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２.2.1用样本的频率分布估计总体分布（一）教材分析本节内容是数学3 第二章统计第二节用样本估计总体的第一小节第一课时，是在学习了随机抽样的基础上，进一步学习用图、表来分析样本数据并用样本的频率分布估计总体分布，为后面总体的众数、中位数、平均数的估计做好知识铺垫.本节课的重点是频率分布表、频率分布直方图的绘制，难点是用样本的频率分布估计总体分布.通过对样本分析和总体估计的过程，锻炼用图、表分析数据的能力和对实际问题决策能力，理解用样本估计总体的思想，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要是学习绘制频率分布直方图和用样本的频率分布估计总体分布.教学目标重点: 频率分布表、频率分布直方图的绘制.难点：用样本的频率分布估计总体分布.知识点：频率分布表、频率分布直方图.能力点：如何应用样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.教育点：感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系.自主探究点：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，频率分布直方图如何变化.考试点：频率分布直方图的绘制和用样本的频率分布估计总体分布.易错易混点：频率分布直方图中误将纵轴表示频率.拓展点：能用其它图形对样本数据进行分析吗.教具准备多媒体课件课堂模式问题引导一、引入新课问题：前面我们主要学习了哪些抽样方法，抽取样本的目的是什么呢？【师生活动】学生思考后回答.教师进一步引导：抽取样本是为从样本中获取信息，来估计总体的一些性质特点。
但是多而杂乱的数据，我们往往无法直接从原始数据中理解它们所包含的信息。
如何借助图、表、计算来分析数据，使数据所包含的信息转化为直观、易理解的形式呢？这正是这节课需研究的问题.【设计意图】回顾旧知，合理设置新知识的生长点，以确保新内容的自然引入，使学生对新知识的接受不会觉得太唐突，理解新旧知识的联系.【设计说明】留足够多时间让学生巩固旧知，在此基础上，进一步用问题引起学生思考，调动学生探究新知积极性.二、探究新知教师——我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？学生——为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.【设计意图】激发学生的学习兴趣，探索热情，特别是问题提出，增加了学生的参与感.让学生充分体会数学来源于生活，研究统计具有较强的实际意义.学生——在教师引导下看课本P66表2-1（其中100位居民某年的月均用水量） 教师——怎样将样本数据的信息反映出来，可用什么方法？学生——基于初中的统计知识学生讨论后基本上会得到下面结论：分析样本数据用图将它们画出来，用图反映样本信息.教师——分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，（1）是从数据中提取信息，（2）是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式.【设计意图】引导学生思考如何对样本数据进行分析，为频率分布直方图的学习做好准备.教师——下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：（1） 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)：知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1（2）决定组距与组数组数：一般情况下，当样本容量不超过100时，按照数据的多少，一般分成5—12组 组距：指每个小组的两个端点的距离，这组数据我们确定组距为0.54.18.20.5==极差组数=组距（对于本组数据我们分9组) （3）将数据分组：［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］ （4）列频率分布表（见课本P67） (5）画频率分布直方图【设计意图】通过师生共同分析、列表、作图，让学生掌握频率分布表、频率分布直方图的画法步骤，并体会图、表的各自特点问题一：每个小正方形的面积表示什么？ 问题二：所有小正方形的面积和是多少？【设计意图】让学生注意纵坐标不是频率，而是频率/组距，在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，频率之和等于1探究：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同.不同的形状给人0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 /t以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？结论：分组数的变化可以引起频率分布表和频率分布直方图的结构变化；坐标系的单位长度的变化只能引起频率分布直方图的形状沿坐标轴方向的拉伸变化.【设计意图】深入理解频率分布表、频率分布直方图的画法，同时体会到统计结果随机性、科学性，能作为总体的分布的合理性.思考一：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P67）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（标准可为3t）思考二：你认为3吨这个标准一定能够保证85%以上的居民用水量不超过标准吗?如果不一定那么哪些环节可能会导致结论的差别？(可能出现偏差)【设计意图】从实际问题出发，再回到实际问题的决策，前后呼应，使学生真正体会数据处理的全过程、统计应用于现实生活的全过程，体会这一“方法”对决策者的重要，使学生有一种身临其境之感，体会到学好数学也是一种“责任”.三、理解新知频率分布直方图的特征：（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势，（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往通过频率分布直方图用样本的频率分布去估计总体分布.【设计意图】掌握频率分布直方图与原始样本数据的关系，认识频率分布直方图分析样本数据的优势和缺点，理解用样本的频率分布估计总体分布的思想.四、运用新知例1下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位ｃｍ)(1)列出样本频率分布表﹔(2)一画出频率分布直方图;(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm 的人数占总人数的19%.【设计意图】通过学生的自我实践，让学生掌握绘制频率分布表、频率分布直方图的方法步骤，并会用样本的频率分布估计总体分布.例 2 为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落 在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为： 40.0824171593=+++++又因为频率=第二小组频数样本容量所以121500.08==第二小组频数样本容量=第二小组频率（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为171593100%88%24171593+++⨯=+++++（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.【设计意图】综合运用频数、样本容量、频率、小长方形面积关系解题，注意小长方形面积和为1，加深用样本的频率分布估计总体思想的理解与应用. 五、课堂小结让学生回顾讨论，总结本节课学习内容：1．知识：频率分布表、频率分布直方图的绘制. 2．思想：用样本估计总体的思想.教师总结: 掌握绘制频率分布直方图的步骤，注意纵轴表示频率/组距，小长方形面积表频率.优点是能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布形状，能看到在分布表中看不清楚的一些数据模式.缺点是可以大致估计出总体的分布情况，原有的具体数据信息就被抹掉了.体会到统计结果随机性、科学性，能作为总体的分布的合理性【设计意图】 培养学生及时梳理，系统总结新学知识和方法的习惯，既从整体上把握知识方法，又分清重难点，形成良好的知识结构.六、布置作业1．阅读教材P66—68； 2.书面作业必做题： P81 习题2.2 A 组 2选做题：1.在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[,]a b 是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则||a b 等于 （ ）()A hm ()B h m ()C mh()D 与,m h 无关 2. 为了了解学生身体的发育情况，对某重点中学年满17岁的60名同学的身高进行了测量，结果如下（单位：ｍ）（Ⅰ）根据上表，估计这所重点中学年满17岁的男同学中，身高不低于1.65ｍ且不高于1.71ｍ的约占多少？不低于1.63ｍ的约占多少？（Ⅱ）画出频率分布直方图，说出该校年满17岁的男同学中身高在哪个范围内的人数所占比例最大？如果该校年满17岁的男同学恰好是300人，那么在这个范围内的人数估计约有多少人？ 3．课外思考 能用其它图形对样本数据进行分析吗.【设计意图】通过学生阅读和书面作业让学生进一步掌握绘制频率分布表、频率分布直方图的步骤，会用样本的频率分布估计总体分布；课外思考的安排，是引起学生发散思考，为后面频率分布折线图、茎叶图的学习做好准备. 七、教后反思1.本教案的亮点是新知的探究，让学生参与到教学的过程中，体验数据处理、信息分析、到最后进行决策等统计思维的整个过程，使学生始终保持较高的学习积极性.2. 建议教师在使用本教案时多媒体展示与动手演示作图过程灵活结合，兼顾效率与效果.3. 本节课的弱项是由于知识内容多，没能留给学生较多时间动手作图,暴露操作中的各种不足.八、板书设计。
§2.2.1用样本的频率分布估计总体分布学习目标<1）通过实例体会分布的意义和作用。
<2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
<3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。
重点难点重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布学法指导通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
知识链接简单随机抽样、系统抽样和分层抽样常用方法及其操作步骤。
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.84.33.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.02.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.32.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.42.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.42.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2思考1：上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？思考2：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？思考3：以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？思考5：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统计思想？思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准<即a的取值）有何建议？思考7：在实际中，取a=3t一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？思考8：对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？思考9：当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5～12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样本数据分组合适吗？思考10：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？知识探究<二）：频率分布直方图为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的频率分布直方图(参考课本67页图2.2-1>表示。
