2024届江苏省南通市如皋中学高三下学期适应性月考卷(三)数学试题

一、单选题二、多选题1.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．2. 等差数列中的前n项和为，已知，，，则以下选项中最大的是（ ）A．B．C．D．3.已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.设函数的对称轴为，对称中心为，若的最小值记为s，的最小值记为t，且，则A ．或B．C ．或D．4. 已知，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知等腰梯形ABCD中，，，BC 的中点为E，则（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，，则A．B．C．D．7. 设函数，则下列判断正确的是（ ）A．函数的一条对称轴为B．函数在区间内单调递增C．，使D．，使得函数在其定义域内为偶函数8. 某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ）A ．240种B ．120种C ．156种D ．144种9.已知，，设，，则下列说法正确的是（ ）A ．M 有最小值，最小值为1B ．M有最大值，最大值为C ．N 没有最小值D ．N有最大值，最大值为10. 四个实数，2，x ，y 按照一定顺序可以构成等比数列，则xy 的可能取值有（ ）A．B．C．D．11. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同江苏省南通市新高考2024届高三适应性测试数学模拟试题(高频考点版)江苏省南通市新高考2024届高三适应性测试数学模拟试题(高频考点版)三、填空题四、解答题D ．两组样本数据的样本极差相同12. 已知拋物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ）A ．若为△的中线，则B ．若为的角平分线，则C ．存在直线，使得D ．对于任意直线，都有13. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．14. 已实数满足，则的取值范围是________．15. 若，设的零点分别为，，…，，则n ＝_______________；_______________．（其中为a 向上取整，例如：，）16. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并购买一定数量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄（单位：岁）分成6段：,,后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求在这40名读书者中年龄分布在的人数；(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.17. 已知函数，且，（1）求实数a ， b 的值；（2）求函数的最大值及取得最大值时的值．18. 在椭圆上任取一点（不为长轴端点），连结、，并延长与椭圆分别交于点、两点，已知的周长为8，面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设坐标原点为，当不是椭圆的顶点时，直线和直线的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.19.如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.（1）证明：；（2）若三棱柱的体积为，求二面角的余弦值.20. 已知火龙果的甜度一般在11~20度之间，现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了100个火龙果，根据水果甜度（单位：度）进行分组，若按，，，，，，，，分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示，若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”．甜度频581210161418125数新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表(1)设两种施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，以样本估计总体，求事件的概率．(2)根据上述样本数据，列出列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关？(3)以样本估计总体，若从旧施肥方法下的100个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取2个，设“超甜果”的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．附：0.0250.0100.0055.0246.6357.879，其中．21. 在四棱锥中，侧面底面.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.。

如皋市2024年高考适应性考试（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.2sin12π的值为（ ）A.12 B.12 C.14D.342.已知复数z 满足234i z =-+，则z =（ ）A.32B.5D.23.若()()()231021001210111x x x a a x a x a x ++++++=++++，则2a 等于（ ）A.49B.55C.120D.1654.已知()f x 对于任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=⋅，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭则()4f =（ ） A.4B.8C.64D.2565.已知函数cos y x x ωω=+（0ω>）在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为（ ） A.14B.12 C.1211D.836.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（ ） A.15B.25C.30D.357.已知曲线221:420C x y x y +-+=与曲线()22:C f x x =在第一象限交于点A ，在A 处两条曲线的切线倾斜角分别为α，β，则（ ） A.2παβ+=B.2παβ-=C.3παβ+=D.4παβ-=8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别为棱BC ，CD ，1CC 的中点，平面PQR 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得的截面面积为（ ）A.53π B.83π C.353π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.已知向量a 在向量b方向上的投影向量为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，向量()1,3b =，且a 与b 夹角6π，则向量a 可以为（ ） A.()0,2B.()2,0C.(D.)10.已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，上，下两个顶点分别为1B ，2B ，11B F 的延长线交C 于A ，且11112AF B F =，则（ ） A.椭圆C 的离心率为3B.直线1ABC.12AB F △为等腰三角形D.21:AB AB =11.某农科所针对耕种深度x （单位：cm ）与水稻每公顷产量（单位：t ）的关系进行研究，所得部分数据如下表：已知m n <，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程：y bx a =+，621510ii y==∑，()62124i i y y=-=∑，数据在样本()12,m ，()14,n 的残差分别为1ε，2ε.（参考数据：两个变量x ，y 之间的相关系数r ，参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a yb x =-⋅，()()niix x y y r --=∑）则（ ）A.17m n +=B.47b =C.107a = D.121εε+=-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()32f x x x =-，当0h →时，()()11f h f h+-→_________.13.已知二面角l αβ--为直二面角，A α∈，B β∈，A l ∉，B l ∉，则AB 与α，β所成的角分别为6π，4π，AB 与l 所成的角为___________. 14.已知抛物线2:4C y x =，过点()4,0的直线与抛物线交于A ，B 两点，则线段AB 中点M 的轨迹方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程.15.（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2112n n S a n -=+，*n ∈N .（1）求1a ，2a ，并证明：数列{}1n n a a ++是等差数列； （2）求20S .16.（本小题满分15分）已知函数()ln f x x ax =-，()2g x ax=，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >且()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值.17.（本小题满分15分）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.（1）从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？（2）某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？18.（本小题满分17分）已知三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是边长为2的正三角形，G 为1A BC △的重心，1160A AB A AC ∠=∠=︒.（1）求证：1B B BC ⊥；（2）已知12A A =，P ∈平面ABC ，且1C P ⊥平面1A BC . ①求证：1AG C P ∥；②求1A P 与平面1A BC 所成角的正弦值.19.（本小题满分17分）已知双曲线E 的渐近线为y x =，左顶点为()A . （1）求双曲线E 的方程；（2）直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上， ①求D 的横坐标； ②求圆P 面积的最小值.【参考答案】一、单选题1.A2.C3.D4.D5.B6.B7.A8.A二、多选题9.AD 10.ACD 11.ABD三、填空题12.113.3π 14.()224y x =-四、解答题15.（1）当1n =时，由条件得11122a a -=，所以14a =. 当2n =时，由条件得()122152a a a +-=，所以22a =.因为2112n n S a n -=+，所以()2111112n n S a n ---=-+（2n ≥），两式相减得：1112122n n n a a a n --+=-，即142n n a a n -+=-，所以()()()()11412424n n n n a a a a n n +-+-+=+---=⎡⎤⎣⎦， 从而数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）由（1）知142n n a a n -+=-，与（1）类似，可证：12a a +，34a a +，…，1920a a +成等差数列， 所以()()()2012341920S a a a a a a =++++++()()()()1067842244242024202+=⨯-+⨯-++⨯-==. 16.（1）()11ax f x a x x-'=-=（0a ≠）， 当0a <时，由于0x >，所以()0f x '>恒成立，从而()f x 在()0,+∞上递增； 当0a >时，10x a <<，()0f x '>；1x a>，()0f x '<， 从而()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减.（2）令()()()2ln h x f x g x x ax ax=-=--，要使()()f x g x ≤恒成立， 只要使()0h x ≤恒成立，也只要使()max 0h x ≤.()()()221212ax ax h x a x ax ax -+-'=-+=， 由于0a >，0x >，所以10ax +>恒成立，当20x a <<时，()0h x '>，当2x a<<+∞时，()0h x '<，所以2x a =，()max 22ln 30h x h a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭≤，解得：32a e ≥，所以a 的最小值为32e. 17.（1）法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为13C ； 再选出副队长，方法数也是13C ，故共有方法数为11339C C ⨯=（种）. 方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为244312A =⨯=（种）； 若甲任队长，方法数为13C ，故甲不担任队长的选法种数为1239-=（种）答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.（2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：161347798⨯⨯=.②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为17，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为321347798⨯⨯=.所以，前三次传球中满足题意的概率为：333989849+=. 答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是349.18.（1）连1AG 交BC 于D ，连AD . 由于G 为1A BC △的重心，所以D 为BC 的中点.在三棱柱111ABC A B C -中，因为AB AC =，11A A A A =，11A AB A AC ∠=∠，所以11A AB A AC △≌△，从而11A B AC =.由于D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，1A D BC ⊥，又1ADA D D =，所以BC ⊥平面1A AD ，因为1A A ⊂平面1A AD ，所以1BC A A ⊥，因为11A A B B ∥，所以1BC B B ⊥.（2）①∵12A A AB ==，160A AB ∠=︒，∴1A AB △为正三角形；同理，1A AC △也为正三角形，∴112A B AC BC ===，从而三棱锥1A A BC -的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 由于G 为1A BC △的重心，∴AG ⊥平面1A BC ，又1C P ⊥平面1A BC ，所以1AG C P ∥.②设ABC △的重心为O ，O AD ∈，且:2:1AO OD =，在平面ABC 内，过O 作OE BC ∥，连1AO ，则1AO ⊥平面ABC . 以O 为原点，以OA ，OE ，1OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.1AO ===所以A ⎫⎪⎪⎝⎭，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1A ⎛ ⎝⎭，()111111,0OC OA AC OA AC ⎛⎛=+=+=+-=- ⎝⎭⎝⎭，所以11,3C ⎛- ⎝⎭. 设(),,G x y z ，1A P 与平面1A BC 所成的角为θ，则()1,,0,0,1,0333399x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=+-+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以99AG ⎛=- ⎝⎭，因为P ∈平面ABC ，所以设(),,0P x y ，由①知：1C P AG ∥，从而存在实数λ，使1C P AG λ=，所以1,x y λ⎛⎛++= ⎝⎭⎝⎭，解得：3λ=-，1y =-，x =，从而1,03P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.(151,5,33A P ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭∥，令(5,3,a =--，(99AG ⎛=-- ⎝⎭∥，令(n =-，(5sina n a nθ⨯-⋅===⋅19.（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：by x a=±，由题条件知：3b a =.因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，双曲线的方程为：2213x y -=.（2）①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得：()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()221230t m ∆=+->时，设()11,B xy ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 得倾斜角为α，不妨设02πα<<，则2AGH πα∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为2πα-，sin sin 2tan tan 12cos cos 2AG OHk k παπαααπαα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则2y t y=2y t H t ⎛⎫+ ⎝， 所以2OH y t k+=，又AGABkk==21y t=，((1212t y y t x x ⇒=+，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y y t my t myt =+++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=++++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅++⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t+-=，解得：t =4t =. 故点D 的坐标为4⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ②(:tan AG y x α=⋅+，由①知：t =，所以tan G α⎫⎪⎪⎝⎭. 1:tan OH yx α=，所以H ⎝⎭， 若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>tan α> 若G ，H 在x 轴下方时，即tan 0α<时，tan 44tan αα<，所以tan 5α>或tan 5α<-. 又直线AG 与渐近线不平行，所以tan 3α≠±所以0απ<<，tan 5α>或tan 5α<且tan 3α≠±.因为OG == 设圆P 的半径为R ，面积为S ，则42sin sin OGR αα==， 所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯ ()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭≥， 当且仅当22125tan tan αα=即tan 5α=±时，上述不等式取等号，tan α>或tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而2716S π>且74S π≠.【参考答案】一、单选题1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A二、多选题9.AD 10.ACD 11.ABD 三、填空题12.113.3π14.22(4)y x =-四、解答题15．（1）当1n =时，由条件得11122a a -=，所以14a =.当2n =时，由条件得1221()52a a a +-=，所以22a =.⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分因为2112n n S a n -=+，所以2111(1)1(2)2n n S a n n ---=-+≥，⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分两式相减得：1112122n n n a a a n --+=-，即142n n a a n -+=-，⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分所以11()()[4(1)2](424n n n n a a a a n n +-+-+=+---=），从而数列{}1n n a a ++为等差数列.⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分（2）由（1）知142n n a a n -+=-，与（1）类似，可证：12341920,,,a a a a a a ++⋅⋅⋅+成等差数列，⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分所以2012341920()()()S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++(422)(442)(4202)10(678)420.2=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅13分16.（1）11'()0)ax f x a a xx -=-=≠（，⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分当0a <时，由于0x >，所以'()0f x >恒成立，从而()f x 在(0,)+∞上递增；⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分当0a >时，10x a <<，'()0f x >；1x a>，'()0f x <，从而(f x ）在10)a（，上递增，在1(,)a+∞递减.⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）令2()()()ln h x f x g x x ax ax=-=--，要使()()f x g x ≤恒成立，只要使()0h x ≤恒成立，也只要使max ()0h x ≤.⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分2212(1)(2)'(ax ax h x a x ax ax -+-=-+=），⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分由于0a >，0x >，所以10ax +>恒成立，当20x a<<时，'()0h x >，当2x a <<+∞时，'()0h x <，所以2x a=，max 22()()ln 30h x h a a ==-≤，⋅⋅⋅⋅⋅⋅13分解得：32a e≥，所以a 的最小值为32e .⋅⋅⋅⋅⋅⋅15分17.（1）法一先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为13C ;⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分再选出副队长，方法数也是13C ,故共有方法数为11339C C ⨯=(种).⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为244312A =⨯=（种）；⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分若甲任队长，方法数为13C ，故甲不担任队长的选法种数为1239-=（种）⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：161347798⨯⨯=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为17，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为321347798⨯⨯=.所以，前三次传球中满足题意的概率为：333989849+=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅14分答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是3.49⋅⋅⋅⋅⋅⋅15分18.（1）连1A G 交BC 于D ，连AD .由于G 为1A BC ∆的重心，所以D 为BC 的中点.在三棱柱111ABC A B C -中，因为1111,,AB AC A A A A A AB A AC ==∠=∠,所以11A AB A AC ∆≅∆,从而11A B AC =.⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分由于D 为BC 的中点，所以1,AD BC A D BC ⊥⊥,又1AD A D D = ，所以BC ⊥平面1A AD ,因为1A A ⊂平面1A AD ，所以1BC A A ⊥,因为11//A A B B ,所以1BC B B ⊥.⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(2)①0112,60A A AB A AB ==∠= ,1A AB ∴∆为正三角形；同理，1A AC ∆也为正三角形，112A B AC BC ∴===，从而三棱锥1A A BC -的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分由于G 为1A BC ∆的重心，AG ∴⊥平面1A BC ，又1C P ⊥平面1A BC ,所以1//AG C P .⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分②设ABC ∆的重心为O ，,O AD ∈且:2:1AO OD =，在平面ABC 内，过O 作//OE BC ,连1A O ，则1AO ⊥平面ABC .以O 为原点，以1,,OA OE OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.1263A O ===，所以1233326(((,1,0),(0,0,)3333A B C A ---，11111(0,0,)(1,0)(1,)33OC OA A C OA AC =+=+=+-=-- ,所以1(1,)3C -.⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分设(,,)G x y z ，1A P与平面1A BC 所成的角为θ，则1(,,)((1,0)](3x y z =++--=-，所以8326099AG =-（，），⋅⋅⋅⋅⋅⋅13分因为P ∈平面ABC ，所以设(,,0)P x y ，由①知：1//C P AG，从而存在实数λ，使1C P AG λ=，所以(1,)(,0,)399x y λ++-=-，解得：3,1,3y x λ=-=-=，从而1,0)P -.11,//(5,A P =-- ，令(5,a =- ，()//(99AG =--，令(n =- ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅15分sin θa na n ⋅=⋅3==.⋅⋅⋅⋅⋅⋅17分19.（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，从而渐近线方程为：by x a=±，由题条件知：3b a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分因为双曲线的左顶点为(A，所以a =1b =，双曲线的方程为：2213x y -=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（2）①(,0)D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得：222(3)230m y mty t -++-=，当230m -≠且2212(3)0t m ∆=+->时，设1122(,),(,)B x y C x y ，则12223mty y m +=--，212233t y y m -=-.⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分设直线AG 得倾斜角为α，不妨设02πα<<，则2AGH πα∠=-，由于,,,O A G H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为2πα-，sin()sin 2tan tan 12cos cos()2AG OHk k παπαααπαα-⋅=⋅-=⨯=-（）.⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分直线AC的方程为：y x =+，令,x t =则y =(H t ，所以OH k =，又AG AB k k ==1=，1212((t y y t x x ⇒+=++，⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分又1122,x my t x my t =+=+代入上式得：1212((t y y t my t my t +=++++，22121212([()(]t y y t m y y m t y y t ⇒+=+++++，2222222332((((]333t t mt t t m m t t m m m ---⇒⋅=⋅+⋅++---，化简得：2430t +-=，解得：t =t =.故点D 的坐标为304（，）.⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分②tan (AG y x α=⋅+：，由①知：4t =，所以(tan )44G α.:OH 1tan y x α=，所以()44tan H α，若,G H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0αα>>；若,G H 在x 轴下方时，即tan 0αα<<tan tan αα><又直线AG 与渐近线不平行，所以3tan 3α≠±.所以0,tan tan 55απαα<<><或且tan 3α≠±.⋅⋅⋅⋅⋅⋅14分因为OG ==，设圆P 的半径为R ，面积为S 则42sin sin OGR αα==，所以2223(125tan )64sin R αα+⋅=⨯22221(125tan )(sin cos )64sin αααα++=⨯222223(125tan )(1tan )31(25tan 26)64tan 64tan ααααα++=⨯=++326)64≥+2716=，当且仅当22125tan tan αα=即tan 5α=±时，上述不等式取等号，tan tan 55αα><-且tan 3α≠.所以22277164R R >≠且，从而277164S S ππ>≠且.⋅⋅⋅⋅⋅⋅17分。

2023-2024学年江苏省南通市高三下学期阶段检测数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}3,4,23,A a B a =-=，若A B ⋂≠∅，则=a （）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【分析】根据交集结果得到3a =，4a =或23a a =-，检验后得到答案.【详解】因为A B ⋂≠∅，所以3a =，4a =或23a a =-，当3a =时，233a -=，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当23a a =-时，3a =，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当4a =时，235a -=，满足集合元素互异性，满足要求.故选：B2．若复数z 是210x x ++=的根，则z =（）A B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】结合一元二次方程的求根公式及复数的模的运算公式即可求得结果.【详解】∵210x x ++=，∴由求根公式得：1122x --==，即：12z -=，∴当12z =-时，||1z ==，当1322z =--时，||1z =.综述.||1z =故选：B.3．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A ．70e B ．70C ．35e D ．35【正确答案】C【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心()x z ，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.【详解】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C4．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列{}n a ，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是（）A ．第3层的塔数为3B ．第4层与第5层的塔数相等C ．第6层的塔数为9D ．等差数列{}n a 的公差为2【正确答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，分1d =，3d ≥和2d =三种情况讨论，结合等差数列的前n 项和公式分析得d 的值，从而得12层的塔数，判断每个选项即可得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，若1d =，则这10层的塔数之和为109101552⨯⨯+=，则最多有55101075++=座塔，不符合题意；若3d ≥，则这10层的塔数之和不少于101⨯10931082⨯+⨯>，不符合题意；所以2d =，这10层的塔数之和为10910121002⨯⨯+⨯=，塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，依题意剩下2层的塔数为3与5，所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，因此A ，B ，D 正确，C 错误．故选：C.5．若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++ ，则()139923a a a +++- 被8整除的余数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】B【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和=1x -，两个式子相减，得到()135992a a a a ++++ 的值，将()1359923a a a a ++++- 构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得1000121003a a a a ++++= ，取=1x -得0121001a a a a -+-+= ，两式相减得100135992()31a a a a +++=- ，即()100135992334a a a a ++++-=- ，因为()50100503494814-=-=+-0501495010505050505088884r r C C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅+- 0501495015050505088883r r C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅- 05014950150505050888885,Nr r C C C C r -=⋅+⋅++⋅++⋅-+∈ 因为0501495015050505088888r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅- 能被8整除，所以05014950150505050888885r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅-+ 被8整除的余数为5，即()1359923a a a a ++++- 被8整除的余数为5，故选：B.6．如图，正方形ABCD 的边长为2,P 是正方形ABCD 的内切圆上任意一点，(),AP AB AD λμλμ=+∈R，则下列结论错误的是（）A ．AP AB ⋅的最大值为4B ．λμ-的最大值为22C ．AP BD ⋅的最大值为2D ．λμ+的最大值为212+【正确答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求向量,,,AP AB AD BD的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质判断AC ，由向量相等求,λμ，结合三角函数性质求λμ+，λμ-的最值.【详解】以A 为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则()2,0B ，()0,2D ，内切圆的方程为()()22111x y -+-=，可设()1cos ,1sin P θθ++，则()()1cos ,1sin ,2,0AP AB θθ=++=，()2,2BD =- ，所以22cos 4AP AB θ⋅=+≤，当0θ=，即P 为BC 的中点时取等号，所以AP AB ⋅的最大值为4，A 正确；因为22cos 22sin 2sin 2cos 224AP BD πθθθθθ⎛⎫⋅=--++=-=- ⎪⎝⎭ ，所以2224AP BD πθ⎛⎫⋅=-≤ ⎪⎝⎭ ，当3π4θ=，即221,122P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时等号成立，所以AP BD ⋅的最大值为22C 错误，由AP AB AD λμ=+，可得()()()()1cos ,1sin 2,00,22,2θθλμλμ++=+=，得()11cos 2λθ=+，()11sin 2μθ=+，2πcos 24λμθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，2π1sin 24λμθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当π4θ=-，即1P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，所以所以λμ-的最大值为2，B 正确，当π4θ=，即122P ⎛++ ⎝⎭时，所以所以λμ+的最大值为1+D 正确，故选：C.7．对于两个函数()11e 2t h t t -⎛⎫=> ⎪⎝⎭与()()1ln 2122g t t t ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为21,t t ，则12t t -的最小值为（）A ．-1B ．1ln3-C ．ln2-D ．12ln2-【正确答案】C【分析】设()()21h t g t m ==，则()()2212111e 11ln e ln 222m m t t m m ---=+-+=--，构造函数()211e ln 22x f x x -=--，应用导数求函数单调性求出最小值即可.【详解】设()()21h t g t m ==，则21ln t m =+，()211e 12m t -=+，由12t >，得12e m ->，则()()2212111e 11ln e ln 222m m t t m m ---=+-+=--，12e m ->，设函数()211e ln 22x f x x -=--，12e x ->，则()211e 2xf x x-=-'，因为函数211e 2,x y x y -==-在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上都是增函数，所以()f x '在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，又()20f '=，所以当12e x -<2<时，()0f x '<，()f x 单调递减,当2x >时，()0f x ¢>,()f x 单调递增，故()()min 2ln2f x f ==-，即12t t -的最小值为ln 2-.故选：C.关键点点睛：设()()21h t g t m ==，则21ln t m =+，()211e 12m t -=+，求得()()2212111e 11ln e ln 222m m t t m m ---=+-+=--是解决本题得关键.8．人教A 版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数1y x x=+的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数12y x x=+的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C ，则该双曲线C 的离心率是（）AB C ．10-D 【正确答案】D【分析】首先确定12y x x=+的两条渐近线分别为2,0y x x ==，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线:l y kx =且2k >，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.【详解】由12y x x=+的两条渐近线分别为2,0y x x ==，所以该函数对应的双曲线焦点在2,0y x x ==夹角（锐角）的角平分线l 上，设:l y kx =且2k >，若,αβ分别是y kx =，2y x =的倾斜角，故tan ,tan 2k αβ==，故αβ-为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，由π1tan()tan()2tan αβαα-=-=，即tan tan 21tan()1tan tan 12k k k αβαβαβ---===++，整理得2410k k --=，可得2k =，所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C 一条渐近线斜率为2b a ==，故e =.故选：D关键点点睛：求出12y x x=+的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键.二、多选题9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A ．该平台女性主播占比的估计值为0.4B ．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C ．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D ．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6【正确答案】AC【分析】A 选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B 选项，在A 选项基础上，求出相应的概率；C 选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D 选项，设出事件，利用条件概率公式求出答案.【详解】A 选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为30010%30⨯=，青年人人数为30060%180⨯=，中年人人数为()300110%60%90⨯--=，由图2可以看出青年人中女性人数为1804072⨯%=，中年人中女性人数为9030%27⨯=，其他人群中，女性人数为3070%21⨯=，故该平台女性主播占比的估计值为7227210.4300++=，A 正确；B 选项，中年人中男性人数为9070%63⨯=，故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为630.21300=，B 错误；C 选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为6:3:1，故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取3206631⨯=++名，C 正确；D 选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件A ，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件B ，则()180n A =，()72n AB =，()()()720.4180n AB P B A n A ===，D 错误.故选：AC10．我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽象成如图2的四棱锥P ABCD -，如果AC BD ⊥于点O ，OA OC OD ==，PC BD ⊥，下列说法正确的是（）A ．ACD 是等腰直角三角形B ．平面PAC ⊥平面ABCDC ．PO ⊥平面ABCD D ．P 到AB ，BC ，CD ，DA 距离均相等【正确答案】AB【分析】依题意可得45ODC ODA ∠=∠=︒且AD DC =，即可判断A ，由AC BD ⊥，PC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面PAC ，即可判断B ，过点P 作PH AC ⊥于点H ，由面面垂直的性质得到PH ⊥平面ABCD ，再利用反例说明C 、D.【详解】因为AC BD ⊥且OA OC OD ==，所以ODC 与ODA V 均为等腰直角三角形，且ODC ODA ≌，所以45ODC ODA ∠=∠=︒，且AD DC =，则90ADC ∠=︒，所以ACD 是等腰直角三角形，故A 正确；因为AC BD ⊥，PC BD ⊥，AC PC C = ，,AC PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，故B 正确；过点P 作PH AC ⊥于点H ，因为平面PAC ⊥平面ABCD ，PH ⊂平面PAC ，所以PH ⊥平面ABCD ，若AP PC ≠，则H 不为O 点，此时PO ⊥平面ABCD 不成立，故C 错误；设H 点到AB ，BC ，CD ，DA 的距离分别为1d 、2d 、3d 、4d ，若P 到AB ，BC ，CD ，DA 距离均相等，则222222221234d PH d PH d PH d PH +=+=+=+，则1234d d d d ===，故点H 为DAB ∠与DCB ∠的角平分线的交点，当AD AB ≠时H 不在DAB ∠的平分线上，故D 错误.故选：AB11．数列{}n a 满足112a =，()*1120N n n n n a a a a n ++--=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*2N 31n n b S n ∈-=，则下列正确的是（）A ．{}12023n a ∈B ．数列1n n b a ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和123322n n C n n +=+-+C ．数列{}1n n a a +的前n 项和14n T <D ．1110121210193322b b b a a a ⨯+++=+ 【正确答案】BCD【分析】求得数列{}n a 的通项公式判断选项A ；求得数列1n n b a ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项判断选项B ；求得数列{}1n n a a +的前n 项和，进而判断选项C ；求得数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A 进而判断选项D.【详解】由1120n n n n a a a a ++--=，有1112n n a a +-=，又112a =所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列，则12nn a =，则12n a n=，则{}12023n a ∉，A 错误；由213n n b S -=，可得111221=33b S b -=，解之得13b =又2n ≥时，11213n n b S ---=，则123n n n b b b --=，整理得13n n b b -=则数列{}n b 是首项为3公比为3的等比数列，则()3n n b n *=∈N ，则数列1n n b a ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()2234323n n C n =-+-++- ()()122(22)3(13)3324233321322n n nn n n n n ++-=++-+++=-=+-+- ，B 正确；11111()4(1)41n n a a n n n n +==-++，则数列{}1n n a a +的前n 项和11111111111(1(1)4223341414n T n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-<++，C 正确；设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A ，则2234323n n A n =⨯+⨯++⋅ ，2313234323n n A n +=⨯+⨯++⋅ ，两式相减得()23122323232323n n n A n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ 整理得()1213322n n n A +-=+，则当10n =时，1110193322A ⨯=+，D 正确.故选：BCD.12．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点00(,)M x y ，且M 为AB 的中点．（）A ．当01y =时，AB 的斜率为2B ．当02y =时，8AB =C ．当=5r 时，符合条件的直线l 有两条D ．当3r =时，符合条件的直线l 有四条【正确答案】ABD【分析】由点差法得02y k =，由此判断AB 正确；当AB 的斜率k 不存在时判断是否符合要求，当AB 的斜率k 存在时,由直线与圆切于M 得M 必在直线3x =上，根据给定的r 求出M 位置，根据M 是否在抛物线内部判断CD 是否正确.【详解】如图,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,M x y ,则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,两式相减得,()()()1212124y y y y x x +-=-.当AB 的斜率k 存在时,12x x ≠，则有12121222y y y y x x +-⋅=-,又1202y y y +=,所以02y k =.当01y =时，2k =，故A 正确；由CM AB ⊥,得00015y k x -⋅=--,即005y k x =-,因此0025,3x x =-=,即M 必在直线3x =上.当02y =时，1k =，点()3,2M ，直线AB 的方程为1y x =-，恰好过抛物线焦点()1,0，故1202228AB x x x =++=+=，故B 正确；将3x =代入24y x =,得212y =,由M 在抛物线内部得2012y <，因为点M 在圆上,所以()222005x y r -+=,当=5r 时，()225532y -+=，解得2021y =，与2012y <矛盾，此时AB 的斜率为k 的直线不存在，当AB 的斜率k 不存在时,符合条件的直线只有一条，故C 错误；当3r =时，()22953y -+=，解得205y =，符合2012y <，此时AB 的斜率为k 的直线有两条.当AB 的斜率k 不存在时,符合条件的直线也有两条，故D 正确；故选：ABD关键点点睛：不要遗漏判断斜率不存在时的直线是否符合要求.当斜率存在时，先确定点M 一定在直线3x =上，再用点M 一定在抛物线内部判断给定的r 是否符合要求.三、填空题13．定义在R 上的非常数函数()f x 满足：()()f x f x -=，且()()20f x f x -+=.请写出符合条件的一个函数的解析式()f x =______.【正确答案】πcos2y x =（答案不唯一）【分析】根据已知()()f x f x -=，且()()20f x f x -+=得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.【详解】因为()()20f x f x -+=.得出对称中心()10，，且()()f x f x -=得出对称轴为y 轴，且周期为4的函数都可以.故πcos2y x =14．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____________（用数字作答）．【正确答案】210【详解】对于6个台阶上每一个只站一人，有36120A =种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有123690C A =种，所以不同的站法种数是12090210+=种．故210．四、双空题15．若函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上具有单调性，且2π9x =为()f x 的一个零点，则()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递__________（填增或减），函数()lg y f x x =-的零点个数为__________．【正确答案】增9【分析】根据函数()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上具有单调性，限定周期的范围，得出ω的范围，再由函数的零点得出关于ω的等式，结合这两个条件求出ω的值，再数形结合得出结果.【详解】因为()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上具有单调性，所以ππ1862T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即2ππ9ω≤，902ω<≤．又因为2π2ππsin 0993f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2πππ93k k ω+=∈Z ，即()9322k k ω=-∈Z ，只有1k =，3ω=符合要求，此时()πsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,618x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ3,362x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在ππ,618⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．因为()πsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值为1，而lg101=，73π10π2<<，作出函数()y f x =与lg y x =的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数()lg y f x x =-的零点个数为9．故增；9.五、填空题16．若曲线||y x a =-上恰有四个不同的点(1,2,3,4)i A i =到直线14x =-及点1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离都相等，则实数a 的一个值可以是______．【正确答案】15-（填写区间1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭内的任一实数均可）【分析】先求到直线14x =-和点1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离相等的点的轨迹方程，再由其与曲线||y x a =-有四个交点求出a 的范围，由此可得结论.【详解】到直线14x =-及点1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离都相等的点的轨迹为以14x =-为准线以1,04D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点的抛物线，设其方程为22y px =，则12p =，所以2y x =．由||y x a =-，得()y x a x a =-≥或()y a x x a =-≥．由已知曲线2y x =与曲线||y x a =-有四个交点，因为()y x a x a =-≥与()y a x x a =-≥关于x 轴对称，抛物线2y x =关于x 轴对称，所以曲线2y x =与射线()y x a x a =-≥有两个位于x 轴上方的交点，由2,,y x a y x =-⎧⎨=⎩得20y y a --=，所以20y y a --=有两个正根，所以140a ∆=+>，且0a ->故满足题意的实数a 的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭．故15-（填写区间1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭内的任一实数均可）六、解答题17．在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1,2,3,4，现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，它们的标号分别为,x y ，记x y ξ=-.(1)求()1P ξ=；(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.【正确答案】(1)38(2)分布列见解析，()54ξ=E 【详解】（1）随机试验从盒子中有放回地先后摸出两个小球的样本空间为：()()()()()()()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,()()()()}4,1,4,2,4,3,4,4，共16个样本点，其中事件1ξ=包含下列样本点：()()()()()(){}1,2,2,1,2,3,3,2,3,4,4,3，共6个样本点，所以()631168P ξ===；（2）ξ的所有取值为0,1,2,3.()()()()416341210,1,2,3164168164168P P P P ξξξξ============.则随机变量ξ的分布列为ξ0123P14381418ξ的数学期望()13115012348484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.18．在ABC中，三内角为A B C ､､.若)()(),sin ,cos ,1,1a A A b B c ===-.(1)若1a c ⋅=，求角A 的大小；(2)若a b，求当A B -取最大时，A 的值.【正确答案】(1)π6A =；(2)π3A =.【分析】(1)根据向量的数量积的坐标运算,再利用辅助角公式即可求解；(2)根据向量平行的坐标运算，再利用正切的和差公式以及基本不等式，即可求解.【详解】（1）因为πsin 2cos 16a c A A A ⎛⎫⋅=-=+= ⎪⎝⎭ ，则π1cos 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为()0,πA ∈，则ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ63A +=，则π6A=；（2）因为a bsin cos A B A B =⋅，则tan 3tan A B =.由于A B ､为三角形内角，则A B ､只能均为锐角，即tan0tan 0A ,B >>.()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan A B BA B A B BB B--===≤+⋅++，当且仅当13tan tan B B=时，6B π=取“=”号.又ππ,22A B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则A B -的最大值为π6，此时π3A =.所以，当A B -的最大时，π3A =.19．如图，在长方形1111ABCD A B C D -中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点，且AE EBλ=.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角1D EC D --的大小为4π，求λ的值.【正确答案】（1）证明见解析；（21-.【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，得()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0D A B ()()()110,2,0,1,0,1,1,2,1C A B ,()10,0,1D ，可得()1121,,1,1,0,11D E A D λλ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭，求两个向量的数得积，由向量垂直的充要条件可知两向量垂直；（2）由题意求得平面DEC 的法向量为()10,0,1n = ，可求得平面1D CE 的法向量为2n的一个解为22,1,21λλ⎛⎫-⎪+⎝⎭，然后利用面面角的向量求法即得.【详解】（1）以D 为原点,DA 为x 轴DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨设11,2AD AA AB ===,则()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0D A B ，()()()110,2,0,1,0,1,1,2,1C A B ,()10,0,1D ，2,1,,01AE E EB λλλ⎛⎫=∴ ⎪+⎝⎭ ，于是()1121,,1,1,0,11D E A D λλ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭ ，()1121,,11,0,101D E A D λλ⎛⎫∴⋅=-⋅--= ⎪+⎝⎭，故11D E A D ⊥；（2）1D D ⊥ 平面ABCD ，∴平面DEC 的法向量为()10,0,1n =，又()121,2,0,0,2,11CE CD λλ⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭.设平面1D CE 的法向量为()2,,n x y z =u u r，则221220,201n CE x y n CD y z λλ⎛⎫⋅=+-=⋅=-+= ⎪+⎝⎭，所以向量2n 的一个解为22,1,21λλ⎛⎫-⎪+⎝⎭.因为二面角1D EC D --的大小为π4，则1212n n n n ⋅=解得1λ=.又因E 是棱AB 上的一点，所以0λ>，故所求的λ1.易错点晴：求二面角大小的常用方法（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．本题难度中等.20．设数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且对任意的r ，*t ∈N ，都有2r t S r S t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.数列{}n b 满足，13b =，()1*2,n n b b S n n -=≥∈N (1)求证：数列{}3log n b 为等比数列；(2)求121nk n k kb T b -==-∑.【正确答案】(1)证明见解析(2)1211231---n 【分析】（1）先用赋值法，得到2n S n =，根据题意可得21n n b b -=，可证明{}3log n b 为等比数列.（2）由题意2112211=13131k k k k b b -------，可用裂项相消法求n T .【详解】（1）令1t =，r n =，则2r t S r S t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得21n S n S =，即2n S n =.依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==，于是()2*33131log log 2log 2,n n n b b b n n --==≥∈N ，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）得113log 122n n n b --=⨯=，所以()12*3n n b n -=∈N .于是()()()22121222222221231131113131313131k k k k k k k k k b b --------+-===-----+-.所以21112222111112313131k k n nnk n k k k k b T b ----==⎛⎫==-=- ⎪----⎝⎭∑∑.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()()122,0,2,0A A -.过点()1,0D 的直线交椭圆于,M N 两点，直线1A M 与2NA 的交点为G.(1)当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点12,P P 使得1PMN △和2P MN 的面积为S ，求S 的取值范围；(2)求证：点G 在一条定直线上.【正确答案】(1)4455S +<<(2)证明见解析【分析】（1）由条件先求椭圆方程，再联立方程组求弦MN 的长，求与直线MN 的切线方程，由条件确定面积的范围；（2）联立直线1A M 与椭圆方程求点M 的坐标，联立直线2A N 与椭圆方程求点N 的坐标，根据,,M D N 三点共线证明213k k =，再求点G 的坐标，由此完成证明.【详解】（1）由题设可知2a =.因为e =c a =c =又因为222431b a c =-=-=，所以1b =.椭圆的方程为2214x y +=，直线MN 的方程为1y x =-.设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，可得2580x x -=，解得1280,5x x ==.将1280,5x x ==，代入直线MN 的方程，解得1231,5y y =-=.所以MN =设与直线MN 平行的直线m 方程为y x λ=+.联立方程组2214x y y x λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得2258440x x λλ++-=，若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足()226420440λλ∆=--=，解得λ=.当直线m 为y x =时，直线l 与m之间的距离为1d =当直线m 为y x =l 与m之间的距离为2d ==设点C 到MN 的距离为d ，要使CMN 的面积为S 的点C 恰有两个，则需满足12dd d <<d <<因为12S d MN=⋅=，所以4455S <<.（2）设直线1A M 的方程为()12y k x =+，直线2A N 的方程为()22y k x =-.联立方程组()221142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222211114161640k x k x k +++-=，所以2121164214Mk x k --=+，所以21212814M k x k -=+，代入()12y k x =+可得1214,14M k y k =+解得点M 的坐标为2112211284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.同理，可解得点N 的坐标为2222222824,1414k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.由,,M D N 三点共线，有122212221222124414142882111414k k k k k k k k -++=----++化简得()()21123410k k k k -+=.由题设可知1k 与2k 同号，所以213k k =.联立方程组()()1222y k x y k x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解得交点G 的坐标为()1212212124,k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭.将213k k =代入点G 的横坐标，得()()1211211122343G k k k k x k k k k ++===--.所以，点G 恒在定直线4x =上.关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．设a 是实数，函数()()212ln f x ax a x x =++-.(1)当2a =时，过原点O 作曲线()y f x =的切线，求切点的横坐标；(2)设定义在D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为():l y h x =，当0x x ≠时，若()()00g x h x x x -<-在D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“巧点”，当14a =-时试问函数()y f x =是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)横坐标为1(2)存在，横坐标为2【分析】（1）设切点为(),M m n ，求得()243f m m m+'=-，由斜率公式求得斜率，列出方程求得2ln 10m m +-=，结合函数()2ln 1x x x ϕ=+-为单调递增函数，且()10ϕ=，即可求解.（2）求得()f x 在()00P x y 处的切线方程()2004000013232ln 244y x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎝⎭，令()()2000000132132ln 2444h x x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎝⎭，设()()()F x f x h x =-，求得()()00142F x x x x x x ⎛⎫=--- ⎝'⎪⎭，得出函数()F x 的单调性，求得函数()y f x =在()0,2和()2,+∞上不存在“巧点”，再由02x =时，()0F x '≤，进而得到点()()22f ,为“巧点”.【详解】（1）解：当2a =时，设切点为(),M m n ，由函数()2232ln ,0f x x x x x =+->，可得()243f x x x+'=-，则()243f m m m+'=-，即切线的斜率243k m m =+-，又由直线OM 的斜率为2232ln m m m k m+-=，所以22232ln 43m m m m m m+-+-=，即2ln 10m m +-=，令()2ln 1x x x ϕ=+-，可得()120x x xϕ'=+>，()x ϕ为单调递增函数，且()10ϕ=，所以函数2ln 1y m m =+-在()0,∞+上递增，且1m =是一根，所以是唯一根，所以过原点O 作曲线()y f x =的切线，切点横坐标为1.（2）解：当14a =-时，可得()2132ln 44f x x x x =-+-，可得()13224f x x x '=-+-，则()00013224f x x x '=-+-且()20000132ln 44f x x x x =-+-，所以函数()y f x =在其图象上一点()00P x y 处的切线方程为：()2000000132132ln 2444y x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎪⎝⎭，令()()2000000132132ln 2444h x x x x x x x x ⎛⎫=-+---+- ⎪⎝⎭，设()()()F x f x h x =-，则()00F x =，且()()()001321322424F x f x h x x x x x ⎛⎫=-=-+---+- ⎝''⎭'()()00001221422x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当002x <<时，004x x >，()F x 在004,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而有()()00F x F x >=，所以()00F x x x >-；当02x >时，004x x <，()F x 在004,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而有()()00F x F x <=，所以()00F x x x >-，因此函数()y f x =在()0,2和()2,+∞上不存在“巧点”，当02x =时，()2(2)02x F x x-'=-≤，所以函数()F x 在()0,∞+上单调递减，所以当2x >时，()()20F x F <=且()02F x x <-，当02x <<时，()()20F x F >=且()02F x x <-，所以点()()22f ,为“巧点”，其横坐标为2.方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

一、单选题二、多选题1. 关于函数，下列结论正确的为（ ）A．的最小正周期为B ．是的对称中心C ．当时，的最小值为0D ．当时，单调递增2.的展开式中，的系数为A ．154B ．42C．D ．1263.已知平面平面，是、外一点，过点的直线与、分别交于点、，过点的直线与、分别交于点、，且，，，则的长为（ ）A．B．或C．D．4. 已知抛物线，点，为坐标原点，若抛物线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 若函数在区间上单调递增，且，则的一个可能值是A．B．C．D．6. 已知双曲线E :的右焦点为F （c ，0），若F 到直线ax －c y =0的距离为，则E 的离心率为（ ）A ．2B．C．D．7.已知，且，则（ ）A．B．C．D．8. 设函数在的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A．B．C．D．9. 已知椭圆的左，右焦点分别为，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，则（ ）A ．的最大值为B ．为定值C ．C 的焦距是短轴长的2倍D ．存在点A，使得10.设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）A．B ．数列单调递减C ．当时，取得最小值D．时，n 的最小值为711. 已知，，为正实数，则（ ）A ．若，则江苏省南通市新高考2024届高三适应性测试数学模拟试题(3)江苏省南通市新高考2024届高三适应性测试数学模拟试题(3)三、填空题四、解答题B．若，则的最小值为1C ．若，则D ．若，则的最小值为312. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．13.请估计函数零点所在的一个区间______.14.设函数的导函数的最大值为3，则图象的一条对称轴方程是______.15. 以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是______．16. 俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”.(1)若，，求函数与的“偏差”；(2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值.17. 某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道(不考虑宽度)，BD ，BE 为赛道内的两条服务通道，，.（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度；①；②（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长(即BA +AE 最大)18. 在我国抗击新型冠状病毒肺炎期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的小视频在有很好的素材与拍摄成品外，更要有制作上的技术要求.某同学为提高自己的制作水平，将所制作的某小视频发到自己的朋友圈里，并请朋友圈的朋友按自己的审美给予评价，通过收集100位朋友（男、女各前50位）的评价，得到下面的列联表：优秀不优秀男性朋友3515女性朋友2723（1）分别估计男、女性朋友对该小视频评价优秀的概率；（2）能否有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关？附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819. 已知函数（为自然常数）．（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）设，讨论函数的零点个数．20. 已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．21. 已知国家某级大型景区对拥挤等级与每日游客数量（单位：百人）的关系有如下规定：当时，拥挤等级为“优”；当时，拥挤等级为“良”；当时，拥挤等级为“拥挤”；当时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；游客数量（单位：百人）天数1041频率（2）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率.。

江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试数学试卷，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（46πC.二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.已知曲线C ：221mx ny +=，下列结论中正确的有（）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上B ．若0m n =>，则CC ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线的轨迹长度为2π外接球的表面积为32π315.已知函数()2e (1)x f x x =+．(1)求函数()f x 的极值；(2)求函数()f x 在区间[,1](3)t t t +>-上的最小值()g t ．111BDP，，22对于D ，当M 为1A D 中点时，可得AMD 为等腰直角三角形，且平面ABCD ⊥平面ADD 连接AC 与BD 交于点O ，可得2OM OA OB OC OD ====，所以四棱锥M ABCD -外接球的球心即为AC 与BD 的交点，所以四棱锥M ABCD -外接球的半径为22，其外接球的体积为()24π2232π⨯=，所以（舍去）或44 3k=-，．故答案为：42 2,0,33⎡⎫⎛⎤--⋃⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦相切，则实数a的取值范围（2）由于准线l 方程为1x =-，依题意设(1,)P t -()0t ≠，则(1,)Q t --．因(1,0)A ，则2AP t k =-，得直线AP 方程为()12t y x =--①，将①式代入22413y x +=中化简，得()22223230t x t x t +-+-=，设()00,B x y ，由韦达定理得200233A t x x x t -==+，则()0023123t t y x t =--=+，即22233,33t t B t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则262BQ t k t +=，于是得直线BQ 方程为()2612t y t x t ++=+，令0y =，解得2266t x t -=+，即226,06t D t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭．则222612||166t AD t t -=-=++，于是26112||226APD S t t ==⋅⋅+ ，化简得()260t -=，即得6t =±，代入①式化简，得直线AP 方程为3630x y +-=，或3630x y --=.17.【详解】（1）直三棱柱111ABC A B C -的体积为：111121122V AB BC AA AA =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=，则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥面ABC ，11AB AB ∥，又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，所以1AB BC ⊥，因为11AB AB ∥，所以11A B ⊥1BC ，在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ，所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ，所以11BC A C ^．法二：直棱柱111ABC A B C -，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC = ，1(1,2,1)A C =-- ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=⨯+⨯-+⨯-= ，所以11BC A C ^．（2）由（1）得11BC A C ^，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ^，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ⋂=，所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B --的平面角，因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得33OH =，又在Rt BOH 中，22BO =，得306BH =，3103cos 5306OH BHO BH ∠===，所以二面角11B A C B --的余弦值为105．法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC = ，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ，则111111020n BC x n BA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11y =，得1(0,1,2)n =- ，1(1,0,1)B C =- ，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ，则21222112020n B C x z n B A y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取21x =，得2(1,0,1)n = ，设二面角11B A C B --的大小为θ，则：240m -≠，2254-，。

南通市（苏北八市）2023~2024学年第二学期高三第三次调研测试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1,,1,22kM x x k k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，则（）A ．M N⊆B ．N M⊆C ．M N=D ．M N ⋂=∅2．已知三个单位向量,,a b c 满足=+a b c ，则向量,b c 的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π3．某同学测得连续7天的最低气温分别为1,2,2,,6,2,8m （单位：℃），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则m =（）A ．2B ．3C ．6D ．74．已知z 为复数，则“z z =”是“22z z =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件5．已知ππcos 3cos 44θθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2θ=（）A ．35B ．45C ．35-D ．45-6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S n a +=，则7a =（）A ．65B ．127C ．129D ．2557．已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为偶函数，()21f x +-为奇函数．若()10f =，则261()k f k ==∑（）A ．23B ．24C ．25D ．268．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（）A ．12πB ．27πC ．64π9D ．64π3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()()πf x f x +=B ．()3π8f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()π0,,14x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭D ．()π0,,04x f x ⎛⎫∈⎪'< ⎝⎭10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，M 是底面ABCD 上一点，则（）A ．M 为AC 中点时，1PM AC ⊥B ．M 为AD 中点时，//PM 平面11A BC C．满足12PM =的点M 在圆上D ．满足直线PM 与直线AD 成30︒角的点M 在双曲线上11．已知12212log ,log 2baa b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（）A ．22a b a b -+=+B ．22b a a b -+=+C ．121e b a+>D ．112e a b->三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

如皋市2024届高三2月诊断测试数学参考答案2024.02一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BCDDCCCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.题号91011答案BCADACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）函数的定义域为(0,)+∞，当1a =时，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==，当(0,1),()0x f x ∈'<，函数单调递减；当(1,),()0x f x ∈+∞'>，函数单调递增，1x ∴=是函数的极小值点，函数的极小值为(1)1100f =--=（2）若函数()y f x =在(0,1)内单调递增，则1()210f x ax x'=-- 在(0,1)恒成立，即21112a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 在(0,1)恒成立.因为221111111(1,)2224x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-∈+∞⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以使得函数()y f x =在(0,1)内单调递增的a 不存在，若函数()y f x =在(0,1)内单调递减，则1()210f x ax x'=--在(0,1)恒成立，即21112a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 在(0,1)恒成立.即2211111112224a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 在(0,1)恒成立.又因为221111111(1,)2224x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-∈+∞⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1a 时，函数()y f x =在(0,1)内单调递减.综上，当1a 时，使得函数()y f x =在(0,1)内单调递减.（1）证明：连接AO 并延长，交BC 于M ，交圆柱侧面于.N 因为AB AC =，OB OC =，AO AO =，所以AOB ≌AOC ，所以BAM CAM ∠=∠，因为AB AC =，AM AM =，所以ABM ≌ACM ，所以MB MC =，即M 为BC 中点，所以.OA BC ⊥又在圆柱1OO 中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，因为1AO AA A = ，1,AO AA ⊂平面11AOO A ，所以BC ⊥平面11.AOO A 因为不论P 在何处，总有1PA ⊂平面11AOO A ，所以1.BC PA ⊥（2）解：设11(0)OO AA AN a a ===>，则30.6AB AC a ==在ABC 中，5cos 6AC AM AC CAM AC a AN =∠=⨯=，则1.3OM a =所以223055.666CM BM a a a ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，以1O 为原点，建立空间直角坐标系1O xyz -，其中11//B C x 轴，y 轴是11B C 的垂直平分线，则110,,02A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，151(,,0)63B a a ，51,,63B a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,0,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以155(,,)66A B a a a = ，111(0,,)22A P a a = ，1(0,0,)B B a = ，1511(,,).632B P a a a =-- 设平面1A PB 的一个法向量为(),,m x y z =，则5511006622ax ay az ay az ⎧⎪++=+=⎨⎪⎩，取1x =，得(1,5,5).m =- 设平面1B PB 的一个法向量为(),,n b c d =，则51100632ad ab ac ad ⎧⎪=--+=⎨⎪⎩，取2b =，得()2,5,0.n =-设平面1A PB 与平面1B PB 的夹角为θ，则11cos |cos ,|||||11m n m n m n θ⋅=<>==，所以平面1A PB 与面1B PB 夹角的余弦值为11.11（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢(或输)包含三种可能情况，他们平局也有三种可能情况，不妨设事件“第()i i N *∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以31()()()93i i i P A P B P C ====.因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为21212312347()()()()()()()81p A P B P C P B P C P A P C P B =+=，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为3212331234()()()()()()()p P B P B P C A P A P B P C P C =+221234529()()()()()243A P A P C P A P C P C +=，所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=.（2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，4123412(5)2()()()()2(381P X P A P C P A P C ===⨯=，21212(2)2()()2(39P X P A P A ===⨯=，123123123(3)2()()()2()()()()()()P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++1231231232()()()2()()()2()()()P A P B P B P B P A P B P B P B P A +++123132()()()27P C P A P A +=22(4)1(5)(2)(3)81P X P X P X P X ==-=-=-==，所以X 的分布列为：X 2345P2913272281281所以X 的数学期望为：213222251()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.18.（17分）（1）由已知，设椭圆2C 方程为2212y x t t +=，()0t >，且经过点，则2t =，故椭圆2C 的标准方程为221;42y x +=（2）根据题意，直线AP 、AQ 的斜率存在且不为0，(0,2)A ，设直线AP 的斜率为1k ，直线AQ 的斜率为2k ，设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，因为2200142y x +=，所以220042y x -=-，所以20001220002242y y y k k x x x ----=⨯==--，即122k k =-，直线1:2AP y k x =+与2228x y +=，联立得2211(12)80k x k x ++=，解得121812M k x k -=+，同理可得222812N k x k -=+，直线1:2AP y k x =+与2224x y +=，联立得2211(2)40k x k x ++=，解得12142P k x k -=+，同理可得22242Q k x k -=+，12||||||||N M P Q x S x AM AN S AP AQ x x ==⨯221212221212|64|(2)(2)(12)(12)|16|k k k k k k k k ++=⨯++221222124(4224)2217k k k k +++=++22122212328()172()k k k k ++=++2212364172()k k =-++，因为2221212144k k k k +=+ ，当且仅当21214k k =，即1k =时，等号成立，故12S S 的取值范围为64[,4).2519.（17分）（1）①121331213131,22463654S S =⨯⨯==⨯⨯=，所以，12S S >；②15{,1,};(33答案不唯一)（2）S S <'；证明：不妨设1,2i j ==，则121a a <<；则112233441,1,,a a a a a a a a '=+-'='='=；所以()123412*********S S a a a a a a a a a a a a a a -'=-''''=--+()()1234110a a a a =--<；所以S S <'；（3）S 的最大值为1，当且仅当121n a a a ==== 时，取到最大值.证明：因为0(1,2,,)i a i n >= ，且12n a a a n +++= ；所以，12121nn n a a a S a a a n +++⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；当且仅当121n a a a ==== 时，等号成立.。

一、单选题二、多选题1. 位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（）（其中，）A ．9.27米B ．9.33米C ．9.45米D ．9.51米2. 若命题“，使得”为假命题，则实数m 的取值范围是 A．B．C．D．3. 设复数z 的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足，则（ ）A．B．C．D．4. 若，则（ ）A．B．C．D．5.已知等差数列满足，，则该等差数列的公差为（ ）A ．1或-1B ．2C ．-2D ．2或-26. 命题“”的否定是（ ）A ．“”B ．“”C ．“”D ．“”7. 如图，在三棱锥中，，二面角的平面角，，，则直线与直线的所成最大角的正切值为（）A．B．C．D．8. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，，且，则的面积为（ ）A．B．C．D．9. 已知是的共轭复数，则（ ）江苏省南通市如皋市、连云港市2024届高三下学期阶段性调研测试（1.5模）数学试题(1)江苏省南通市如皋市、连云港市2024届高三下学期阶段性调研测试（1.5模）数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．若，则B ．若为纯虚数，则C ．若，则D ．若，则集合所构成区域的面积为10. 在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，且，是线段上一动点（不包括端点），是棱的中点，则下列说法错误的有（ ）A．当是线段的中点时，B．当是线段的三等分点（靠近点）时，直线与平面所成的角的正弦值为C．当是线段的四等分点（靠近点）时，异面直线与所成的角的余弦值为D．直三棱柱的外接球的表面积为11. 某企业为普及法制教育，对本单位1500名员工开展了一次法律知识竞赛答题活动.现从中随机抽取100人的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（）A．估计该企业的员工得分在区间内B ．该企业员工竞赛得分不小于90的人数估计为195人C ．估计该企业员工的平均竞赛得分约为74.5D ．该企业员工竞赛得分的第75百分位数约为8312. 设等差数列的公差为，前项和为，则的充分条件是（ ）A．B．C ．且D ．且13.已知函数为奇函数，则函数在区间上的最大值为______.14.已知，则_________．15.设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为___________.16. 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，，E 是PD 的中点.（1）证明：直线平面PAB ；（2）求直线与平面所成角；（3）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为，求二面角的余弦值.17. 已知为椭圆：上两点，点满足，过点A与点的直线与直线交于点．(1)当轴且A在轴上方时，求直线的斜率；(2)已知，记的面积为，的面积为，求的取值范围．18. 已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)若是的最大的极大值点，求证：.19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角；(2)若的面积为1，求的周长的最小值.20. 如图所示的多面体中，已知菱形和直角梯形所在的平面互相垂直，其中为直角，，，，．(1)求证：平面；(2)求多面体的体积．21. 已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足.(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.。

江苏省南通市如皋中学2024届高三下学期高考适应性考试（三）（3.5模）数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-≤，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．32B ．16C ．8D ．42．在梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，点M 是BC 的中点，则AM =u u u u r（ ）A ．2132AB AD -u u ur u u u rB ．1223AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u u r u u u rD ．3142AB AD +u u u r u u u r3．二项式721x ⎛⎫⎪⎝⎭展开式的常数项为（ ）A ．35-B ．21-C ．21D ．354．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m ，4m ，侧棱长为3m 的正四棱台，则该台基的体积约为（ ）A 3B ．3C ．328mD 35．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1M 为抛物线E ：()220x py p =>上一点，若抛物线E 在点M 处的切线恰好与圆C ：()()2220x y b b +-=<相切，则b =（ ）A ．B ．2-C ．3-D ．4-6．已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（ ）A ．12B ．15C ．25D 7．某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件A 表示“甲获得冠军”，事件B 表示“比赛进行了五局”，则()P A B =（ ） A ．12B ．14C ．38D ．5168．设定义域为R 的偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，若()()21f x x '++也为偶函数，且()()2241f a f a +>+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()(),31,-∞-⋃+∞C ．()3,1-D ．()1,3-二、多选题9．已知1z ，2z 都是复数，下列正确的是（ ） A ．若12z z =，则12z z ∈RB ．若12z z ∈R ，则12z z =C ．若12=z z ，则2212z z =D ．若22120z z +=，则12=z z 10．在数列{}n a 中，若对*n ∀∈N ，都有211n n n na a q a a +++-=-（q 为常数），则称数列{}n a 为“等差比数列”，q 为公差比，设数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．等差数列{}n a 是等差比数列B ．若等比数列{}n a 是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同C ．若数列{}n S 是等差比数列，则数列{}1n a +是等比数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{}n S 等差比数列11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点，点F 在底面ABCD 内运动（含边界），则（ ）A ．若F 是棱CD 的中点，则//EF 平面1A BDB ．若EF ⊥平面11AC E ，则F 是BD 的中点C ．若F 在棱AD 上运动（含端点），则点F 到直线1A ED ．若F 与B 重合时，四面体11AC EF 的外接球的表面积为19π三、填空题12．已知函数2,0()πsin(2),06x x f x x x ⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩，则π[()]2f f =.13．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是双曲线E ：22145x y -=的左，右焦点，设点P 是E 的右支上一点，则1251PF PF -的最大值为. 14．定义：[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，如[]1.21=，{}1.22=.设函数()[]{}f x x x =在定义域[)()*0,N n n ∈上的值域为n C ，记n C 中元素的个数为n a ，则2a =，12111na a a +++=L四、解答题15．如图，正方形ABCD 是圆柱1O O 的轴截面，已知4AB =，点E 是»AB 的中点，点M 为弦BE 的中点.(1)求证：1//O M 平面ADE ； (2)求二面角1D O M E --的余弦值.16．跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表.(1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为23，张先生跑步上班迟到的概率为13.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X ，求X 的概率分布及数学期望()E X .17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，2c BA BC =⋅-u uu r u u u r，其中S 为ABC V 的面积. (1)求角A 的大小；(2)设D 是边BC 的中点，若AB AD ⊥，求AD 的长.18．在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点，上顶点，若C ，且O 到直线AB .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，其中点M 在第一象限，点N 在x 轴下方且不在y 轴上，设直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k . （i ）求证：1211k k +为定值，并求出该定值； （ii ）设直线BM 与x 轴交于点T ，求BNT V 的面积S 的最大值.19．已知函数()e cos xf x ax x =--，且()f x 在[)0,∞+上的最小值为0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设函数()y x ϕ=在区间D 上的导函数为()y x ϕ'=，若()()1x x x ϕϕ'⋅>对任意实数x D ∈恒成立，则称函数()y x ϕ=在区间D 上具有性质S . （i ）求证：函数()f x 在()0,+∞上具有性质S ；（ii ）记()()()()112...ni p i p p p n ==∏，其中*N n ∈，求证：()111sin 1ni i i n n =>+∏.。