8．2．2 裂缝宽度计算理论对于裂缝问题，尽管自20世纪30年代以来各国学者做了大量的研究工作，提出了多种计算理论，但至今对于裂缝宽度的计算理论并未取得一致的看法。
这些不同观点反映在各国关于裂缝宽度的计算公式有较大差别。
但我们可以从这些不同的观点中理解和体会影响裂缝宽度的各种因素，为我们有效地控制构件的裂缝宽度提供理论基础。
从目前的裂缝计算模式上看，计算理论大致可以分为四类：第一类是经典的粘结—滑移理论；第二类是无滑移理论；第三类是一般裂缝理论；第四类是试验统计模式。
目前我国《混凝土结构设计规范》（GB50010）采用的是以一般裂缝理论为指导，结合大量试验结果而形成的裂缝计算公式。
而《公路钢筋混凝土与预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023）结合影响裂缝宽度的各主要因素分析，采用的是以试验统计得到的计算公式。
◆粘结-滑移理论粘结—滑移理论是由R. Saligar于1936年根据钢筋混凝土拉杆试验提出的，一种最早的裂缝理论，直至60年代中期这个理论还一直被广泛的接受应用。
这一理论认为，裂缝的开展是由于钢筋与混凝土之间不再保持变形协调，出现相对滑移而产生的。
因此裂缝宽度等于裂缝间距范围内钢筋和混凝土的变形差。
而裂缝的间距取决于钢筋与混凝土间粘结应力的大小与分布。
粘结应力越大，混凝土拉应力沿构件纵向从零增大到其极限抗拉强度所需的粘结传递长度会越短，裂缝的间距也就越短，裂缝宽度越小，此时裂缝“密而多”；反之，裂缝“疏而稀”，裂缝宽度越大。
由粘结—滑移理论得到的两个基本公式如下（如何根据以上条件推导出来的？）(8-2)(8-3)式中lm --平均裂缝间距；Wm--平均裂缝宽度；d --纵向受拉钢筋直径；ρte--（=As/Ate ）按有效受拉混凝土面积计算的配筋率；,--平均裂缝间距内钢筋和混凝土的平均拉应变。
Ate--有效受拉区混凝土的截面面积，对受弯构件，取二分之一截面高度以下的面积。
对于矩形截面, Ate=0.5bh；倒T形截面，则Ate=0.5bh-(bf-b)hf 。
从以上两个公式可以看出，决定裂缝宽度有两个主要因素，一个是d/ρte ，另一个是钢筋的应力水平。
◆无滑移理论粘结-滑移理论有一个基本假设，即构件开裂、混凝土回缩后，裂缝截面仍保持为平面。
但试验量测表明，裂缝出现后混凝土将产生沿横截面不均匀的回缩变形，钢筋处的裂缝宽度比构件表面的裂缝宽度要小得多，距离钢筋表面越大，裂缝宽度也越大（如图8-6所示）。
这一变形分布说明，由于钢筋对混凝土变形的约束作用（该约束作用的范围称作钢筋有效约束区），混凝土在横截面上存在着局部应变梯度，该应变梯度的大小，控制着构件表面的裂缝宽度。
而且，在使用阶段的工作应力下，由于近钢筋处横向内裂缝的出现，变形钢筋与混凝土在接触面处的相对滑移很小，可以忽略不计。
从这些试验现象出发，Broms和Base在20世纪60年代提出了无滑移理论。
无滑移理论认为，构件表面裂缝宽度主要是由钢筋周围的混凝土回缩形成的，其决定性因素是构件表面到最近钢筋的距离，它包括混凝土保护层厚度c和钢筋间的距离s两个变量。
一般认为，对于保护层厚度在15mm至80mm的梁，用这一理论的计算结果与试验对比，吻合良好。
图8-6 弯曲垂直裂缝形态◆一般裂缝理论从裂缝机理来看，无滑移理论考虑了应变梯度的影响，采用在裂缝的局部范围内，变形不再保持平面的假定，无疑比粘结滑移理论更为合理了。
但假定钢筋钢筋处完全没有滑移，把保护层厚度作为唯一的变量，显然是过于简单化了。
一种合乎逻辑的发展是将粘结-滑移理论与无滑移理论结合起来。
从平均裂缝间距的计算公式来看，粘结-滑移理论的计算公式（8-2）表明，当纵向配筋率很大，d/ρte 趋于零时，公式计算的平均裂缝间距亦趋近于零，这与试验结果是不相符的。
这是因为，粘结-滑移理论认为在即将出现裂缝截面处，受拉区混凝土的拉应力是均匀的。
而实际上，无滑移理论表明，受拉区混凝土受到周围钢筋的约束作用以及内裂缝的影响，其拉应力分布并不均匀，也就是说，裂缝间距与混凝土保护层厚度c亦有一定的关系。
因此，合理的平均裂缝间距公式应综合考虑两者的影响。
这就是所谓的一般裂缝理论，又称为综合裂缝理论，即：(8-4)◆试验统计模式以上的讨论表明，不同的裂缝理论认为影响裂缝宽度和间距的主要因素并不相同，各种理论之间的差异是如此之大，似乎难以理解。
实际上，由于裂缝出现后，钢筋与混凝土相互作用区域发生的变形及应力状态是极其复杂的。
而且，裂缝是一种半随机现象，即使同样的试件，在完全相同的条件下，裂缝间距和裂缝宽度也会在很大范围内变化。
简单地选取一两个变量作为其主要影响因素，从而得到裂缝宽度的计算公式，显然不能适用于大多数情况。
尽管以上介绍的三种裂缝计算理论都有一定的理论根据，而且都分别有试验在不同程度上表明了各自理论的正确性。
但与广泛的试验相对照，这些计算理论的符合程度都还很难令人满意。
鉴于影响裂缝因素的复杂性，其机理也还未十分清楚，有些学者干脆不作机理上的探求而在广为收集试验数据的基础上，回归分析各种参数对裂缝的影响程度，从中选择最主导的若干因素建立统计公式。
其中最具代表性的是美国学者Gergely和Lutz的工作。
他们对六组由不同研究者所进行的612个底面裂缝宽度和355个侧面裂缝宽度的实测数据进行了统计分析。
在统计中，他们对各种参数及其不同的组合方式进行了回归统计。
结果表明，对于裂缝宽度影响最重要的因素是钢筋的应力和保护层厚度。
他们的研究结果最终被美国混凝土协会所采用。
◆影响裂缝宽度和裂缝间距的主要因素目前普遍公认的影响裂缝宽度和间距的主要因素大致包括：钢筋的混凝土保持层厚度、纵向受拉钢筋的工作应力、钢筋直径、纵向受拉钢筋的配筋率、钢筋的布置型式、钢筋外形、构件的受力性质，以及长期荷载的影响等。
8．2．3 GB50010方法我国《混凝土结构设计规范》（GB50010）的裂缝宽度计算公式是以一般裂缝理论为指导，结合大量试验结果得到的半理论半经验公式。
平均裂缝间距根据一般裂缝理论，平均裂缝间距与d/ρte 和保护层厚度有关，它们表示为以下线性关系：(8-4)其中K1、K2均为经验系数。
对配置带肋钢筋混凝土受弯构件的平均裂缝间距进行试验统计分析，得K1=1.9，K2=0.08。
规范综合考虑各种因素，最后得到平均裂缝间距的半经验半理论公式：(8-5)(8-6)(8-7)式中，当c<20mm时，取c=20mm；deq --纵向受拉钢筋的等效直径（mm），按式（8-6）计算；ρte--按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率，当ρte小于0.01时,取ρte 等于0.01；di--第i种纵向受拉钢筋的公称直径（mm），当多根钢筋并筋时，按面积相等原则计算其等效圆截面直径；ni--第i种纵向受拉钢筋的根数；υi--第i种纵向受拉钢筋的相对粘结特性系数，对于光面钢筋取0.7，带肋钢筋取1.0；Ate--有效受拉混凝土截面面积，对受弯构件，取二分之一腹板截面面积与受拉翼缘截面面积即Ate=0.5bh-(bf-b)hf 。
◆平均裂缝宽度裂缝宽度等于钢筋与外围混凝土在裂缝间距之间的相对滑移总和，亦即二者在裂缝间距间的伸长差值。
因此，设钢筋的平均应变为，混凝土的平均应变为，则平均裂缝宽度ωm等于钢筋在平均裂缝间距lm之间的伸长，减去混凝土在lm间的伸长：由试验得=0.85，因此有(8-8)为了进一步简化计算，引入纵向钢筋应变不均匀系数ψ ，即，则得平均裂缝宽度的计算公式为：(8-9)式中ψ--裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数，或称考虑裂缝间混凝土参加工作系数，它反映了裂缝间混凝土协助钢筋抗拉的程度；Es --钢筋的弹性模量；σsk--开裂截面钢筋应力，它是按荷载效应的标准组合计算的纵向钢筋应力。
受拉钢筋应变不均匀系数ψ 为裂缝间钢筋平均应变与开裂截面钢筋应变比值，即。
试验表明，ψ 可按下列经验公式计算：(8-10)对于矩形、倒T形、工形截面受弯构件，考虑到混凝土收缩的不利影响，其抗裂弯矩Mcr 可按下式计算：(8-11)式中ηcr --截面开裂时的内力臂系数。
对于钢筋混凝土受弯构件，Mk可近似地按下式计算：(8-12)将式（8-11）及（8-12）代入式（8-10a），得(8-10b)取ηcr=0.67 ，h/h0=1.1 ，ρte=As/Ate ，代入上式得：(8-13)ψ反映的是裂缝间混凝土协助钢筋抗拉作用的程度，ψ越小，裂缝间钢筋平均应力与裂缝截面钢筋应力的比值越小，说明裂缝间混凝土参与抗拉的程度越大，钢筋与混凝土间的粘结越好。
根据试验结果，在计算时：当ψ<0.2 时，取ψ=0.2 ；当ψ>1.0 时，取ψ=1.0；对直接承受重复荷载的构件，取ψ=1.0；当ρte< 0.01 时，取ρ=0.01 ；因此，钢筋混凝土受弯构件的平均裂缝宽度可以用公式（8-9）计算，其中lm可以由式（8-5）求得，ψ可由式（8-13）求得。
取η=0.87，裂缝截面的钢筋应力σsk可以由下式计算：(8-14)◆在荷载标准组合下并考虑长期作用影响的最大裂缝宽度计算公式实测表明，裂缝宽度有很大的离散性。
设计验算时所取用的"最大裂缝宽度"，应该是在某一超越概率下的相对最大裂缝宽度，即超过这个宽度的裂缝的出现概率不大于某一协议概率，通常取最大裂缝宽度的超越概率为5%，亦即计算控制的最大裂缝宽度的保证率为95%。
钢筋混凝土梁的试验表明，裂缝宽度的频率分布基本符合正态分布。
对于梁，可取变异系数为0.4，则其相对最大裂缝宽度可由下式求得：(8-15)再考虑裂缝宽度在长期荷载作用下，由于混凝土的收缩、徐变及滑移徐变而增大的影响，对上述短期作用下的裂缝宽度乘以1.5的增大系数，最后得钢筋混凝土受弯构件考虑荷载长期效应组合影响的最大裂缝宽度ωmax计算公式为：ωmax=1.5×1.66×0.85(ψσ/Es)lcr(8-16)这就是《混凝土结构设计规范》（GB50010）中钢筋混凝土受弯构件最大裂缝宽度的计算公式。
式中，ψ 由式（8-13）求得，lm可以由式（8-5）求得，σsk由式（8-14）计算。
◆其他受力构件的裂缝宽度计算公式《混凝土结构设计规范》（GB50010）将不同受力状态下钢筋混凝土的裂缝宽度计算公式统一写成：(8-17)式中αcr为构件受力特征系数。
其他受力构件的裂缝宽度计算公式与受弯构件的主要区别有以下两方面。
其一，构件受力特征系数αcr不同。
对于钢筋混凝土受弯及偏心受压构件，αcr 取为2.1；偏心受拉构件取2.4；轴心受拉构件取2.7。
αcr 主要由以下三部分系数相乘而得：①反映裂缝间混凝土伸长对裂缝宽度影响的系数，即，各类构件均取0.85；②短期裂缝宽度的扩大系数，即取超越概率为5%时的保证率系数，它的大小取决于裂缝宽度的概率分布和变异系数；③考虑长期作用影响的扩大系数，各类构件均取1.5。
