例说中学数学部分问题的高等数学背景

高中数学经典问题背景高中数学中有很多经典的问题背景，以下是其中一一些例子:1.等差数列与等比数列:等差数列和等比数列是高中数学的基础内容，涉及到很多实际问题，如存款.贷款、人口增长等。

这些问题背景可以帮助学生理解等差数列和等比数列的基本概念和性质。

2.函数与方程:函数与方程是高中数学的核心内容之一,涉及到很多实际问题，如物价、路程、面积、体积等。

这些问题背景可以帮助学生理解函数与方程的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。

3.三角函数:三角函数是高中数学中的重要内容，涉及到很多实际问题，如测量、航海、航空等。

这些问题背景可以帮助学生理解三角函数的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。

4.立体几何:立体几何是高中数学中的重要内容之一, 涉及到很多实际问题，如建筑设计、机械制造、地理测显等。

这些问题背景可以帮助学生理解立体几何的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。

5.概率与统计:概率与统计是高中数学中的重要内容之一，涉及到很多实际问题，如天气预报、医学诊断、金融投资等。

这些问题背景可以帮助学生理解概率与统计的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。

6.数列与数学归纳法:数列与数学归纳法是高中数学中的重要内容之一。

涉及到很多实际问题，如计算机科学、物理学、化学等。

这些问题背景可以帮助学生理解数列与数学归纳法的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。

7.不等式:不等式是高中数学中的重要内容之一, 涉及到很多实际问题，如资源分配、最优化问题等。

这些问题背景可以帮助学生理解不等式的基本概念和性质。

以及它们在实际问题中的应用。

8.解析几何:解析几何是高中数学中的重要内容之一, 涉及到很多实际问题，如建筑设计、机械制造、计算机图形学等。

这些问题背景可以帮助学生理解解析几何的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。

以上只是部分例子，实际上高中数学中还有很多其他经典的问题背景。

这些问题背景不仅可以帮助学生理解数学知识，还可以提高他们的数学应用能力和解决问题的能力。

高二数学教学中的数学史与应用背景知识介绍数学是一门古老而又深刻的学科，它不仅包含许多精妙的理论和方法，还在许多实际领域中发挥着重要作用。

在高二数学教学中，了解数学史与应用背景知识可以帮助学生更好地理解和应用数学概念。

本文将介绍数学史与数学应用背景知识在高二数学教学中的重要性，并举例说明其实际应用。

一、数学史在高二数学教学中的重要性了解数学史有助于学生更好地理解数学概念的来龙去脉。

数学作为一门独立的学科，在古代的发展过程中积累了丰富的知识和经验。

通过学习数学史，学生可以看到数学的发展脉络和思维方式的演变，从而更好地理解数学的内涵和方法。

另外，数学史的学习可以激发学生的学习兴趣和学习动力。

通过了解伟大数学家的故事和他们对数学的贡献，学生可以受到榜样的启发，激发他们对数学的热爱和追求卓越的精神。

二、应用背景知识在高二数学教学中的重要性数学应用背景知识的学习是高二数学教学中的重要环节。

在实际应用中，数学常常与其他学科和领域相结合，发挥着重要的作用。

通过学习数学应用背景知识，学生可以更好地理解数学的应用场景，提高他们的实际问题解决能力。

例如，在金融领域中，利率计算是一个重要的应用。

学生了解到复利的概念和计算方法后，可以应用到实际情境中，帮助他们理解和计算在银行贷款、利息等方面的问题。

再如，在物理学中，数学也发挥着重要的作用。

学生学习了数学应用背景知识后，可以更好地理解和运用牛顿定律、运动方程等物理概念，并能够将其转化为数学模型进行计算和分析。

三、数学史和应用背景知识的实际应用举例在高二数学教学中，我们可以通过一些实际案例来介绍数学史和应用背景知识的实际应用。

首先，我们可以介绍一下数列的历史和应用。

数列是数学中重要的概念之一，它在数学史上有着较长的历史。

从古代的斐波那契数列到现代的等差数列、等比数列，数列具有许多有趣的性质和应用。

我们可以通过介绍斐波那契数列在自然界中的出现和应用，例如植物的分枝规律、蜂巢的排列方式等，来引起学生对数列的兴趣，并理解数列的重要性和应用之处。

高中数学经典问题背景高中数学是理科生必修的一门学科，不仅考察学生对基本概念的掌握和运用能力，还要求学生具备一定的逻辑思维和解决问题的能力。

在高中数学中，有一些经典问题备受关注，这些问题既有一定的难度，又能锻炼学生的思维能力。

下面将为大家介绍一些高中数学经典问题的背景。

一、排列组合排列组合是高中数学中的重要内容，它涉及到选择和安排对象的方式。

排列指的是从若干元素中选取一部分按照一定的顺序排列的方式；组合是指从若干元素中选取一部分不考虑顺序的方式。

在排列组合的问题中，常常涉及到计算不同颜色的球放入不同颜色的盒子中的方式、不同字母组成不同长度的字符串等等。

这些问题既有一定的难度，又可以锻炼学生的逻辑思维能力和计算能力。

二、平面几何平面几何是高中数学中的重要内容，它涉及到点、线、面等基本概念的运用。

在平面几何的问题中，常常涉及到计算图形的面积、周长、角度等信息。

例如，计算三角形的面积和周长、计算正方形的对角线长度等问题，都是平面几何的经典问题。

这些问题不仅要求学生具备对基本概念的理解，还要求学生能够灵活运用数学知识解决实际问题。

三、立体几何立体几何是高中数学中的一大难点，它涉及到空间中的点、线、面、体等概念的运用。

在立体几何的问题中，常常涉及到计算立方体、圆锥体、球体等的体积和表面积。

例如，计算正方体的体积和表面积、计算圆柱体的体积和表面积等问题，都是立体几何的经典问题。

这些问题要求学生具备对空间概念的理解，并能够运用数学知识解决实际问题。

四、函数与方程函数与方程是高中数学中的重要内容，它涉及到数学中的变量、常量、关系等的运用。

在函数与方程的问题中，常常涉及到计算函数的值、解方程、求函数的最大值和最小值等。

例如，求解一元二次方程的根、求解一元一次方程组的解等问题，都是函数与方程的经典问题。

这些问题要求学生具备对函数与方程的理解，并能够灵活运用数学知识解决实际问题。

总结高中数学经典问题背后有着丰富的数学知识和深厚的数学思维。

第1篇一、案例背景随着我国高等教育的快速发展，高等数学作为一门基础课程，在各个学科领域都扮演着重要的角色。

然而，在实际教学中，高数教学疑难问题层出不穷，影响了学生的学习效果和教学质量。

本文以某高校高数教学为背景，针对高数教学疑难问题，通过实践案例进行分析和探讨。

二、案例描述某高校高数课程面向全校各专业学生，授课对象包括理工科、文科和艺术类学生。

在实际教学过程中，教师发现以下疑难问题：1. 学生基础参差不齐由于不同专业背景的学生在高数学习上存在较大差异，导致教学过程中难以兼顾所有学生的学习需求。

部分学生基础较好，能够较快掌握高数知识，而另一部分学生则面临较大的学习困难。

2. 教学方法单一传统的教学模式以教师讲授为主，学生被动接受知识，导致学生缺乏主动学习和探索的能力。

此外，教师对教学方法的创新不足，难以激发学生的学习兴趣。

3. 实践环节薄弱高数课程具有很强的实践性，但在实际教学中，教师对实践环节的重视程度不够，导致学生缺乏实际操作能力。

4. 评价体系单一高数课程评价主要以考试成绩为主，忽视了学生的过程性评价，难以全面了解学生的学习情况。

三、案例分析针对上述疑难问题，教师采取以下措施进行实践探索：1. 分类教学，因材施教针对学生基础参差不齐的问题，教师根据学生的实际情况，将学生分为A、B、C三个层次。

A层次学生具备较强的学习能力和兴趣，教师适当提高教学难度，引导他们进行拓展学习；B层次学生基础一般，教师着重加强基础知识的教学，提高他们的学习兴趣；C层次学生基础较差，教师从最基本的知识点入手，逐步帮助他们提高学习能力。

2. 创新教学方法，激发学习兴趣教师采用多种教学方法，如翻转课堂、小组合作、案例分析等，激发学生的学习兴趣。

在翻转课堂中，学生课前自主学习，课堂上教师进行辅导和答疑，提高学生的学习效率；在小组合作中，学生通过讨论、交流，培养团队合作能力；在案例分析中，学生结合实际问题，运用所学知识进行解决，提高实践能力。

一道高考数学试题的高数背景廖运章 朱亚丽(广州大学 数学与信息科学学院 510006)2009年湖南高考数学理科第21题是这样的： 对于数列{}n u ，若存在常数M ＞0,对任意的*∈Nn ，恒有1121...n n n n u u u u u u M +--+-++-≤，则称数列{}n u 为B-数列.（I ）首项为1，公比为(1)q q <的等比数列是否为B-数列？请说明理由; （II ）设n S 是数列{}n x 的前n 项和，给出下列两组论断： A 组：①数列{}n x 是B-数列，②数列{}n x 不是B-数列； B 组：③数列{}n S 是B-数列；④数列{}n S 不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；（III ）若数列{}{},n n a b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列. [注]令（I ）的21-=q 、（III ）中的n n a b =，其他不变，即为2009年湖南高考数学文科第21题，以下只讨论理科题，并简称为本试题.不难发现，这道文理压轴题以开放题的形式，用数列、不等式知识作载体，考查归纳猜想、逻辑推理等重要数学思想方法，具有深刻的高等数学背景，来源于数学分析中的有界变差数列，与实变函数中的有界变差函数一脉相承. 1．命题渊源 1．1命题背景事实上，本试题直接来源于吉米多维奇的《数学分析习题集》的第86题，原题及解答如下：[NO.86]若存在数C,使得21321,(2,3,)n n x x x x x x C n --+-++-<=，则称叙列(1,2,3,)n x n =有有界变差.证明凡有有界变差的叙列是收敛的.举出一个收敛叙列而无有界变差的例子.[证] 令21324311,(2,3,)n n n n n y x x x x x x x x x x n -+=-+-+-+-+-=，则叙列{}n y 是单调增加且有界，所以它是收敛的.根据哥西收敛准则，对于任给0ε>，存在数N ，使当m n N >>时，m n y y ε-<，即1121m m m m n n x x x x x x ε---+-+-++-<，而对于叙列{}n x 有，1121m n m m m m n n x x x x x x x x ---+-=-+-++-1121||||||m m m m n n x x x x x x ε---+≤-+-++-<，所以，叙列{}n x 是收敛的. 叙列：1111111,1,,,,,,,(1)2233n n----，它是以0为极限的收敛叙列.但它不是有界变差的.事实上，213243221214322111121,23n n n n x x x x x x x x x x x x x x n --⎛⎫-+-+-+->-+-+-=+++⎪⎝⎭而序列111123n nω=+++是发散的，又是递增的，故n ω→+∞.于是2132221n n x x x x x x --+-+-不是有界的.因而收敛叙列{}n x ：1111111,1,,,,,,,(1)2233n n----无有界变差[1].另例：若令()()111111111123nn k n k x n k--==-+++-=-∑，则因 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++++-+-=--+p n n n n x x p n n p n 1)1(312111)1(1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=312111n n n114131+<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-n n n . 故由柯西判别法知lim n x x →∞存在，然而111123n S n=++++→+∞，即{}n x 并非有界变差叙列[2].随后，我国许多数学分析教科书、参考书先后将之稍作修改变形收入其中，如武汉大学数学系主编的《数学分析》（人民教育出版社，1978年）P 237的NO.3，裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》（高教出版社，2006年），刘玉琏的《数学分析辅导讲义》（高教出版社， 2001年）P57第20题，孙涛的《数学分析经典习题解析》（高教出版社，2003年） ，刘名生、冯伟贞、韩彦昌的《数学分析》（一）（科学出版社，2009年）P34的NO.13等等，有的还冠以“有界变差数列收敛定理”的名称.比较典型的问题形式有华东师范大学数学系的《数学分析》 [3]，其P40 的第6题为：若数列{}n a 满足：存在正数M ，对一切n 有21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤.证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛. 1．2命题技术从高考数学命题技术看，一是通过语言转换，将高中生不熟悉的高等数学术语“有界变差数列”用其英文简写“B -数列”（ bounded variation sequence ）这一新定义替代，高数语言初等化，保持原题条件不变，改变其结论（原题第2问的否定即是本试题的（I ）），以考查有界变差数列性质的目的，避开考生不能为之的收敛数列证明，试题的信息形态有一定新意；二是在解题思想方法上，本试题的解法与原题一样，都要求正确把握新定义“B -数列”的内涵并灵活运用绝对值不等式的插值法（添减项），更是高等数学中的常用估值技巧，涉及压缩映射原理的2006年广东高考数学理20题(Ⅲ)的证明就曾用到该估值技巧.近年来，依托高等数学背景，通过高等数学语言初等化等形式，将高等数学问题的提法转化为中学生可接受的语言来编拟高考数学试题是一种常见的命题方法，而中学数学和大学数学的衔接点则往往成为命题的焦点. 如单调有界定理是数学分析中判定数列收敛的一个奠基性定理，与中学的数列、不等式等知识联系紧密，以此背景编拟本试题就不出意料. 2．解法探究 2．1（I ）的解法本试题（I ）比较简单，只要现场认真阅读有关条件并仿照新定义进行验证即可.设满足题设的等比数列为{}n a ,则1n n a q -=；于是 21211,2n n n n n a a q q qq n -----=-=-≥，因此｜1n a +- n a ｜+｜n a -1n a -｜+…+｜2a -1a ｜=211(1...).n q q q q--++++ 1,q <∴ 21111 (11)n qq q q qq --++++=<--即11211...1n n n n q a a a a a a q+--+-++-<-，故首项为1，公比为q (1)q <的等比数列是B-数列. 2．2（II ）的解法（II ）是一个开放性问题，给考生思考的空间大，A 、B 两组可以组成八个命题：⑴①⇒③，⑵③⇒①，⑶②⇒③，⑷③⇒②，⑸①⇒④，⑹④⇒①，⑺②⇒④，⑻④⇒②.由原命题与逆否命题的等价性可知：⑴与⑻、⑵和⑺、⑶与⑹、⑷与⑸是互为逆否命题，所以本试题的八个命题可以归结为⑴、⑵、⑶、⑷这四个命题，但命题（2）真则命题（4）假，反之亦可，故问题（II ）实质上是要判断下列命题的真假：命题1：若数列{}n x 是B-数列，则数列{}n S 是B-数列. 命题2：若数列{}n S 是B-数列，则数列{}n x 是B-数列.命题3：若数列{}n x 不是B-数列，则数列{}n S 是B-数列.命题1为假命题.事实上，设1,n x n N •=∈，易知数列{}n x 是B-数列，但n S n =，且1121n n n n S S S S S S +--+-+-=12n n x x x n +++=, 由n 的任意性知，数列{}n S 不是B-数列.对于命题2，因为数列{}n S 是B-数列，所以存在正数M ，对任意的*∈N n ，有1121...n n n n S S S S S S M +--+-++-≤，即12...n n x x x M ++++≤；于是1121...n n n n x x x x x x +--+-++-1121122...222n n n x x x x x M x +-≤+++++≤+，所以数列{}n x 是B-数列，命题为真.命题3为假命题. 考虑其逆否命题⑹④⇒①：若数列{}n S 不是B-数列，则数列{}n x 是B-数列.其实，举一反例如令2n S n =，即知⑹为假命题.2．3 (Ⅲ) 的证法若数列{}n a ，{n b }都是B -数列，则存在正数1M ，2M ，对任意的,n N •∈有11211....n n n n a a a a a a M +--+-++-≤ ，11212....n n n n b b b a b b M +--+-++-≤.注意到112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-++++-+ 11221111...n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+ ， 同理 21n b M b ≤+.记111K M b =+，则有222K M b =+111111n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+-1111111n n n n n n n n n n b a a a b b K a a k b b ++-+++≤+-≤-+-，故111212112(......)n n n n K b b b b a a k M k M +--+-+-≤+，数列{}n n a b 是B -数列.3．试题拓展综上讨论，本试题主要探究有界变差数列的定义与个别性质，属于初等数学研究范畴，高中生是完全可以接受的；而吉米多维奇的原题侧重于研究有界变差数列的敛散性，是大学数学的教学内容.其实，有界变差数列与有界变差函数密切相关，有界变差函数是通过有界变差数列定义的，它们有许多相似性质.以下从纵向深入探究有界变差数列的若干性质，并从横向拓展、举例说明有界变差函数，所有讨论均限制在初等数学范围内. 3．1有界变差数列的性质一般地，设有数列{}n a ，若存在正数M ，对任意的*∈Nn ，有+-+n n a a 11--n n a a ++ M a a ≤-12，则称数列{}n a 为有界变差数列.有界变差数列又称囿变数列，在分析学中有广泛应用，以下是一些高中生能理解的有界变差数列的性质[4].[性质1] 若数列{}n a 为有界变差数列，则{}n a 必是有界数列.证明：设数列{}n a 为有界变差数列，则存在一个正常数M ，对于任意的n N +∈都有M a ani i i ≤-∑=+11.而11211a a a a a a a n n n n -+--+-=-- +-≤-1n n a a + 12a a -11a M a +≤+.取1a M C +=，存在一个常数C ，对于任何一个n N +∈，都有C a n ≤.所以，{}n a 是有界数列.[性质2] 若数列{}n a 为单调递增（递减）有界数列，则{}n a 必为有界变差数列. 证明：不妨设{}n a 单调递增有界M a n ≤，因为11111a M a a a an ni i i -≤-=-+=+∑，取1a M C -=，即C a a ni i i ≤-∑=+11，{}n a 为有界变差数列.注意：性质2的逆命题不成立，如数列 ,21,21,0,12，易验证它是有界变差数列，显然不是单调数列.[性质3] 设数列{}n a ，若存在M ,对任何n N +∈，有M ani i≤∑=1，则数列{}n a 必为有界变差数列.证明：对任何n N +∈，M a a a ani i n i i ni i i 211111≤+≤-∑∑∑==+=+.[性质4] 设数列{}n a ，{n b }都是有界变差数列，λ为常数，则⑴{}n a λ；⑵{}n n b a ±； ⑶{}n n b a ⋅；⑷⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a ，0>≥λn b ；⑸{}n a ；⑹{}n n b a ,m ax ，{}n n b a ,min 均是有界变差数列.证明：仅证⑷，其余请读者一试.此时，只需证⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为有界变差数列，再据⑶即可.211111111λi i i i i i i i i i i i b b b b b b b b b b b b -≤-=-=-++++++，∴211211111λλMb b b b n i i i ni i i ≤-≤-∑∑=+=+， 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为有界变差数列. [性质5] 数列{}n a 为有界变差数列⇔{}n a 可以表示为两个单调有界数列之差. 证明：（⇐）显然. （⇒）设{}n a 是有界变差数列，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=++∑111121n n i i i n a a a x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+=++∑111121n ni i i n a a a y ，显然{}n x ，{}n y 均为有界变差. 又[]0)(21)(21111111111≥-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=-+++-=+=++∑∑n n n n n n n i i i ni i i n n a a a a a a a a a a x x ，同理可得 01≥-+n n y y . 故{}n x ，{}n y 都是单调有界数列.[性质6] 若数列{}n a 满足条件)10;,3,2(11<<=-≤--+r n a a r a a n n n n ，称数列{}n a 为压缩变差数列，则压缩变差数列必为有界变差数列.证明： 11-+-≤-n n n n a a r a a ，∴≤≤-≤-≤----+ 21211n n n n n n a a r a a r a a121a a r n --.从而，++-+--+ 11n n n n a a a a ()122112+++++≤---r r r r a a n nM a a r r a a n≤---=-⋅121211，其中ra a M --=112.故数列{}n a 为有界变差数列.3．2有界变差函数举例有界变差函数是分析中较重要的函数类，它起源于求曲线的长度，在微分与积分的研究中起重要作用.下面通过数学问题解决的方式，举例说明.[问题1]设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点 b x x x x x a T n i i =<<<<<<=- 110:将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式M xf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）恒成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，记作],[b a BV f ∈，这里],[b a BV 表示在],[b a 上的全体有界变差函数的集合（若无特别约定，以下讨论都基于此记号）.（I ）函数2)(x x f =在]1,0[上是否为有界变差函数？请说明理由； （II ）设函数)(x f 是],[b a 上的单调函数，证明：],[b a BV f ∈；（III ）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的1x 、],[2b a x ∈时，2121)()(x x k x f x f -⋅≤-.证明：],[b a BV f ∈.解：（I ） 函数2)(x x f =在]1,0[上是增函数，∴对任意划分T ，1)0()1()()()()()()(10111=-=-++-=--=-∑f f x f x f x f x f x f x f n n ni i i ，取常数1≥M ，则和式M xf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）恒成立，所以函数2)(x x f =在]1,0[上是有界变差函数.（II ）不妨设函数)(x f 是],[b a 上的单调增加， 对任意划分T ，)()()()()()()()(10111a f b f x f x f x f x f x f x f n n ni i i -=-++-=--=-∑，∴一定存在一个常数0>M ，使M a f b f ≤-)()(，故],[b a BV f ∈.（III ） 对任意划分T ，)()()(1111a b k x x k x f x f ni i i ni i i -=-≤-∑∑=-=-，取常数)(a b k M -=，∴由有界变差函数定义知],[b a BV f ∈.[问题2]（1）设],[b a BV f ∈，求证：)(x f 是],[b a 上的有界函数.（2）设],[,b a BV g f ∈，求证：],[b a BV g f ∈±，],[b a BV g f ∈⋅，)0)((],[/>≥∈σx g b a BV g f ；（3）设],[,b a BV g f ∈，且βα,是任意两个常数，求证：],[b a BV g f ∈+βα. 注：此问题类似于性质1和性质4的证法，请读者给不妨一试，此略.[问题3] 若)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，试证：)(x f 也是],[b a 上的有界变差函数.反之，若)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，)(x f 是否为],[b a 上的有界变差函数？请说明理由.解：对],[b a 的任意划分T ，存在常数0>M ，使和式Mxf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）. M x f x f x f x f ni i i ni i i ≤-≤-∑∑=-=-1111)()()()(，∴)(x f 是],[b a 上的有界变差函数.反之，就不一定成立，如函数⎩⎨⎧-=.]10[1]10[,1)(中的有理数，为，中的无理数；，为x x x f 作]1,0[的划分T ：122214241222122011<<<<<<<<<-- n n n，则和式n n x f x f n i i i 42)2()()(11=⋅=-∑=-.显然，不存在一个常数0>M ，使对任意的n N +∈，M n ≤4恒成立，故)(x f 不是]1,0[上是有界变差函数.但若函数1)(≡x f ，]1,0[∈x ，显然)(x f 是有界变差函数[5].总之，借用或包装高等数学概念、用初数语言叙述高等数学原理、保持数学解题思想方法一致等，高等数学语言初数化以编拟高考数学试题，是当前高考数学命题惯用的重要手法之一，在于考查学生数学现场阅读理解等学习潜能以及数学创新意识，不容忽视.参考文献：[1] 吉米多维奇著，费定辉，周学圣编演.数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社.1980. [2] 吉米多维奇著，曹敏谦译.数学分析习题集题解[M]. 上海：上海交通大学应用数学系编印，1979. [3] 华东师范大学数学系.数学分析（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.[4] 胡玲.关于囿变数列及其特征的若干主注记[J].安徽广播电视大学学报(自然科学版)，2007，（01）. [5] 上海师范大学数学系.实变函数与泛函分析（上册）[M]. 上海：上海科技教育出版社，1978.。

浅析高考题中的高等数学背景湖南省株洲市茶陵一中有些试题把中学数学的知识巧妙地用高等数学中的符号、形式加以叙述，或以高等数学中著名定理、经典的思想方法为背景，这些试题拓展了知识领域，开阔了数学视野，有利于高等数学与中学数学在形式或思想方法上的和谐接轨.我们一起来看看下面的例子：一．以抽象代数中的运算系统为背景例1.(2001年上春季高考试题)若记“*”表示两个实数a 与b 的算术平均数 的运算，即2b a b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对任意三个实数a 、b 、c 都成立的一个等式是 .解：)(c b a *+＝2c b a ++＝2)()(c a b a +++＝)()(c a b a +*+. 故满足条件的等式可以是)(c b a *+=)()(c a b a +*+. (类似可推c b a +*)(=)()(c b c a *+*等. )二．以矩阵知识为背景例2．（2003北京高考题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学，都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…k. 规定同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=)(,0)(,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中=i 1，2，3，…k ，且=j 1，2，3，…k. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）.(A). k k a a a a a a 2222111211+++++++(B). 2221212111k k a a a a a a +++++++(C). 2122211211k k a a a a a a +++(D). k k a a a a a a 2122122111+++ .解：由乘法原理和加法原理可得，答案为(C).三．以区间套定理为背景例3．(2003年上海卷)方程18lg 3=+x x 的根≈x （结果精确到0.1）.解：显然2<x <3. 设)(x f =x x lg 3+18-，则0)5.2(<f ，故2.5<x <3. 又因为0)7.2(>f ，所以2.5<x <2.7，由于结果精确到0.1，所以6.2≈x四．以凹凸函数概念为背景例4.（2002北京理）如图所示，)(x f i ()4,3,2,1(=i 是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0,1]中任意的1x 和2x ,任意∈λ [0,1], [])()1()()1(2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）.A. )(1x f 与)(3x fB. )(2x fC. )(2x f 与)(3x fD.)(4x f解：易知，)(3x f 是正比例函数，必满足条件. 故结论只可能是A 或C. 在已知条件中令21=λ，得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，显然，要满足此条件，)(x f 的图象只能“向下凹”，不可“向上凸”，故选A.高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，例如函数，它既是中学数学的重要知识，也是在高等数学中要继续深入研究的重要对象. 且有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现. 这些试题既能考查学生能力，又有利于高等数学与中学数学在知识内容上的和谐接轨. 我们作为高中数学教师，在平时的教学上也应该注意这种考题的探究，引导学生树立这种意识！。