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第二章 随机变量及其分布1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101 3.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表X ： 0， 1， 2 P ：351,3512,3522 4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 6.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？0729.0)9.0()1.0()2(322525225=⨯⨯===-C q p C X P（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≥C C C X P（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(⨯⨯+⨯⨯+=≤C C C X P99954.0)9.0()1.0(2335=⨯⨯+C（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥X P X P[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
1. 解：设公司赔付金额为X,则X 的可能值为： 投保一年内因意外死亡：20万，槪率为 投保一年内因英他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0,概率为所以X 的分布律为:2. —袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3. 4、5,在其中同时取三只，以X 表示 取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 町以取值3, 4, 5,分布律为P(X=3) = P(—球为3号,两球为1.2号)=三冥=君 P(X =4) = P(—球为4号，再在123中任取两球)==寻P(X =5) = P(—球为5号，再在123.4中任取两球)=竺i = Aeg 103, 4, 5 j_ ±10 7^'K)设在15只同类型零件中有2只是次品，在英中取三次，每次任取一只，作不 放回抽样，以X 表示取出次品的只数，("求X 的分布律，(2)画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 叮能为0, 1> 2个0P 仇=0)=算=當35 ci xC|\ 12心2甘=¥P(X=2)=C ；：C ；3 =丄Ch 35 0. 1. 222 12 1 IT 3m4. 进行重复独立实验，设毎次成功的概率为0失败的概率为q=l-p{0<p<l)(i) 将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
(此时称X 服从以P 为参数的几何分布。
)第二章 随机变量及其分布也可列为下表 X ：P: 3、 再列为下表 X ：(2)将实验进行到出现厂次成功为止，以Y表示所需的试验次数•求y的分布律。
（此时称y 服从以为参数的巴斯卡分布0）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X 表示他首次投中时累i|•已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1） P {X=k ）=q^ 9 后12（2）Y=r-Fn={最后一次实验前/初-1次有n 次失败，且最后一次成功}P （丫 =尹 + "） = （7爲-凶"//・％ = 67*]/“'\ " = 0,12 …，貝中 q=l —p ， 或记则 P{/=/^}=C ；：!P "（1-P ）*-\ A = r,r + t ■■（3 ） P （X 二k ）」 辰12・・« «P （X 取偶数）=》P （X =2切=工（0・55）22 0・45 =导X-） 1-1 35、一房间有3扇同样大小的窗子♦其中只有一扇是打开的。
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。
解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n nn n----+--=⋅+⋅=--当n 为偶数时：1122222()112(1)nnn nn P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。
解： 21411136xS dx dy --==⎰⎰13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45 k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0X0 P2、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
） x1 2 O P（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k － k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
一、选择题1、离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,k P X k b k λ=== ，则λ为（ ）。
(A)0λ>的任意实数 (B)1b λ=+ (C)11b λ=+ (D)11b λ=-2、设随机变量X 的分布律为()!kP X k ak λ==(λ>0，k=1，2，3，…)，则a = ( )。
(A)e λ- (B) e λ (C) 1e λ-- (D) 1e λ-3、离散型随机变量X 的分布律为{},0,1,2,3!k AP X k k k === 则常数A 应为( )。
(A) 31e (B) 31-e (C) 3-e (D) 3e4、离散型随机变量X，则{||2|0}P X X ≤≥为（ ）。
(A)2129 (B)2229 (C)23 (D)135、随机变量X 服从0-1分布，又知X 取1的概率为它取0的概率的一半,则(1)P X =为( )。
(A) 13 (B) 0 (C) 12(D) 16、设随机变量X 的分布律为：0120.250.350.4X P，而{}()F x P X x =≤，则=)2( F ( )。
(A) 0.6 (B) 0.35 (C) 0.25 (D) 07、已知离散型随机变量的分布律为1010.250.50.25X P-，则以下各分布律正确的是( )。
(A)22020.510.5X P- (B)211130.250.250.5X P+-(C)2010.50.25X P(D)2010.50.5X P8、随机变量,X Y 都服从二项分布：~(2, ), ~(4, )X B p Y B p ，01p <<，已知{}519P X ≥=，则{}1P Y ≥=( )。
(A)6581 (B) 5681 (C) 8081(D) 19、随机变量X 的方差()3D X =，则(25)D X -等于( )。
(A) 6 (B) 7 (C) 12 (D) 1710、随机变量X 的分布律为：1()(),1,2,2(1)P X n P X n n n n ===-==+ ，则()E X =（ ）。
第二章 随机变量及其概率分布注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第二章概率论习题__偶数.doc2、解 （1）由题意知，此二年得分数X 可取值有0、1、2、4，有(0)10.20.8P X ==-=， (1)0.2(10.2)0.16P X ==⨯-=， (2)0.20.2(10.2)0.032P X ==⨯⨯-=， (4)0.20.20.20.008P X ==⨯⨯=，从而此人得分数X 的概率分布律为： X 0 1 2 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008 （2）此人得分数大于2的概率可表示为：(2)(4)0.008P X P X >===；(3)已知此人得分不低于2，即2X ≥，此人得分4的概率可表示为：(4)0.008(4|2)0.2(2)0.0320.008P X P X X P X ==≥===≥+。
4、解 （1）用X 表示男婴的个数，则X 可取值有0、1、2、3，至少有1名男婴的概率可表示为：3(1)1(1)1(0)1(10.51)0.8824P X P X P X ≥=-<=-==--=；（2）恰有1名男婴的概率可表示为：123(1)0.51(10.51)0.3674P X C ==⨯-=；（3）用α表示第1，第2名是男婴，第3名是女婴的概率，则20.51(10.51)0.127α=⨯-=；（4）用β表示第1，第2名是男婴的概率，则20.510.260β==。
6、解 由题意可判断各次抽样结果是相互独立的，停止时已检查了X 件产品，说明第X 次抽样才有可能抽到不合格品。
X 的取值有1、2、3、4、5，有1()(1),1,2,3,4k P X k p p k -==-=， 4(5)(1)P X p ==-；（2）( 2.5)(1)(2)(1)(2)P X P X P X p p p p p ≤==+==+-=-。
7、解 （1）用X 表示诊断此人有病的专家的人数，X 的取值有1、2、3、4、5。
在此人有病的条件下，诊断此人有病的概率为：3324455555(3)(3)(4)(5)(10.1)0.1(10.1)0.1(10.1)0.991P X P X P X P X C C C α=≥==+=+==-⋅+-⋅+-=在此人无病的条件下，诊断此人无病的概率为：0514232555(3)(0)(1)(2)(10.2)(10.2)0.2(10.2)0.20.942P X P X P X P X C C C β=<==+=+==-+-+-=（2）用γ表示诊断正确的概率，诊断正确可分为两种情况：有病条件下诊断为有病、无病条件下诊断为无病，于是：0.70.30.977γαβ=+=；（3）用η表示诊断为有病的概率，诊断为有病可分为两种情况：有病条件下诊断此人为有病、无病条件下诊断此人为有病，于是：0.70.3(1)0.711ηαβ=+⨯-=；8、解 用A 表示恰有3名专家意见一致，B 表示诊断正确的事件，则()0.7(3)0.3(2)0.112P AB P X P X =⨯=+⨯==()0.7(32)0.3(23)0.1335P A P X X P X X =⨯==+⨯===或或所求的概率可表示为：()(|)0.842()P AB P B A P A ==10、解 有题意知，()X t πλ ，其中120λ=（1）10：00至12：00期间，即120t =，恰好收到6条短信的概率为：()66666()324(6)0.1616!6!5t e e t P X e λλ---⋅-=====；（2）在10：00至12：00期间至少收到5条短信的概率为：446(5)1(5)1()()11115!k tkk P X P X P X k et e k λλ=--=≥=-<=-==-=-∑∑于是，所求的概率为：()6324(6|5)5115P X X e =≥=-。
12、解 （1）由于11{01)(23)122P X P X <≤+≤≤=+=，因此X 的概率分布函数为： 000121()()122123213x x x F x P X x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤=≤<⎨⎪-⎪<<⎪⎪≥⎪⎩，（2） 2.513{ 2.5}24P X -≤==14、解 （1）该学生在7：20过X 分钟到站，~(0,25)X U ，由题意知，只有当该学生在7：20~7：30期间或者7：40~7：45期间到达时，等车小时10分钟，长度一共15分钟，所以：153{={10}255P P X <=该学生等车时间小于10分钟}=； （2）由题意知，当该学生在7：20~7：25和7：35~7：45到达时，等车时间大于5分钟又小于15分钟，长度为15分钟，所以：153{{515}255P P X <<=该学生等车时间大于5分钟又小于15分钟}==； （3）已知其候车时间大于5分钟的条件下，其能乘上7：30的班车的概率为：{5}{|>5{5}P X P X P X >>该学生乘上7:30的班车且该学生乘上7:30的班车}=其中 51{5}==255P X >该学生乘上7:30的班车且，5+154{5}==255P X >，于是 115{|>5==445P X 该学生乘上7:30的班车}。
16、解（1）2.5( 2.5)()(2.5)1(2.5)1( 2.5)(2.5)0.9938X X P X P P X P μμμσσσμσ--->=>=>--=-≤-=-Φ-=Φ=（2）3.52( 3.52)()(1.48)( 1.48)1(1.48)10.93060.0694X X P X P P μμμσσσ---<=<=<-=Φ-=-Φ=-=（3）46(46)()(11)(1)(1)2(1)11.682610.6826X X P X P P μμμμσσσσ----<<=<<=-<<=Φ-Φ-=Φ-=-=18、解 （1）2~(170,5.0)X N ，有题意知，该青年男子身高大于170cm 的概率为：170(170)()(0)1(0)0.5X P X P X P μμσσμσ-->=>-=>=-Φ=（2）该青年男子身高大于165cm 且小于175cm 的概率为：165175(165175)()(11)(1)(1)2(1)11.682610.6826X X P X P P μμμμσσσσ----<<=<<=-<<=Φ-Φ-=Φ-=-=（3）该青年男子身高小于172cm 的概率为：172(172)()(0.4)(0.4)0.6554X X P X P P μμμσσσ---<=<=<=Φ=。
20、解 （1）有题意知：()()12()P Z a P a Z a P Z a α<=-<<=-≥=于是 1()2P Z a α-≥=， 从而得到侧分位点 (1)/2a z α-=； （2）()()()()2()P Z b P Z b Z b P Z b P Z b P Z b α>=><=>+<=>=或，于是 ()2P Z b α>=，结合概率密度函数是连续的，可得到侧分点为 /2b z α=； （3）()1()P Z c P Z c α<=-≥=于是 ()1P Z cα≥=-，从而得到侧分位点为 1c z α-=。
22、解 （1）由密度函数的性质得：21()x f x dx a e dx ∞∞--∞-∞==⋅=⎰⎰所以a =；（2）20.511()1()122x P X P X a e dx --∞>=-≤=-⋅⎰令x =，上式可写为：221()1110.7610.2392x P X dx --∞>==-Φ=-=。
24、解 用X ，Y 分别表示甲、乙两厂生产的同类型产品的寿命，用Z 表示从这批混合产品中随机取一件产品的寿命，则该产品寿命大于6年的概率为：11366621(6)(6)((6)(110.40.6360.40.60.2749x x P Z P X P P Y P e dx e dxe e --∞∞-->=>⋅+>⋅=+=+=⎰⎰取到甲厂的产品)取到乙厂的产品)（2）该产品寿命大于8年的概率为：1136888433(8)(8)((8)(110.40.6360.40.60.1860x x P Z P X P P Y P e dx e dxe e--∞∞-->=>⋅+>⋅=+=+=⎰⎰取到甲厂的产品)取到乙厂的产品)所求的概率为：(8)(8|6)0.6772(6)P Z P Z Z P Z >>>==> 。
26、解 （1）这3只元件中恰好有2只寿命大于150小时的概率α为：222233[(150)](150)[1(150)](150)C P X P X C P X P X α=>≤=-≤≤，其中 1500.010(150)0.010.7769x P X e dx -≤==⎰于是23[1(150)](150)0.1160P X P X α=⋅-≤≤=； （2）这个人会再买，说明这3只元件中至少有2只寿命大于150小时，这时所求的概率β为：223333[(150)](150)[(150)]0.1271C P X P X C P X β=>≤+>=。
28、解 （1）由密度函数的性质可得：2211()(4)9f x dx c x dx c ∞-∞-==-=⎰⎰于是 19c =（2）设X ，Y 的分布函数分别为：()X F x ，()Y F x ，Y 的概率密度为()Y f x ，有11()()(3)()()33Y X F x P Y x P X x P X x F x =≤=≤=≤=那么， 21[4],3611()()273330,Y x x f x f x ⎧⎛⎫--<<⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪⎩其他；（3）设Z 的分布函数为：()z F x 。
当0x ≤，显然()0z F x =。
当0x >，有()()()()()()z X X F x P Z x P X x P x X x F x F x =≤=≤=-<<=--，于是有 222(4),0191()()()(4),1290,2Z x x f x f xf x x x x ⎧-<≤⎪⎪⎪=+-=-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩ 从而，Z 的概率密度为： 222(4),0191()(4),1290,Z x x f x x x ⎧-<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎪⎩其他， Z 的分布函数为：3302(12)/27,01()(1211)/27,121,2Z x x x F x x x x x ⎧⎪-<≤⎪=⎨-+<<⎪⎪≥⎩。
