机械优化设计课后习题答案

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机械优化设计课后习题答案

5
6 0 海赛矩阵H ( X ) 0 4
a 各阶主子式： a11 6 0，11 a 21 a12 a 22 6 0 0 0 4
H(X)是正定的，所以， f (X) 为凸函数。
得：极值点 X* [1/ 3 1/ 4]T ，极值f ( x* ) 229/ 24
X( k ) ( k )S( k ) 的几何意义。
2-2 已知两向量 P 1 [1 2
2 0]T , P 2 1]T ,求该两向量之间的夹角。 2 [2 0
2-3 求四维空间内两点 (1,3,1,2) 和 (2,6,5,0) 之间的距离。 2-4 计算二元函数 f (X) x13 x1 x22 5x1 6 在 X(0) [1 1]T 处，沿方向
x1 d 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = x2 D2 ； n x3
（2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：
1
f(X) =
2
4
rx1 x2 x3
2
（3）本问题的最优化设计数学模型： min s.t. f (X) =
2
4
rx1 x2 x3
2
X∈R
3·
g1(X) =0.5-x1 ≤0 g2(X) =10-x2 ≤0 g3(X) =x2-50 ≤0 g4(X) =3-x3 ≤0 g5(X) = (1
x1 8Fx2 ) ≤0 2 x2 x13
3
8Fx2 x3 g6(X) = ≤0 4 Gx1
求：
2、 3、 4 时的四条等值线，并在图上 (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为 f ( X) 1、

机械优化设计试题及答案

机械优化设计试题及答案### 机械优化设计试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共10分）1. 机械优化设计的最基本目标是什么？- A. 最小化成本- B. 最大化效率- C. 确保安全性- D. 以上都是2. 以下哪个是优化设计中常用的数学方法？- A. 线性代数- B. 微积分- C. 概率论- D. 几何学3. 在进行机械优化设计时，以下哪个因素通常不是设计变量？ - A. 材料选择- B. 尺寸参数- C. 工作温度- D. 制造工艺4. 机械优化设计中，约束条件通常包括哪些类型？- A. 应力约束- B. 位移约束- C. 速度约束- D. 所有上述5. 以下哪个软件不是用于机械优化设计的？- A. ANSYS- B. MATLAB- C. AutoCAD- D. SolidWorks#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述机械优化设计的基本步骤。

2. 解释什么是多目标优化，并举例说明其在机械设计中的应用。

#### 三、计算题（每题15分，共30分）1. 假设有一个机械臂设计问题，需要优化其长度以获得最大的工作范围。

如果机械臂的长度 \( L \) 与工作范围 \( R \) 的关系为 \( R = L \times \sin(\theta) \)，其中 \( \theta \) 是机械臂与水平面的夹角，\( 0 \leq \theta \leq 90^\circ \)，求当 \( \theta = 45^\circ \) 时，机械臂的最佳长度 \( L \)。

2. 考虑一个简单的梁结构，其长度为 \( 10 \) 米，承受均布载荷\( q = 10 \) kN/m。

若梁的弯曲刚度 \( EI \) 为 \( 1 \times10^7 \) Nm²，求梁的最大挠度 \( \delta \)。

#### 四、论述题（每题15分，共30分）1. 论述机械优化设计在现代制造业中的重要性。

(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计

1.Fibonacci法—理想方法，不常用。
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得：；；
要求：
设函数用经过3点的抛物线代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法，，随机数。
比较各次得到的得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点，因（约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数，，，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点得搜索方向。以为起点，为搜索方向得。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令为尺度变换矩阵

《机械优化设计》第6章习题解答-2资料

8．有一汽门用弹簧，已知安装高度H1=50.8mm,安装（初始）载荷F1=272N ，最大工作载荷F2=680N ，工作行程h=10.16mm 弹簧丝用油淬火的50CrV A 钢丝，进行喷丸处理；工作温度126°C ；要求弹簧中径为20mm ≤D2≤50mm ，弹簧总圈数4≤n1≤50，支承圈数n2=1.75，旋绕比C ≥6；安全系数为1.2；设计一个具有重量最轻的结构方案。

[解] 1．设计变量：影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径：d ，弹簧中径D1和弹簧总圈数n1，可取这三个参数作为设计变量：即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 212．目标函数：弹簧的重量为式中 ρ――钢丝材料的容重，目标函数的表达式为3221611262101925.0108.725.0)(x x x n D d x F --⨯=⨯⨯=π３．约束条件：１）弹簧的疲劳强度应满足min S S ≥式中 2.1m i n m i n =--S S ，可取最小安全系数，按题意S ――弹簧的疲劳安全系数，由下式计算：m s s s S ττττττττα⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002式中：劳极限，计算方法如下弹簧实际的脉动循环疲--0τ初选弹簧钢丝直径：4mm ≤d ≤8mm ，其抗拉强度MPa b 1480=σ，取弹簧的循环工作次数大于710，则材料的脉动循环疲劳极限为MPa b 44414803.03.0'0=⨯==στ设可靠度为90％，可靠性系数 868.0=r k ；工作温度为126°C ，温度修正系数 862.0126273344273344=+=+=T k t再考虑到材料经喷丸处理，可提高疲劳强度10％，则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为MPa k k t r 4.365444862.0868.01.1)1.01('00=⨯⨯⨯=+=ττ36/107.8mm kg -⨯=ρρπ12220.25n D d W =--s τ弹簧材料的剪切屈服极限，计算公式为MPa b s 74014805.05.0=⨯==στ--ατ弹簧的剪应力幅，计算公式为328dD F ka πτα=式中 k ――曲度系数，弹簧承受变应力时，计算公式为14.02)(6.1615.04414d D C C C k ≈+--=a F ――载荷幅，其值为N F F F a 2042/)272680(2/)(12=-=-=m τ――弹簧的平均剪应力，计算公式为328dD F k m sm πτ=式中s k ――应力修正系数，计算公式为dD C k s /615.01615.012+=+= m F ――平均载荷，其值为N F F F m 4762/)272680(2/)(12=+=+=由此，得到弹簧疲劳强度的约束条件为计算剪应力幅ατ：86.2186.023214.023.8308)/(6.1x x d D F d D dD F ka a =⋅==ππτα328 计算平均应力幅m τ：21312246.74512.1212615.01x x x d D F Dd dD F k m m sm +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==33288ππτ 计算弹簧的实际疲劳安全系数S ：mms s s S τττττττττταα494.0506.14.365+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0002从而得到弹簧的疲劳强度约束条件为012.1)(min 1≤-=-=SS S S x g ２）根据旋绕比的要求，得到约束条件016)(21min 2≤-=-=x x C C C x g３）根据对弹簧中径的要求，得到约束条件50222≤-=-=≤-=-=1)4(0120)3(max max 242min 3x D D D g x D D D g４）根据压缩弹簧的稳定性条件，要求：c F F ≤2式中 c F ――压缩弹簧稳定性的临界载荷，可按下式计算：K H D H F C ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2022085.611813.0μ 式中 K ――要求弹簧具有的刚度，按下式计算：mm N h F F K /2.4016.1027268012=-=-=0H ――弹簧的自由高度，按下式计算：当mm K F 16.9240.26802===λ 时， 304.20)5.0(2.1)5.0(310+-=+-=x n H λμ――长度折算系数，当弹簧一端固定，一端铰支时，取 7.0=μ；则：[][]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-=221398.1311304.20)5.0(268.320.3040.5)(13x x x x x F C于是得 01680)(25≤-=-=CC C F F F F x g5）为了保证弹簧在最大载荷作用下不发生并圈现象，要求弹簧在最大载荷2F 时的高度2H 应大于压并高度b H ，由于13112)5.0()5.0(64.4016.108.50x x d n H h H H b -=-==-=-=于是得到010123.00246.0)(131226≤--=-=x x x H H H x g b６）为了保证弹簧具有足够的刚度，要求弹簧的刚度αK 与设计要求的刚度K 的误差小于1/100，其误差值用下式计算：401.02.40)75.1(8100/)(33241---=--=x x Gx K K K αθ式中 G ――弹簧材料的剪切弹性模量，取G=80000Mpa 。

机械优化设计研究生课后作业

第一章思考练习1-1、优化设计问题的数学模型是由哪几部分组成的？其一般表达形式是什么？答：优化设计数学模型是优化设计的数学描述，它由三部分组成：设计变量、约束条件和目标函数。

设计变量是可供调整变化以改进设计的设计参数。

N 个设计变量构成一个N 维设计向量：[]TN x x x X ,,,21K K =约束条件是优化设计中为取得可行设计，须根据实际要求、客观条件对设计加的种种限制。

一般表达式：0),,,()(21==N j j x x x h X h K K )~1(D J j =0),,,()(21≤=N j j x x x g X g K K )~1(J j =目标函数是衡量设计方案X 优劣程度的数值指标,一般使设计变量的某种性态函数。

一般表达式：),,,()(21n x x x f X f K K = 它的数学模型一般表达式为：Find []N TN R x x x X ∈=,,,21K KMin )(X f s.t. 0)(=X hj )~1(D J j =0)(=≤X g j )~1(J j =1-2、建立优化设计问题数学模型的一半步骤及其需要注意的问题是什么？答：一、选取设计变量需要注意的问题：（1）设计变量必须是独立变量，有明显依赖关系得变量仅取其一。

（2）设计变量的选取与优化层次及优化问题的提法有关。

（3）设计变量的数目要适当，过多会使问题变得复杂，求解困难；过少则优化效果差。

应选取确有显著影响且能直接调整控制的参数为设计变量。

二、建立目标函数需要注意的问题：（1）可能是：重量、体积、效益、承载能力、安全度、可靠性、寿命、精度、误差、振动基频、运动误差、速度、加速度、效率等。

具体选取哪个取决于对设计的具体要求和客观条件。

（2）根据工程实际情况定：选最重要的为优化目标。

（3）有当前设计方案的实际情况确定。

（4）应考虑指标是否容易给出数学表达。

（5）要可解析、可数值、可经验、可近似。

机械优化计划自编习题及参考答案 09 zhl

f x2
f x2
cos 2 xo
T xo
方向上的单位向量，则有
f（x1，x2）在 x0 点处沿某一方向 d 的方向导数 f 等于函数在该点处的梯度 d xo
f (x0) 与 d 方向单位向量的内积。

并称它为函数
梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值。
答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验（探索性的计算），并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。因此，它是实际问题中常用的方法，很受重视。其中具体方法较多，并且目前还在发展。但是，应当指出，对于复杂问题，由于不能把所有参数都完全考虑并表达出来，只能是一个近似的最后的数学描述。由于它本来就是一种近似，那么，采用近似性质的数值方法对它们进行解算，也就谈不到对问题的精确性有什么影响了。不管是解析解法，还是数值解法，都分别具有针对无约束条件和有约束条件的具体方法。可以按照对函数倒数计算的要求，把数值方法分为需要计算函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数（即只要计算函数值而不需计算其导数）的方法。
利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足

《机械优化设计》习题及答案1word版本

机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。

答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。

在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。

求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(，则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。

（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。

（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。

梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。

负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。

2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。

解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。

求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。

机械优化设计课后答案

机械优化设计课后答案【篇一：机械优化设计第5章习题参考答案】?4000.333?时， f(x*)??cjxj??5.567。

t第2题答案：x??2024840 0?，z??428。

*t第3题提示：求解方法可参考第四节中的应用实例。

第4题提示：如果设x1、x2、x3、x4、x5分别以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五种下料方式所用钢材的件数，则此问题的数学模型是：求一组xj(j?1,2,?,5)的值，满足下列限制条件x1?2x2 ?x4 ?100?2x3?2x4?x5 ?100???3x1?x2?2x3 ?3x5?100?xj?0 (j?1,2,?,5)??使总的尾料z?0.1x2?0.2x3?0.3x4?0.8x5 达到最小。

【篇二：《机械优化设计》复习题答案】xt>一、填空题1、用最速下降法求f(x)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最优解时，设x（0）＝[-0.5,0.5]t，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]t。

2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是，二是。

3、当优化问题是的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。

4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高－低－高趋势。

5、包含n个设计变量的优化问题，称为维优化问题。

6、函数 1txhx?btx?c的梯度为。

28模型的基本要素。

9、对于无约束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是10约束函数梯度的非负线性组合。

11、用黄金分割法求一元函数f(x)?x2?10x?36的极小点，初始搜索区间[a,b]?[?10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为12、优化设计问题的数学模型的基本要素有、。

?1?h13、牛顿法的搜索方向dkkgk，其计算量且要求初始点在极小点置。

14、将函数f(x)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成1txhx?btx?c 的形式215、存在矩阵h，向量 d1，向量 d2，当满足t d1和向量 d2是关于h共轭。

《机械优化设计》孙靖民哈尔滨工业大学课后答案

2）计算去掉最坏点
x
0 2
后的复合形的中心点：
∑ x
0 c
=
1 L
3 i =1
x
0 i
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
⎡2⎤ ⎢⎣1 ⎥⎦
+
⎡3⎤ ⎢⎣3⎥⎦
⎟⎟⎠⎞
=
⎡2.5⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
+
⎡3⎤ ⎢⎣3⎥⎦
i ≠2
3）计算反射点
x
1 R
（取反射系数α = 1.3 ）
x
1 R
=
x
0 c
+ α (x
0 c
−
x
0 2
试求在 x k = [0 1/4 1/2]T 点的梯度投影方向。
[解] 按公式 6-32 d k = −P∇f (x k ) / P∇f (x k ) 计算适用的可行方向：
x k 点的目标函数梯度为： ∇f (x k ) = [− 0.125 0.25 − 1]T
x k 点处起作用约束的梯度 G 为一个 n ⋅ J 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：
s ⋅t
g1(x ) = − ln x 1 ≤ 0
h2 (x ) = x 1 + x 2 −1 ≤ 0
[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：
subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(1) end subroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1))] gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) end subroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=x(1)+x(2)-1 end 然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

机械优化设计试题及答案

机械优化设计试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在机械优化设计中，目标函数通常代表的是（）。

A. 设计变量B. 约束条件C. 优化目标D. 优化方法答案：C2. 以下哪一项不是机械优化设计的约束条件？（）A. 几何约束B. 材料约束C. 经济约束D. 工艺约束答案：A3. 机械优化设计中，常用的优化算法有（）。

A. 梯度法B. 遗传算法C. 牛顿法D. 所有选项答案：D4. 在进行机械优化设计时，下列哪个因素不是设计者需要考虑的？（）A. 材料成本B. 制造工艺C. 产品重量D. 产品颜色答案：D5. 机械优化设计中，目标函数的最小化问题通常指的是（）。

A. 成本最小化B. 重量最小化C. 体积最小化D. 所有选项答案：D6. 以下哪个不是机械优化设计中常用的优化目标？（）A. 最小化成本B. 最大化寿命C. 最小化尺寸D. 最大化速度答案：D7. 在机械优化设计中，下列哪一项不是常用的设计变量？（）A. 尺寸B. 形状C. 材料D. 颜色答案：D8. 机械优化设计中，以下哪一项不是常用的优化方法？（）A. 线性规划B. 非线性规划C. 动态规划D. 静态规划答案：D9. 在机械优化设计中，以下哪一项不是常用的优化算法？（）A. 模拟退火B. 遗传算法C. 粒子群优化D. 牛顿迭代法答案：D10. 机械优化设计中，以下哪一项不是常用的约束条件？（）A. 强度约束B. 刚度约束C. 稳定性约束D. 颜色约束答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 机械优化设计中，常用的设计变量包括（）。

A. 尺寸B. 形状C. 材料D. 颜色答案：ABC2. 机械优化设计中，常用的优化目标包括（）。

A. 成本最小化B. 重量最小化C. 寿命最大化D. 速度最大化答案：ABC3. 机械优化设计中，常用的约束条件包括（）。

A. 几何约束B. 材料约束C. 经济约束D. 工艺约束答案：ABCD4. 机械优化设计中，常用的优化方法包括（）。

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2-8 解：
试判断函数 f (X) 2x12 x22 2x1x2 x1 1 的凸性。
f ( X ) f ( X ) 4 x1 2 x2 1 ， 2 x2 2 x1 x1 x2
2 f (X ) 2 f (X ) 2 f (X ) 2 f (X ) 5， 2， 2， 2 2 x1x2 x2 x1 x12 x2 5 2 海赛矩阵H ( X ) 2 2
6
a 各阶主子式： a11 2 0，11 a 21
a12 a 22

2 1 0 1 2
H(X)是正定的，所以， f (X) 为凸函数。
2-10 现已获得优化问题
min s.t.
f ( X) 4 x1 x2 2 12 g1 ( X) x12 x2 2 25 0 g 2 ( X) x12 x2 2 10 x1 10 x2 34 0 g3 ( X) ( x1 3) 2 ( x2 1) 2 0 g 4 ( X) x1 0 g5 ( X) x2 0
求：
2、 3、 4 时的四条等值线，并在图上 (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为 f ( X) 1、
画出可行区的范围。 (2) 找出图上的无约束最优解 X1 和对应的函数值 f ( X1 ) ，约束最优解 X 2 和 f ( X2 ) ； (3) 若加入一个等式约束条件：

h(X) x1 x2 0
x2
x3 ]T [d
D2
n]T 使弹簧重量
最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数 n 3 ，簧丝直径 d 0.5 ，弹簧中径 10 D2 50 。试建立该优化问题的数学模型。注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 8Fn D2 8FD2 D2 1 ks , k 1 , c ( 旋绕比）， s d3 2c d Gd 4 解：（1）确定设计变量；
3 1）仓库的容积为 1500 m 。即：
1500-x1 x2 x3 =0 2）仓库宽度为高度的两倍。即： x2 -2 x3 = 0 3）各变量取值应大于 0，即： x1 > 0, x2 .> 0.，则 -x1 ≤0，-x2 ≤0 （4）本问题的最优化设计数学模型： min s.t. f (X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 18 x1 x2 g1(X) = -x1 ≤0 g2(X) = -x2 ≤0 g3(X) = -x3 ≤0 h1(X) = 1500-x1 x2 x3 =0 h2(X) = x2 -2 x3 = 0 1-5 绘出约束条件： X∈R
函数值
f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。
加入等式约束条件，则 X3*为可行域上为 h1(X)=0 上与某一条等值线的交点，
x x2 5 0 可以联立方程： 1 ， x1 x 2 0
函数值
解得 X3*=[5/2，5/2] 。
f(X3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。
x1 一级检验员； x2 二级检验员
（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即： f(X) = 8*4*x1+ 8*3*x2 + 2（8*25*0.02x1 +8*15*0.05x2 ） =40x1+ 36x2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min s.t. f (X) = 40x1+ 36x2 X∈R
x12 + 2 x1 x2
考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为： minf(X) = x12 + 2 x1 x2 X=[x1,x2] ∈R s.t.
T 2
g1(X) = -x1 ≤0 g2(X) = -x2 ≤0 h1(X) = 8000 3
x12 x2 = 0
1-4 要建造一个容积为 1500 m 的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为 4 元、6 元和 12 元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。解：（1）确定设计变量；
2-6
试证明在 (1,1) 点处函数 f (X) x1 2x1 x2 x1 x2 2x1 5 具有极小值。
4
2
2
2
证明：求驻点：
f ( X ) f ( X ) 3 2 4 x1 4 x1 x2 2 x1 2 ， 2 x1 2 x2 x1 x2
5
6 0 海赛矩阵H ( X ) 0 4
a 各阶主子式： a11 6 0，11 a 21 a12 a 22 6 0 0 0 4
H(X)是正定的，所以， f (X) 为凸函数。
得：极值点 X* [1/ 3 1/ 4]T ，极值f ( x* ) 229/ 24
a 各阶主子式： a11 10 0，11 a 21 a12 a 22 10 4 0 4 2
H(X)是正定的，所以驻点必定是极小点。故在 (1,1) 点处函数 f (X) 具有极小值。
2-7 解：
求函数 f (X) 3x12 2x22 2x1 x2 10 的极值点，并判断其极值的性质。
解：
f ( X ) f ( X ) 10 2 x1 x2 ， 4 2 x2 x1 x1 x2
2 f (X ) 2 f (X ) 2 f (X ) 2， 1， 2 2 x1x2 x12 x2 2 1 海赛矩阵H ( X ) 1 2
X( k ) ( k )S( k ) 的几何意义。
2-2 已知两向量 P 1 [1 2
2 0]T , P 2 1]T ,求该两向量之间的夹角。 2 [2 0
2-3 求四维空间内两点 (1,3,1,2) 和 (2,6,5,0) 之间的距离。 2-4 计算二元函数 f (X) x13 x1 x22 5x1 6 在 X(0) [1 1]T 处，沿方向
第一章习题答案
1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于 1800 件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为 25 件／h，正确率为 98％，计时工资为 4 元／h；二级检验员标准为：速度为 15 件／h，正确率为 95％，计时工资 3 元／h。检验员每错检一件，工厂损失 2 元。现有可供聘请检验人数为：一级 8 人和二级 10 人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X =
a 各阶主子式： a11 5 0，11 a 21 a12 a 22 5 2 0 2 2
H(X)是正定的，所以， f (X) 为凸函数。
2-9
试用向量及矩阵形式表示 f (X) x12 x22 10x1 4x2 60 并证明它在
D {x1, x2 xi , i 1,2} 上是一个凸函数。
2
4
rx1 x2 x3
2
X∈R
3·
g1(X) =0.5-x1 ≤0 g2(X) =10-x2 ≤0 g3(X) =x2-50 ≤0 g4(X) =3-x3 ≤0 g5(X) = (1
x1 8Fx2 ) ≤0 2 x2 x13
3
8Fx2 x3 g6(X) = ≤0 4 Gx1
求此时的最优解 X3 ， f ( X3 ) 。

解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面 X1OX2 。其中的同心圆是目标函数依次为 f(X)=1、2、3、4 时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即： X1*＝[3，4]T 函数值 f(X1*)= 0 。
而约束最优解应在由约束线 g1(X)=0，
4
g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线
x x2 5 0 g1(X)=0 与某一等值线的一个切点 X2*，可以联立方程： 1 ，解得 x1 x 2 1 0
X2*=[2，3] 。
f ( X ) f ( X ) 6 x1 2 ， 4 x2 1 x1 x2
由
f ( X ) f ( X ) 0， 0 ，得：极值点 x* [1/ 3 1/ 4]T ，极值f ( x* ) 229/ 24 x1 x2
2 f (X ) 2 f (X ) 2 f (X ) 2 f (X ) 6 ， 0 ， 4 2 x1x2 x2 x1 x12 x2
3·
x1 x2 8 ；
2
2
2 x1 x2 8 ；
T ; X2 [2 3 4]T ; 2 ]
2
x1 x2 4 所确定的可行域
1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：
X1 [ 1 3
X3 [4 1 4]T 。
3
第二章习题答案
2-1 请作示意图解释： X
( k 1)
S [1 2]T 的方向导数 f s '(X(0) ) 和沿该点梯度方向的方向导数 f ' (X(0) ) 。
2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为
min f ( X) ( x1 3) 2 ( x2 4) 2 X [ x1 , x2 ]T g1 ( X) x1 x2 5 0 g 2 ( X) x1 x2 2.5 0 g3 ( X) x1 0 g 4 ( X) x2 0
1-3 某厂生产一个容积为 8000 cm 的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = 表面积为目标函数，即： minf(X) =

机械优化设计课后习题答案

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