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指数函数及其性质
一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念
1、如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a
的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
2、式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
3、根式的性质：()n
n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
n
n
a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （二）分数指数幂的概念
1、正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2、正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()(0,,,m
m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质
(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念
一般地，函数)1a ,0a (a y x
≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．
注意：○
1 指数函数的定义是一个形式定义； ○
2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． 函数名称 指数函数 定义
函数(0x
y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
定义域 R
值域 （0,+∞）
过定点 图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．
奇偶性
非奇非偶
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y
(0,1)O
1
y =
（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x
≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈ （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x
≠>=且，总有a )1(f =
（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21< 四、底数的平移
对于任何一个有意义的指数函数：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”
五、幂的大小比较
常用方法（1）比差（商）法：
（2）函数单调性法；
（3）中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与
C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。
注意：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如：y 1=34,y 2=35
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如：y 1=（1/2）4,y 2=34
,
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较
①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、
1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。
② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与
“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大
异小”。即当底数a 和1与指数x 与0之间的不等号同向时，a x
大于1，异向
时a x
小于1.
对数函数及其性质
一、对数与对数的运算 （一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x
=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：
N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
②x N N a a x
=⇔=log ；
③注意对数的书写格式．N a
log
两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；
② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．
指数式与对数式的互化
幂值 真数
（二）对数的运算性质
如果
0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：
① M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○
2 =N M
a log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈． ④ M
a M a
n
n log 1log = ⑤ b b
a a =log ⑥
b a b a =log
⑦ log a 1=0 ⑧ log a a=1 ⑨ a log a N=N ⑩ log a a b =b
注意：换底公式
a
b
b c c a log log log =
（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．
推论(利用换底公式) ①b m
n
b a n a m log log =
； ②a b b a log 1log =
． 二、对数函数
1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数
的定义域是（0，+∞）．
注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，
5
log
5
x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ② 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．
反函数
一、反函数定义
设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作
1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．
二、反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1
()x f y -=；
③将1
()x f
y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．
三、反函数的性质
①原函数()y f x =与反函数1
()y f
x -=的图象关于直线y x =对称．
②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1
()y f x -=的值域、定义域．
③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'
(,)P b a 在反函数1
()y f x -=的图象上．
④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．
幂函数及其性质
一、幂函数的定义
一般地，函数y x α
=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 二、幂函数的图象
函数
特征
性质
y=x y x
=2y x
=3y x
=
1
2y x
=-1定义域R R R [0，+∞）{|}
x x≠0值域R [0，+∞）R [0，+∞）{|}
y y≠0
x∈+∞
[)
0，增x∈+∞
()
0，增单调性增
x∈-∞
(]
，0减
增增
x∈-∞
()
，0减所过定点
（1，1）
（0，0）
（1，1）
（0，0）
（1，1）
（0，0）
（1，1）
（0，0）
（1，1）
三、幂函数的性质
1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；
②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；
③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
2、过定点：所有的幂函数在(0,)
+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
3、单调性：①如果0
α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)
+∞上为增函数．
②如果0
α<，则幂函数的图象在(0,)
+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
4、奇偶性：⑴当α为奇数时，幂函数为奇函数，
⑵当α为偶数时，幂函数为偶函数．
⑶当q
p
α=（其中,p q互质，p和q Z
∈），
①若p为奇数q为奇数时，则
q
p
y x
=是奇函数，
②若p为奇数q为偶数时，则
q
p
y x
=是偶函数，
③若p为偶数q为奇数时，则
q
p
y x
=是非奇非偶函数．
5、图象特征：幂函数,(0,)
y x x
α
=∈+∞，
⑴当1α>时，①若01x <<，其图象在直线y x =下方，
②若1x >，其图象在直线y x =上方，
⑵当1α<时，①若01x <<，其图象在直线y x =上方，
②若1x >，其图象在直线y x =下方．
练习题
---精心整理，希望对您有所帮助
基本初等函数16个公式 1.幂函数公式：a^m*a^n=a^(m+n) 幂函数指的是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数。 2.幂函数公式：(a^m)^n=a^(m*n) 该公式表示对一个幂函数求幂。 3.倒数公式：1/a*a=1 任何数的倒数乘以它本身等于1 4. 对数公式：log(a^n) = n * log(a) 对数函数是幂函数的逆函数，将指数与底数互换。5. 对数公式：log(a*b) = log(a) + log(b) 对数函数在乘法上的性质。 6. 对数公式：log(a/b) = log(a) - log(b) 对数函数在除法上的性质。 7. 对数公式：log(1) = 0 对数函数中底数为1时，其结果为0。 8.指数函数公式：a^0=1 任何常数的0次方等于1 9.指数函数公式：a^(-n)=1/(a^n) 任何常数的负指数等于其正指数的倒数。
10. 三角函数公式：sin(-x) = -sin(x) 正弦函数对称的性质。 11. 三角函数公式：cos(-x) = cos(x) 余弦函数对称的性质。 12. 三角函数公式：tan(x) = sin(x)/cos(x) 正切函数定义。 13. 三角函数公式：sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sin(x), cot(x) = 1/tan(x) 余切、正割和余割函数的定义。 14. 双曲函数公式：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2 双曲余弦函数的定义。 15. 双曲函数公式：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2 双曲正弦函数的定义。 16. 双曲函数公式：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) 双曲正切函数的定义。 这些基本初等函数的公式是数学中非常重要的，它们在计算和应用中经常被使用。通过理解并熟练掌握这些公式，我们可以更好地解决各种数学问题。
基本初等函数 初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。 基本初等函数包括以下几类： (1)常数函数y=c（c为常数） （2）幂函数y=x^a（a为常数） (3)指数函数y=a^x（a>0,a≠1） (4)对数函数y=log(a)x（a>0,a≠1，真数x>0） (5)三角函数和反三角函数(如正弦函数:y=sinx反正弦函数：y=arcsinx等） 幂函数定义：一般来说，形状如y=xα(α具有理数的函数，即以底数为自变量，幂为变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/xy=x0时x ≠0)等等都是幂函数。一般形式如下：（α它是常数，可以是自然数、有理数，也可以是任复数。 指数函数定义：指数函数是数学中的一个重要函数。应用于值e的函数写为exp(x)。也可以等价写作ex，e是数学常数，是自然对数的底数，近似等于2.718281828，又称欧拉数。一般形式如下：（a>0,a≠1） 对数函数定义：一般来说，函数y=logax（a>0，且a≠1)称为对数函数，即以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量函数，称为对数函数。 x是自变量，函数定义域为(0、∞），即x>0.它实际上是指数函数的反函数，可以表示为x=ay。因此，指数函数中对a的规定也适用于对数函数。一般形式如下：（a>0,a≠1，x>0,特别当α=e时，记为y=lnx） 常见的三角函数主要有以下六种： 正弦函数：y=sinx 余弦函数：y=cosx 正切函数：y=tanx 余切函数：y=cotx
1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数（μ是常数）叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0 上无限接近y轴，向右无限接近x轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数
1．指数函数 1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方， 且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数是单调增加的。若0 2．对数函数 由此可知，今后常用关系式，如： 指数函数的反函数，记作（a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若0 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 五大基本初等函数 五大基本初等函数是数学中的重要概念，用于阐明计算机科学中的方程和数学关系。熟悉了五大基本初等函数，可以更好地理解和分析复杂的数学概念，如几何形状的性质，三角函数的解析和复数的运算和表示等。 以下是五大基本初等函数： 1. 指数函数 指数函数是指其函数图像呈指数状，是数学上最简单也是最常用的函数，在很多领域都有广泛应用，比如利息计算，复利计算，对数函数中出现概述等。指数函数是由一个有意义的变量间的关系而构成的，通常用数学表示为y=a^x（其中a为任意正值），其函数图形曲线具有经典的指数曲线特点，曲线的斜率随自变量x的取值变大而变大，变化趋势是上升的。 2. 对数函数 对数函数是建立在指数函数基础上的一种反函数，通常用数学表示为y=logaX（a为任意正值），它和指数函数正好相反，而且它是一种以底数为任意正数的单调变换，它的函数图像是一条函数线段，随变量x 的取值变大，函数的值也在增大，但是斜率却有在、趋向-∞的趋势，因此从该函数的性质可以看出它又是一种指数函数的相反函数。 3. 线性函数 线性函数是数学中的重要函数，通常用数学表示为y=kax+b（其中a，k为任意实数），比较常见的有一元一次函数和一元二次函数，线性函数的函数图像是一条直线段，它体现了因变量和自变量之间线性的变化特征，线性函数的斜率和截距也是它的重要特征，它可以直观地表示出变量之间的函数关系，但是有些非线性的问题却无法通过线性函数来完美地描述。 4. 幂函数 幂函数是类似指数函数的一种特殊函数，通常用数学表示为y= aX^k （其中a，k为任意实数），它具有指数函数强调的指数状特征，但是有所不同，它不仅包括k=1时的指数函数，还包含k>1和k<1时的函数，而函数非线性曲线一般为鹰眼状，斜率具有变大或变小的特点，它有良好的平稳特征，可以用于描述不同数量的衰减或增长的函数关系。 5. 双曲函数 双曲函数是一类特殊的曲线函数，具有指数函数和对数函数的结合。它可以通过在左体函数基础上，而且双曲函数还用于求解正弦、余弦和正切函数。双曲函数的函数图像乃双环曲线，包含四个S型，可以 高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！ 一、基本初等函数 1、幂函数 一般地，函数 y = x^a (a 为常数，a∈Q) 叫做幂函数 . 幂函数y = x^a (a∈Q) 的性质： ① 所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1,1）. ② 若 a > 0 , 幂函数图象都经过点（0 , 0）和（1 ，1）在第一象限内递增； 若 a < 0 , 幂函数图象只经过点（1,1），在第一象限内递减 . ③ 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限； 如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 . ④ 画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在根据函数的奇偶性完成整个图象 . ⑤ 常见幂函数的图象 常见幂函数的图象 2、指数函数 一般地，函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 叫做指数函数，自变量x 叫指数，a 叫底数 . 指数函数的定义域是 R . 指数运算法则： 指数运算法则 指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 的图象： 指数函数图象（分两种情况） 指数函数的主要性质： ① 指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 定义域为 R ，值域（0，+∞）； ② 函数 y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上递增，函数 y = a^x ( 0 < x < 1 ) 在 R 上递减； ③ 指数函数的图象经过点（0 , 1）. 3、反函数 一般地，对于函数 y = f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A， 如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y = f(x) , 这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y = f(x) 的反函数，记作 x = f-1(y) , 习惯上自变量常用x 来表示，而函数用 y 来表示，所以把它改写为 y = f-1(x) (x∈A) . (1) 反函数的判定： ① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数； ② 定义域上的单调函数必有反函数； ③ 周期函数不存在反函数； 基本初等函数 中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。 一、一次函数 初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下…… 画出以下解析式的图像：要求快 （1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x 根据以下条件，设出一次函数的解析式： (1)直线经过(1,2)点 (2)直线的斜率是2 总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。 二、二次函数 二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质． 1、二次函数的三种表示形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))； (3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)) 求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已 Eg：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式． Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1. ∴已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a. ∵x21＋x22＝7 即(x1＋x2)2－2x1x2＝7 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥⎧==⎨ -<⎩． （二）分数指数幂的概念 1、 正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2 、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ?0) a ?p ? 1/a p (a ?0；p ?N ?) 4、指数幂的运算性质 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈ （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f = （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21< 四、底数的平移 对于任何一个有意义的指数函数： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 即“上加下减，左加右减” 五、幂的大小比较 常用方法（1）比差（商）法： （2）函数单调性法； （3）中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与 C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。 注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 例如：y 1=34,y 2=35 （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：y 1=（1/2）4,y 2=34 , （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较 ①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、 1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。 ② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与 “1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大 异小”。即当底数a 和1与指数x 与0之间的不等号同向时，a x 大于1，异向 时a x 小于1. 对数函数及其性质 一、对数与对数的运算 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作： N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②x N N a a x =⇔=log ； ③注意对数的书写格式．N a log 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ； ② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b a ＝ N ⇔log a N ＝ b 函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结 函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。 一、命题热点 分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 20XX 年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 二、知识点总结 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（χχχ cos sin 、、a 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔. ⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 第一讲：三大基本初等函数 一、一元二次函数：()()0442222≠-+⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+=++==a a b ac a b x a c bx ax x f y 01性质：以0>a 为例： （1）开口向上； （2）对称轴：a b x 2-=； （3)单调性：在⎥⎦⎤ ⎝ ⎛-∞-a b 2,↓；在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ↑ （4）定义域：R ；值域：⎪⎪⎭ ⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ； （5）()x f 零点个数：∆。 02最值：()()02 ≠++==a c bx ax x f y 在[]n m ,上的最值：（三点一轴） ()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧+>-+≤-=22,22,max n m a b m f n m a b n f x f ， 注：比较对称轴与区间的中点的大小，两种情况； ()()()⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧>-≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=n a b n f n a b m a b f m a b m f x f 2,2,22,min 注：比较对称轴与区间两个端点的大小关系，三种情况。 典型例题： 例1：已知函数()122 --=x x x f ，求()x f 在区间[]1,+t t 上的最大值()t M 与最小值()t N 。 答案：()⎪⎩ ⎪⎨⎧>-≤--=21,221,1222t t t t t t M ； ()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<-=1,1210,20,222t t t t t t t N 变式：求()()t N t M -？ 例2：已知函数()4 212a ax x x f -++-=在区间[]1,0上最大值为2，求a 的值。 解析：法一：分类讨论求最值； 法二：利用最大值只可能在两端点或对称轴处取得，求出a ，再检验。 基本初等函数主要性质 五类基本初等函数是高中函数的基础和根本，要想对函数问题有一个全面的认识，并能对函数问题快速解决，就必须在牢记基本知识的前提下重点识记基本初等函数的性质。 高中学生所学科目多，新课改以来，降低了考察的深度，但增加了考察的广度，也就意味着要想取得好成绩，就必须大量的记忆知识点和平时做过的试题。高中数学180多个知识点，常考知识点50多个，记不住，记不牢是常有的事情，谁都有知识漏洞，多记多背多练，培养题感，连蒙带猜。 高中所研究的函数性质： ①定义域：使函数有意义的自变量x 的取值范围； ②值域：x 在对应法则f （解析式）作用下确定的应变量()x f y =的取值范围； ③单调性：函数在定义域上的增减性（随着x 由小到大，函数图象的升降）； ④奇偶性：函数在关于原点对称的定义域上的对称性（图象关于原点或关于y 轴对称）； ⑤周期性：函数图象在定义域上重复出现的性质； ⑥对称性：函数图象在定义域上关于点和线的对称性（点对称或轴对称） ⑦图象：在确定了上述函数的性质以后利用点动成线特性描点获取的几何形象。 一、函数定义域 ①求函数() 431ln 2+--+=x x x y 的定义域； ②若()x x x f -+=11ln ，求()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+=x f x f y 12的定义域； ③若() 22-=x f y 定义域为[]21，，求()x f y =的定义域。 二、函数值域（函数最值） 求函数值域方法：配方法；反解法；判别式法；换元法；不等式法；单调性法；求导法等。 ①求函数642-+-=x x y 的值域（最值）； ②求函数x x y cos 1sin 1+-= 的值域（最值）； ③求函数4 32+= x x y 的值域（最值）。 函数及其基本初等函数 〖1.1〗函数及其表示 【1.1.1】函数的概念 (1)函数的概念 ①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x , 在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则 f )叫做集合A到B的一个函数，记作f : A》B . ②函数的三要素：定义域、值域和对应法则.(所以进行已知对应关系f (x)的函数，一定先求出 函数的定义域) ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设a,b是两个实数，且a :：: b，满足a mx乞b的实数x的集合叫做闭区间，记做 ［a,b］; 满足a ::: x :: b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b);满足a _ x ：：：b，或 a ：：： x _ b 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a,b) , (a,b］；满足 X_a X，a x , b x 的实数x 的集合分别记做［a, •：：),( a, •：：),(-：：,b］,(-：：,b). 注意：对于集合｛x|a ：：：x ::: b｝与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 a ::: b ,(前者可以不成立，为空集；而后者必须成立) •而且无论闭区间或者开区间， a,b均称为端点。 (3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数. ②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数. ③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等 于1. n ⑤y =tan x 中，x = k (k Z). 2 ⑥零(负)指数幕的底数不能为零. 六大基本初等函数图像及其性质 1. 幕函数的图像： y x 2 / ■ 2. J 性质 函数 一、 y x 2 y x 3 y x 1 y 卡 1 y x 定义域 R R R [0,+ g ) {x|x 工 0} 值域 R [0,+ g ) R [0,+ g ) {y|y 丰 0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 [0,+ g )增 增 增 (0,+ g )减 (-g ,0]减 (-g ,0)减 公共点 （1,1） 六大基本初等函数图像及其性质 、常值函数（也称常数函数） y 二C （其中C 为常数）； 常数函数（y C ） C 0 C 0 y 」 -------------- y C y J y o O A O 平行于x 轴的直线 y 轴本身 定义域R 定义域R 、幂函数y x ， x 是自变量，是常数; x O y x y x 幂函数的性质； 六大基本初等函数图像及其性质 1）当a为正整数时，函数定义域为区间为X （,），他们图形都经过原点，并当a >1时在原 点处与X轴相切。且a为奇数时，图形关于原点对称；a为偶数时图形关于y轴对称； 2）当a为负整数时。函数的定义域为除去X=0的所有实数； 3）当a为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0, +8）, n为奇数时函数的定义域为（- n 8，+ 8）,函数的图形均经过原点和（1 ,1 ）； 4）如果m>n图形于x轴相切，如果m 实数指数幕的运算性质 3 1」 r s r +s x o (1) aa = a (a >0, r , s € R). 2 • 2 = L = 3 3 (2) (a r )s = a2(a >0, r , s € R). r r r (3) (ab) = a b (a >0, b > 0, r € R ). 1. 指数函数的定义 一般地，函数 _________________ (a>0,且a 工1)叫做指数函数，其中 x 是自变量. 2. 指数函数的图象和性质 a 的范围 a>1 0 3、 对数的基本性质 ⑴负数和零没有对数: ⑵Iog a 1 = ____ (a >0,且 a M 1): (3)log a a = _____ (a >0,且 a M 1). 4、 对数恒等式：(1)log a a b = _________________ : (2)a Iog a N = ___________________ 5、 对数的运算性质 如果 a>0，且 a M 1, M>0, N>0 那么： (1) Jog a M + log aN = ______________ (2)Jlog a M — log jN = ________________ 6、换底公式 __ log 2 b (a>0，且 a M 1: c>0，且 CM 1: b>0). ln a ______ 1. 对数函数的定义 一般地，我们把函数 _______________ (a>0，且a M 1)叫做对数函数，其中 x 是自变量, 函数的定义域是 _____________ . 2. 对数函数的图象及性质 a 的范围 0v a v 1 a > 1 图象 1 尸 ° * 性 质 定义域 即N 值域 (3)nIog a M = (n € R ). (4) log a m b n = ___________________ log c b logab = 亦 lgb 1、指数式与对数式的互化及有关概念. 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数 （μ 是常数） 叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ 是什么数而定。 但不论μ 取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -551015 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数； 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方， 且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数是单调增加的。若0 2．对数函数 由此可知 ，今后常用关系式 ， 如： 指数函数的反函数，记作 （a 是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。 它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x 对称（图1-22）。 的图形总在y 轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ ) 内函数值为正。 若0 《指数函数》知识点汇总 1、根式的基本性质 ⎪⎩⎪⎨ ⎧>±=⇔>∈=为偶数，为奇数 n a a n a x n N n a x n n n )0(,)1,( a a n n =)(（n 是大于1的自然数） n n n b a ab ⋅=（的整数是大于1,0,0n b a ≥≥） b a b a n n n =)1,0,0(的整数是大于n b a >≥ ⎩⎨⎧=为偶数 为奇数 n a n a a n n |,|, ||2a a = n m n m a a =（1,,,0>∈>+n N n m a 且） n m np m p a a =（1,,,,0>∈>+n N p n m a 且） n m n m n m a a a 1 1= = - （1,,,0>∈>+n N n m a 且） )1,,0(的整数都是大于n m a a a mn n m >= 2、指数幂及运算性质 n m n m a a a +=⋅（R n m b a ∈>>,,0,0） ),,0,0(R n m b a a a a n m n m ∈>>=- mn n m a a =)(（R n m b a ∈>>,,0,0） n n n b a b a =⋅)(（R n m b a ∈>>,,0,0） 3、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且的图象和性质 )1(>=a a y x )10(<<=a a y x 函数图象 函数性质 （1）定义域：R ； （2）值域：),0(+∞； （3）过定点)1,0(； （4）当0>x 时，1>y ； （4）当0>x 时，10< 一、一次函数与二次函数 （二）二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3 单调区间 ,2b a ⎛ ⎫-∞- ⎪ ⎝ ⎭递减 ,2b a ⎛⎫- +∞ ⎪⎝⎭ 递增 ,2b a ⎛ ⎫-∞- ⎪ ⎝ ⎭递增 ,2b a ⎛⎫ - +∞ ⎪⎝⎭ 递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b x a =- 顶点坐标是24(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时， 2 min 4()4ac b f x a -= ；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2 max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．(完整版)六大基本初等函数图像与性质
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