 3.。

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第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．(2015年辽宁沈阳质检)已知在▱ABCD中,错误!＝（2，8)，错误!＝(－3，4)，则错误!＝（）A．(－1，－12） B．(－1,12)C．（1，－12） D．(1，12）2．在下列向量组中，可以把向量a＝（3，2）表示出来的是（)A．e1＝（0,0)，e2＝(1，2）B．e1＝（－1，2)，e2＝(5，－2）C．e1＝（3,5），e2＝（6，10）D．e1＝（2，－3），e2＝(－2，3）3．如图X4.2­1，在△OAB中,P为线段AB上的一点，错误!＝x错误!＋y 错误!，且错误!＝2错误! ,则( ）图X4。

2。

1A．x＝错误!，y＝错误! B．x＝错误!，y＝错误!C．x＝错误!，y＝错误! D．x＝错误!，y＝错误!4．若向量α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称（x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝（1,－1),q ＝（2,1)下的坐标为(－2,2），则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1，2）下的坐标为( ）A．(2,0） B．(0，－2) C．（－2,0） D．（0，2）5．(2016年湖南怀化一模)如图X4。

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1.A.C.2.A.B.C.D.3. )知能丄训练(2015年辽宁沈阳质检)已知在中，初=(2,8),乔=(一3,4),则花 =( (―1, —12) B. (―1, 12)(1, -12) D・(1, 12)在下列向量组中，可以把向量a= (3, 2)表示出来的是()©= (0, 0), &2= (1, 2)&=(—1,2), Q=(5,—2)&= (3, 5), e>= (6, 10)e【=(2, —3), 0= (—2, 3)在△创〃中，“为线段如7上的一点，7)P= xOA+yOB,且~BP=2PA ,如图X4-2-1,A.C.4. 在基底2 11 3尸才y=4 若向量a，B.D.1 23 1B是一组基底，向量y = xa +yfi (x, yWR),则称(x, y)为向：fta，0下的坐标，现已知向量耳在基底p=(l, -1), g=^l)下的坐标为(一2,2), 则a在另一组基底刃=(—1,1),刀=(1,2)下的坐标为()A. (2,0)B. (0, -2)C. (-2,0)D. (0,2)5. (2016年湖南怀化一模)如图X4-2-2,苍4宓中,〃为肋的中点,F在线段仞上, —►—►—►\ 2设AB=a, AC=b, AF=xa+ vb.贝卜+-的最小值为( )x yA. 8 + 2 ^2B. 8C. 6D. 6 + 2 迈6.(2016年山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD申，E和尸分别是边①和％的中点，^AC= AAE+ pAF f其中A, “UR,贝lj A+ p= _________________ .7.(2017年江苏)如图X4-2-3,在同一个平面内，向量励，丽,旋的模分别为1,1,迈，励与旋的夹角为a ,且tan。

=7,励与旋的夹角为45°.若~OC=n^A+nOB{nu /?WR),则刃+ n=图X4-2-38.如图X4-2-4, 〃分别是射线购防上的点，给出下列以。

第2讲平面向量的基本定理及坐标表示板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，称e1，e2为基底．若e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若e1，e2分别为与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底．考点2 平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝x i＋y j，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．考点3 平面向量的坐标运算1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 考点4 平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ≠0，则与a 平行的单位向量为±a|a |.[必会结论]1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且λ＋μ＝1常被当作隐含条件运用．3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．[2018·郑州一模]设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( )A ．0B ．±2 C．2 D ．－2 答案 D解析 由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又a ，b 方向相反，所以x ＝－2.故选D.3．[课本改编]已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7,4) B ．(7,14) C ．(5,4) D ．(5,14) 答案 D 解析 设点B的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.故选D.4．[2017·山东高考]已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝________. 答案 －3解析 ∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．[2015·江苏高考]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．答案 －3解析 ∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.板块二 典例探究·考向突破 考向平面向量基本定理的应用例 1 [2018·许昌联考]在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b答案 B解析 如图，设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ， DH →＝μDE →＝μ⎝⎛⎭⎪⎫a －12b .因此，μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a .由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ.解之得λ＝45，μ＝25. 故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .故选B.触类旁通应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止； (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．【变式训练1】 如图，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.解 设BC →＝x ，CD →＝y ，则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB →＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，∴BC →＝－23e 1＋43e 2. 同理可得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即CD →＝－43e 1＋23e 2.考向平面向量的坐标表示例 2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)． 触类旁通平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．【变式训练2】 [2018·山东日照一中月考]在△ABC 中，点P 在BC 上，点Q 是AC 的中点，且BP →＝2PC →.若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)答案 A解析 由题知，PQ →－PA →＝AQ →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)． 又因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →＝QC →. 所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．故选A.考向平面向量共线的坐标表示例 3 [2018·正定检测]已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解 (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB →＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)． BC →＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.触类旁通利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．【变式训练3】 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标． 解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．核心规律1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 满分策略1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.3.使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不共线.板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列4——坐标法求向量中的最值问题[2017·全国卷Ⅲ]在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2解题视点 建立平面直角坐标系，求出A ，B ，C ，D 的坐标，用三角函数表示出点P 的坐标，最后转化为三角函数的最值问题．解析 分别以CB ，CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，D (0,1)．∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上， ∴可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ. 则AB →＝(0，－1)，AD →＝(－2,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫25cos θ－2，25sin θ－1.又AP →＝λAB →＋μAD →， ∴λ＝－25sin θ＋1，μ＝－15cos θ＋1，∴λ＋μ＝2－25sin θ－15cos θ＝2－sin(θ＋φ)，其中tan φ＝12，∴(λ＋μ)max ＝3.答案 A答题启示 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出λ＋μ的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.跟踪训练[2018·湖南模拟]给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·东北三校联考]已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为( )A ．(－8,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．(8，－1)答案 B解析 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)． 而12MN →＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32.故选B.2．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)答案 B解析 ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．故选B.3．若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( )A ．(－1，－1)B ．(5,9)C ．(1,1)D ．(3,5)答案 A解析 由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．故选A. 4．[2018·福建模拟]在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案 B解析 若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，则e 1∥e 2，故a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a ＝(3,2)表示出来，C ，D 选项中e 1，e 2都为共线向量，故a 不能由e 1，e 2表示．故选B.5．[2018·广西模拟]若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C.32a －12b D ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －32b .故选B.6．已知O 为坐标原点，且点A (1，3)，则与OA →同向的单位向量的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32答案 A解析 与OA →同向的单位向量a ＝OA→|OA →|，又|OA →|＝1＋(3)2＝2，故a ＝12(1，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选A.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线， ∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故选C.8．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a ＝－54.9．[2018·延安模拟]已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )， 则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，所以(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．10．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3. 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.[B 级 知能提升]1．[2018·广东七校联考]已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1.故选C.2．[2018·枣庄模拟]在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|的值为( )A.12B.13C.14D.25 答案 B解析 由已知得，3OC →＝2OA →＋OB →，即OC →－OB →＝2(OA →－OC →)， 即BC →＝2CA →，如图所示，故C为BA的靠近A点的三等分点，因而|AC→||AB→|＝13.选B.3.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案43解析选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AB→＋AD→，AF→＝AB→＋12 AD→，又AC→＝λAE→＋μAF→＝⎝⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB→＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD→，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，故λ＋μ＝43.4．[2018·杭州测试]如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为邻边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→，ON→，MN→.解∵BA→＝OA→－OB→＝a－b，BM→＝16BA→＝16a－16b，∴OM→＝OB→＋BM→＝16a＋56b.∵OD→＝a＋b，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .5.[2018·衡水中学调研]如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．解 解法一：如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23， 所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.。

课时作业(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案：A解析：AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5.与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，故应A.2．如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )A ．m >0，n >0B ．m >0，n <0C ．m <0，n >0D ．m <0，n <0答案：B解析：由题意及平面向量基本定理，得 在OP →＝mOP 1→＋nOP 2→中，m >0，n <0. 故应选B.3．在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2) 答案：A解析：∵点O (0,0)，P (6,8)， ∴OP →＝(6,8)，设OP →＝(10cos θ，10sin θ)，则cos θ＝35，sin θ＝45，∵向量OP →绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，设Q (x ，y )，则x ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos 3π4－sin θsin 3π4＝－72，y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝10⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos 3π4＋cos θsin 3π4 ＝－2，∴Q 点的坐标为(－72，－2)． 故应选A.4．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A ．2 B ．12 C ．－2 D ．－12答案：A解析：∵a ∥b ，则a ＝λb ，∴2cos α－sin α＝0，即tan α＝2. 故应选A.5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6)答案：D解析：设向量c ＝(x ，y )，∵向量4a,3b －2a ，c 首尾相接能构成三角形， ∴4a ＋3b －2a ＋c ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－6－2＋x ＝0，－12＋12－－＋y ＝0，解得x ＝4，y ＝－6， 即c ＝(4，－6)． 故应选D.6．已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2.给出以下结论： ①若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，则k ＝－2； ②若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，则k ＝2； ③存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线； ④不存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B解析：若a 与b 共线，即a ＝λb ，即2e 1－e 2＝λk e 1＋λe 2，而e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1，解得k ＝－2.故①正确，②不正确．若a 与b 不共线，若e 1与e 2共线，则e 2＝λe 1，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－λe 1，b ＝k ＋λe 1，∵e 1，e 2，a ，b 为非零向量，∴λ≠2且λ≠－k ， ∴12－λa ＝1k ＋λb ，即a ＝2－λk ＋λb ，这时a 与b 共线， ∴不存在实数k 满足题意，故③不正确，④正确． 综上，正确的结论为①④. 故应选B. 二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案：12解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.8．(2015·徐州模拟)在△ABC 中，若点D 是边AB 上靠近点B 的三等分点，若CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →等于________．答案：23a ＋13b解析：∵D 是边AB 上靠近点B 的三等分点，∴BD →＝13BA →，CD →＝CB →＋BD →，且BA →＝CA →－CB →＝b －a ，∴CD →＝CB →＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .9．(2015·大庆模拟)已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案：1解析：由题意知，OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)， 由∠AOC ＝30°知以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.10．给出以下四个命题：①四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|； ②点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋CG →＝0；③若AB →＝3e 1，CD →＝－5e 1，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是等腰梯形； ④若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则3≤|BC →|≤13. 其中所有正确命题的序号为________． 答案：①③④解析：对于①，当AB →＝DC →时，则四边形ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|，故该平行四边形为菱形，反之，当四边形ABCD 为菱形时，则AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|，故正确；对于②，若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0，故不正确；对于③，由条件知CD →＝－53AB →，所以CD →∥AB →且|CD →|>|AB →|，又|AD →|＝|BC →|，故四边形ABCD 为等腰梯形，正确；对于④，当AB →，AC →共线同向时，|BC →|＝3，当AB →，AC →共线反向时，|BC →|＝8＋5＝13，当AB →，AC →不共线时3<|BC→|<13，故正确．综上，正确命题为①③④. 三、解答题11．平面内给定三个向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝(3,1)，回答下列问题： (1)求4a ＋2b －c ；(2)若(a ＋k b )∥(2a －c )，求实数k .解：(1)4a ＋2b －c ＝4(2,1)＋2(－1,2)－(3,1)＝(8,4)＋(－2,4)－(3,1)＝(3,7)．(2)∵(a ＋k b )∥(2a －c )，又a ＋k b ＝(2－k,1＋2k )，2a －c ＝(1,1)， ∴2－k －(1＋2k )＝0， ∴k ＝13.12．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，OP →＝t 1OA →＋t 2AB →， (1)求点P 在第二象限的充要条件；(2)证明：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线；(3)试求当t 1，t 2满足什么条件时，O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形．解：(1)OP →＝t 1(1,2)＋t 2(3,3)＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，P 在第二象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2＜0，2t 1＋3t 2＞0有解．∴－32t 2＜t 1＜－3t 2且t 2＜0.(2)证明：当t 1＝1时，有OP →－OA →＝t 2AB →，∴AP →＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线． (3)由OP →＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，得点P (t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)， ∴O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形有三种情况．当OA →＝BP →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2－4＝1，2t 1＋3t 2－5＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝2，t 2＝1， 当OA →＝PB →，有⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＋3t 2－4＝－1，2t 1＋3t 2－5＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＝0，t 2＝1，当OP →＝BA →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2＝－3，2t 1＋3t 2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0，t 2＝－1.13．(2015·浏阳模拟)如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示；(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．解：(1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)证明：一方面，由(1)，得 OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λyOB →；①另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.② 而OA →，OB →不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＝13，λy ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3(定值)．。

2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复述的引入第二节平面向量的基本定理及坐标表示课时作业编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复述的引入第二节平面向量的基本定理及坐标表示课时作业）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019届高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复述的引入第二节平面向量的基本定理及坐标表示课时作业的全部内容。

第二节平面向量的基本定理及坐标表示课时作业A组——基础对点练1．已知点A（0,1），B（3，2），向量错误!＝(－4,－3），则向量错误!＝( ) A．（－7，－4）B．（7,4）C．(－1,4）D．（1,4)解析：设C（x，y）,则错误!＝（x，y－1)＝（－4,－3)，所以错误!从而错误!＝(－4,－2）－(3，2）＝(－7,－4）．故选A。

答案:A2．已知向量a＝(2,4），b＝（－1,1），则2a－b＝（)A．(5,7) B．（5，9）C．(3，7) D．(3,9）解析:由a＝(2,4)知2a＝(4,8)，所以2a－b＝(4,8)－（－1，1)＝(5,7)．故选A.答案：A3．设向量a＝（2，4)与向量b＝(x，6)共线,则实数x＝（）A．2 B．3C．4 D．6解析：由向量a＝（2,4)与向量b＝（x，6)共线，可得4x＝2×6，解得x＝3.答案:B4．已知向量a＝（2，3)，b＝（－1，2）,若（ma＋nb）∥(a－2b）,则错误!等于( )A．－2 B．2C．－错误!D．错误!解析：由题意得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b）,∴－(2m－n)－4（3m＋2n）＝0。

第2讲平面向量基本定理及坐标表示[考纲解读] 1.熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点．预测2021年会从以下几点进行命题：①向量的坐标运算及线性表示；②根据向量共线求参数值；③共线向量与其他知识综合．题型以客观题为主，有时也会与三角函数、解析几何综合命题，试题难度以中档题型为主.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个01不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，02有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝03λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组04基底．把一个向量分解为两个05互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝01(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝02 (x1－x2，y1－y2)，λa＝03(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21，|a＋b|＝(x2＋x1)2＋(y2＋y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b⇔01x1y2－x2y1＝0.1．概念辨析(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．()(3)设a ，b 是平面内的一组基底，假设实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，那么λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)假设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．小题热身(1)设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，那么2a －3b 等于( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1) D ．(7,2)答案 B解析 2a －3b ＝2(－1,0)－3(0,2)＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)． (2)以下各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34答案 B解析 对于A ，e 1∥e 2，不能作为基底；对于B ，－1×7－2×5≠0，所以e 1与e 2不共线，可以作为基底；对于C ，e 2＝2e 1，所以e 1∥e 2，不能作为基底；对于D ，e 1＝4e 2，所以e 1∥e 2，不能作为基底．(3)如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，假设AE →＝λAB →＋μAC→，那么λ＋μ的值为( ) A.12 B ．－12 C ．1D ．－1答案 A解析 由题意得AE →＝AC →＋CE →＝AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＝－12AB →＋AC →，又AE→＝λAB →＋μAC →，由平面向量基本定理得λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.(4)设e 1，e 2是不共线的两个向量，且λe 1＋μe 2＝0，那么λ2＋μ2＝________. 答案 0解析 解法一：假设λ≠0，那么由λe 1＋μe 2＝0得e 1＝－μλe 2，那么e 1，e 2共线，与e 1，e 2不共线矛盾，所以λ＝0，同理可得μ＝0，所以λ2＋μ2＝0.解法二：因为0e 1＋0e 2＝0，e 1，e 2不共线，又因为λe 1＋μe 2＝0，所以由平面向量基本定理得λ＝μ＝0，所以λ2＋μ2＝0.题型 一 平面向量基本定理及其应用1．如图，有5个全等的小正方形，BD →＝xAE →＋yAF →，那么x ＋y 的值是________．答案 1解析 由平面向量的运算可知BD→＝AD →－AB →，AD →＝2AE →，AB →＝AH →＋HB →＝2AF →－AE→，所以BD →＝AD →－AB →＝2AE →－(2AF →－AE →)＝3AE →－2AF →，注意到AE →，AF →不共线，且BD →＝xAE →＋yAF →，即xAE →＋yAF →＝3AE →－2AF →，所以x ＝3，y ＝－2，所以x ＋y ＝1.2．(2019·某某调研)如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，假设AE →＝mAB →＋AD →，那么实数m 的值为________．答案 13解析 由N 是OD 的中点，得AN→＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB→，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，又AB →与AD →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要注意运用平面几何的一些性质定理．2．运用平面向量基本定理时应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法那么或三角形法那么进行向量的加减运算或数乘运算．(3)利用“唯一性〞建立方程组．如举例说明2.1．如图，在△ABC 中，AN→＝13NC →，P 是BN 上的一点，假设AP →＝mAB →＋211AC →，那么实数m 的值为________．答案 311解析 设BP →＝λBN →，∵P 是BN 上的一点，AN →＝13NC →，那么AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋λBN → ＝AB→＋λ(AN →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAN → ＝(1－λ)AB→＋λ4AC →＝mAB →＋211AC →.∴m ＝1－λ，λ4＝211，解得λ＝811，m ＝311.2．(2019·某某模拟)在如下图的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，假设c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，那么xy 的值为________．答案 65解析 设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，那么向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ(x －y )＝1，λ(x －2y )＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，那么x y 的值为65.题型 二 平面向量的坐标运算1．点A (1,3)，B (4，－1)，那么与AB →同方向的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案 A解析 ∵AB→＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB→|＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.2．A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，→＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN→的坐标．解 由得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， 因为CM→＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， 所以M (0,20)，又因为→＝ON→－OC →＝－2b ， 所以ON→＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 所以N (9,2)．所以MN→＝(9，－18)．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法那么进行，假设有向线段两端点的坐标，那么应先求向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法那么．1．(2019·某某外国语学校模拟)点A (－1,1)，B (0,2)，假设向量AC →＝(－2,3)，那么向量BC→＝( ) A ．(3，－2)B ．(2，－2)C ．(－3，－2)D ．(－3,2)答案 D解析 由，得AB→＝OB →－OA →＝(1,1)，那么BC→＝AC →－AB →＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)． 2．a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，那么c 等于( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λa ＋μb .那么(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝－1，λ－μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，所以c ＝12a －32b .题型 三 平面向量共线的坐标表示角度1 利用向量共线求参数的值1．(1)(2018·全国卷Ⅲ)向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．假设c ∥(2a ＋b )，那么λ＝________；(2)平面内有三点A (0，－3)，B (3,3)，C (x ，－1)，且A ，B ，C 三点共线，那么x ＝________.答案 (1)12 (2)1解析 (1)由题意可得2a ＋b ＝(4,2)， ∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.(2)由题意知AB →＝(3,6)，BC →＝(x －3，－4)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →与BC→共线，所以3×(－4)－6(x －3)＝0，解得x ＝1. 角度2 向量共线综合问题2．(2019·某某某某一模)△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(sin B －sin A ，3a ＋c )，n ＝(sin C ，a ＋b )，且m ∥n ，那么B 的大小是( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3答案 B解析 因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )＝sin C (3a ＋c )． 由正弦定理得，(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32. 又0<B <π，所以B ＝5π6.1．平面向量共线的充要条件的两种形式(1)假设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.如举例说明1(1)．(2)假设a ∥b (b ≠0)，那么a ＝λb . 2．利用向量共线求参数值向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解．3．向量坐标运算解决综合问题的要点 (1)准确运用加、减、数乘的坐标运算法那么．(2)准确运用向量相等、向量共线、垂直的坐标运算形式，实现问题的转化． (3)准确运用三角恒等变换、不等式、方程等知识，解决综合问题．1．(2019·某某模拟)向量a ＝(sin2α，1)，b ＝(cos α，1)，假设a ∥b,0<α<π2，那么α＝________.答案 π6解析 因为a ∥b ，所以sin2α＝cos α，即cos α(2sin α－1)＝0，又0<α<π2，所以cos α>0，所以sin α＝12，解得α＝π6.2．向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，假设m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，那么mn ＝________.答案 －2解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，得m a －n b ＝(m ＋2n,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，由m a －n b 与2a ＋b 共线，可得7(m ＋2n )＝0，那么mn ＝－2.组 基础关1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，那么b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)答案 A解析 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，那么角A 的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos2A ＋3sin2A ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∵A ∈(0，π)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6，∴2A －π6＝π2，解得A ＝π3.3．(2019·某某模拟)点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，假设MN →＝－3a ，那么点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案 A解析 因为ON →＝OM →＋MN →＝OM →－3a ＝(5，－6)－3(1，－2)＝(2,0)，所以点N 的坐标为(2,0)．4．向量a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，假设a －2b ＋3c ＝0，那么c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43 答案 D解析 因为a －2b ＋3c ＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x ，y )＝(13＋3x,4＋3y )＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧13＋3x ＝0，4＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－133，y ＝－43，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43. 5．(2020·某某包钢一中月考)在平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，那么CO→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 答案 C解析 CO →＝－AO →＝－12(AB →＋AD →)＝－12[(－2,3)＋(3,7)]＝－12(1,10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5. 6．(2019·某某模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，假设p ∥q ，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 B解析 由题意得(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，故cos C ＝ab2ab ＝12，0°<C <180°，故C ＝60°. 7．(2019·某某模拟)如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE＝CD ，假设点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，那么λ＋μ＝()A ．3 B.52 C ．2D ．1答案 B解析 由题知AP →＝AB →＋BC →＋CP →＝AB →＋AD →－12AB →＝12AB →＋AD →，又λAB→＋μAE →＝λAB →＋μ(AD →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋μAD →.∴⎩⎨⎧ λ－μ＝12，μ＝1，∴⎩⎨⎧λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52，应选B.8．向量a ＝(1，λ)，b ＝(λ，2)，假设(a ＋b )∥(a －b )，那么λ＝________. 答案 ±2解析 a ＋b ＝(1＋λ，2＋λ)，a －b ＝(1－λ，λ－2)．因为(a ＋b )∥(a －b )，所以(1＋λ)(λ－2)＝(2＋λ)(1－λ)，解得λ＝±2.9．点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，假设AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在直线x－2y ＝0上，那么λ的值为________．答案 －23解析 设P (x ，y )，那么由AP→＝AB →＋λAC →，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.10．在△ABC 中，点M ，N 满足AM→＝2MC →，BN →＝NC →，假设MN →＝xAB →＋yAC →，那么x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 如图，在△ABC 中，MN→＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC →＝－23AC →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →，所以x ＝12，y ＝－16.组 能力关1．(2019·某某师大附中高考模拟)P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，那么P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}答案 A解析设a ＝(x ，y )，那么P ＝{(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝m ，m ∈R ，∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1，y ∈R }，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}，∴P ∩Q ＝{(1,1)}．应选A.2．(2019·某某师X 大学附中模拟)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，假设AO→＝λAB →＋μBC →，那么λ＋μ＝( )A ．1 B.12 C.13 D.23答案 D解析 在△ABD 中，BD ＝12AB ＝1.又BC ＝3，所以BD ＝13BC .∴AD →＝AB →＋BD →＝AB→＋13BC →.∵O 为AD 的中点，∴AO →＝12AD →＝12AB →＋16BC →，∵AO →＝λAB →＋μBC →，∴λ＝12，μ＝16，∴λ＋μ＝23.3．(2020·某某摸底)原点O 是△ABC 内一点，顶点A 在x 轴上，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，|OA→|＝2，|OB →|＝1，|OC →|＝3，假设OC →＝λOA →＋μOB →，那么μλ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 3答案 D解析 建立如下图的直角坐标系，那么A (2，0)， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332， 因为OC→＝λOA →＋μOB →，由向量相等的坐标表示可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2λ－3μ2＝－32，μ2＝－332，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝－33，即μλ＝ 3.4．(2019·某某省某某市武昌区高考数学模拟)点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且∠AOB ＝120°，假设OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，那么λ＋μ的取值X 围为( )A ．[－2,2]B ．(1，2]C ．[1，2]D ．[1,2]答案 D解析 设半径为1，由可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,0)，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，有OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，即(cos θ，sin θ)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＋μ(1,0)，整理得－12λ＋μ＝cos θ，32λ＝sin θ，解得λ＝2sin θ3，μ＝cos θ＋sin θ3，那么λ＋μ＝2sin θ3＋cos θ＋sin θ3＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤θ≤2π3，易知λ＋μ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2π3上单调递减，由单调性易得其值域为[1,2]． 5．梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，那么点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ， ∴DC→＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )， 那么DC→＝(4－x,2－y )，AB →＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 6．(2019·某某省马某某二中高考模拟)向量AC →＝(1，sin α－1)，BA →＝(3,1)，BD →＝(2，cos α)，假设B ，C ，D 三点共线，那么tan(2019π－α)＝________.答案 －2解析 ∵B ，C ，D 三点共线，∴BD→＝xBC →＝x (BA →＋AC →)，即(2，cos α)＝x (4，sin α)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧2＝4x ，cos α＝x sin α，得x ＝12，即cos α＝12sin α，得tan α＝2，那么tan(2019π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2.。