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高数同济7.3齐次微分方程

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高等数学同济第七版第七章学习指导

高等数学同济第七版第七章学习指导
,（7-18）
而 分别是方程
的特解,那么 就是方程（7-18）的特解.
以上定理可以推广到n阶线性微分方程.
5. 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
（7-19）
其中 是常数.
方程 叫做微分方程（7-19）的特征方程.
解法①写出微分方程（7-19）的特征方程，并求出特征根.
②解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数.
③把已求得的函数代入原方程组，求出其余的未知函数.
二、典型题精讲
题型1.一阶微分方程
【方法与技巧】
（1）一阶微分方程的解题步骤：①判断方程类型.一般地判断顺序为：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程；②根据方程类型，确定解题方法（见知识梳理3）；③求方程的解；④如果通过作变量替换后得出方程的解，最后一定要还原.
叫做伯努利方程.
解法①化伯努利方程为一阶线性微分方程
将方程(7-11)两端同除以 ,化为
, (7-12)
在方程（7-12）中，令 ,化为一阶线性微分方程
. (7-13)
②求解方程（7-13），在通解中以 代 得原方程得通解.
3. 可降阶的高阶微分方程
(1) 型的方程.
解法连续积分 次即可求得通解（注意每积分一次出现一个任意常数）.
(2) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ,原方程化为一阶微分方程
(7-14)
②解一阶微分方程
解方程(7-14),设其通解为 ,代入 .再解方程 得原方程的通解为
.
(3) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ，原方程化为
(7-15)
②解一阶微分方程
解方程（7-15）,设其通解 ，代入 .再解方程 得原方程的通解为

同济版大一高数下第七章第一节微分方程的基本概念ppt课件

同济版大一高数下第七章第一节微分方程的基本概念ppt课件

dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
3
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
s t0 0 ,
由前一次积分, 可得
7
例4 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求曲线所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 设法线上的任一点为(X,Y), 曲线上的点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
y P
即 yy 2x 0 Q o x x
偏微分方程(未知数是多元函数) 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
5
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: 例1，4 ) 2) 根据物理规律列方程( 如: 例2 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 (P298,6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
书上 例2 例4 自学
10
作业
P298 1（1）（5）口答; 2 (3); 5;
ds dt

同济第七版高等数学总复习.

同济第七版高等数学总复习.

(a x )i (a y ) j (az )k
14
2 2 2 | a | a a a 向量模长的坐标表示式 x y z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
ax a x a y az
2 2 2
cos
ay a x a y az
2 2 2
(1) m ( 2) m
; 0 i不是特征方程的根时 k . 1 i是特征方程的单根时
12
第八章 空间解析几何与向量代数
（一）向量代数
1、向量的坐标表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k
(Q( x ) x k Qm ) 11
( 2)
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
x
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
r pr q 0
通解的表达式
2
特征方程为
特征根的情况
实根 r 1 实根 r
1
r2 r2
复根 r
1, 2
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2 2
2
16
2、数量积 (点积、内积)
a b | a || b | cos

高等数学同济五版123齐次方程

高等数学同济五版123齐次方程
举例
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过引入参数 $lambda = frac{y}{x}$，我们 可以得到参数方程 $xlambda' = y'$，进一步求解得到 $x^2 = lambda y$。
幂级数法
总结词
通过将齐次方程转化为幂级数形式，求解齐次方程。
详细描述
幂级数法是将齐次方程转化为幂级数形式，然后通过求解幂级 数得到原方程的解。这种方法适用于某些难以直接求解的齐次
方程。
举例
对于方程 $frac{dy}{dx} = frac{y}{x}$，通过幂级数法，我 们可以得到 $y = x^n$，其中 $n$ 是待求的幂级数系数。
03
齐次方程的应用
在物理中的应用
投资组合优化
在投资组合优化问题中，投资者需要选择一组资产进行投资 ，以实现收益的最大化和风险的最小化。在这个问题中，可 以通过建立齐次方程来描述资产之间的相关性，从而帮助投 资者进行投资决策。
在工程中的应用
机械振动
在研究机械振动问题时，常常需要用到 齐次方程来描述振动的规律。例如，在 研究桥梁、建筑物的振动问题时，可以 通过建立齐次方程来描述振动的频率和 振幅。
齐次方程的特点
齐次方程的每一项都是$y$的整数次幂之和，且每一项的次数都相 同。
齐次方程的性质
齐次方程的解的性质
如果$(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$是齐次方程的一个解，那么$k(y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m})$也是该方程的解，其 中$k$为任意非零常数。
齐次方程的分类
按照指数分类
根据指数的不同，可以将齐次方程分 为线性齐次方程、二次齐次方程、三 次齐次方程等。

齐次微分方程解法

齐次微分方程解法

齐次微分方程解法一、齐次微分方程的定义与形式齐次微分方程是指形如F(dx,dy)=0的一阶微分方程，其中函数F是关于dx和dy的二元函数。

齐次微分方程的一般形式可以表示为y′=f(x,y)。

其中，若f(x,y)满足关系式f(tx,ty)=f(x,y)，则称该方程为齐次微分方程。

二、齐次微分方程的解法齐次微分方程的解法可以通过变量替换和分离变量的方法来实现。

以下是详细的解法步骤：步骤一：变量替换对于形如y′=f(x,y)的齐次微分方程，我们可以进行如下的变量替换：y=vx。

通过这一变换，我们可以将原方程转化为关于v和x的方程。

步骤二：求解变量替换后的方程将变量替换后的方程带入原方程，并求解出v和x的关系。

步骤三：求解原方程将步骤二中求解得到的v和x的关系带入变量替换的方程，得到y和x的关系，从而求解出原方程的解。

三、具体案例分析以下为具体的案例分析，通过实例来说明齐次微分方程的解法。

案例一：y′=yx步骤一：变量替换令y=vx，则原方程可以变为dydx =vx。

步骤二：求解变量替换后的方程将变量替换后的方程带入原方程：vx′dx =vx。

整理得到x⋅x′=1。

步骤三：求解原方程将步骤二中求解得到的v和x的关系带入变量替换的方程，得到y=vx。

代入方程x⋅x′=1，求解得到x=ln|C|，其中C为常数。

从而可以得到原方程的解为y=ln|C|⋅x。

案例二：y′=x+yx步骤一：变量替换令y=vx，则原方程可以变为dydx =x+vxx。

步骤二：求解变量替换后的方程将变量替换后的方程带入原方程：vx′dx =x+vxx。

整理得到x⋅x′=v。

步骤三：求解原方程将步骤二中求解得到的v和x的关系带入变量替换的方程，得到y=vx。

代入方程x⋅x′=v，求解得到x=e C，其中C为常数。

从而可以得到原方程的解为y=e C⋅x。

四、总结齐次微分方程是一类常见的微分方程，其解法可通过变量替换和分离变量的方法来求解。

同济版大一高数下第七章第三节齐次方程

同济版大一高数下第七章第三节齐次方程

微分方程的解为
y = C( y − x) ( y −2x).
2
9
*二、可化为齐次方程的方程 二
2 (c2 +c1 ≠ 0)
a1 b 1.当 ≠ 1 时 作变换 x = X + h, y =Y + k ( h, k 为待 , a b 定常数), 则d x = d X , d y = dY, 原方程化为 + ah +bk + c
令
12
− 1 ln(1+ u2)= ln C X 积分得 arctanu 2
x = Χ+ h y = Υ+k
h =1, k = −5
令
Y＝X u
X = x −1, Y = y +5 ,
代回原变量, 得原方程的通解:
y + 5 1 y +5 2 − ln 1+ arctan = ln C(x −1) x −1 2 x −1
+ a1h + b1k +c1
令 , 解出 h , k
(齐次方程)
求出其解后,
10
即得原方程的解.
a1 b 2.当 = 1 = λ时, 原方程可化为 a b dy a x +by + c (b ≠ 0) = dx λ(a x +by) + c1 令 v = a x +by, 则dv = a + bdy dx dx dv v +c = a +b (可分离变量方程) dx λv + c1 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
sin u = −ln x +ln C,
y C sin = ln x x

高等数学课件--D7_3齐次方程


代回原变量, 得原方程的通解:
y5 arctan ln 1 ln C ( x 1) x 1 2 x 1 1
y5
2
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
2012-10-12
同济版高等数学课件
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于是方程化为
(齐次方程)
令v x y ,
dx dy
v y
dv dy
y
dv dy

1 v
2
积分得 ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C
故有
y C
2 2

2y v C
2
1
( C 2
y C
v ) 1 v
2
2
得 y 2C ( x 故反射镜面为旋转抛物面.
作业
P309 1 (1), (4), (6) ; 2 (2), (3) ;
3;
*4 (4)
2012-10-12
同济版高等数学课件
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
解: 令
得 h 1, k 5
令 x X 1, y Y 5 , 得
再令 Y＝X u , 得
1 u 1 u
2
dY dX

X Y X Y
du
dX X
2
积分得
2012-10-12
arctan u 1 ln (1 u ) ln C X 2
同济版高等数学课件
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例2. 解微分方程 解: 方程变形为

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章 微分方程【圣才出品


台
则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解． （3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
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台
解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即 给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成 （7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C． （9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章 微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

同济高等数学第六版-D7_7常系数齐次线性微分方程-精选文档




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小结:
y p y q y 0( p , q 为常数 )
2 特征方程: r p r q 0 , 特征根 :r ,r 1 2
特征根
通
解
r 1 r 2 实根
p r r 1 2 2
r i 1 , 2
r x r x 1 2 y C e C e 1 2 r x 1 y ( C C x ) e 1 2 x y e ( C cos x C sin x ) 1 2
x x ( t) . 速度为 v 0, 求物体的运动规律
解: 由第六节例1 (P323) 知, 位移满足 因此定解问题为
dx 2 2 n k x 0 2 dt dt d x x t 0 x 0, t 0 v0 dt
d x
2
O x
x
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1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )

k 1 ( D D x D x sin x ] 1 2 k )
பைடு நூலகம்
(以上 C ) i, D i 均为任意常数
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例1. 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 1 , r 3 , 解: 特征方程 r 2 r 3 0 ,特征根: r 1 2
2
1 x y ( y y ) e cosx 1 2 1 2 1 x e sinx y ( y y ) 2 2 2 i 1
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:


因此原方程的通解为 y p y q y 0( p , q 为常数 ) x 2( y e C cos x C sin x ) 1 2 特征方程 r p r q 0

高数同济7.3齐次微分方程


du f ( u) u 即 . dx x
可分离变量的方程
当 f ( u) u 0时, 得
即 x Ce
(u )
du ln | x | C ln C1 x , f ( u) u
, （ ( u )
du ） f ( u) u
y ( ) x
y 将 u 代入, x

是否为齐次方程? 思考题解答 方程两边同时对 x 求导:
2 y x 2 y 2 y xy, xy x y y ,
2 2
y y y 1 , x x
2
原方程是齐次方程.
2
解
2u 2 u u xu , 2 1 u u
1 u u2 dx [ ]du , 2 3 2u 3u u x
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
二、小结 齐次方程
dy y f ( ). dx x
y 齐次方程的解法 令 u . x
其它变量代换: 令u xy ,
作业:P309:1-(2)(4)(6) , 2-(1)(3)
令 x y u,
思考题
方程
0

x
2 y(t )
t 2 y 2 ( t ) dt xy( x )
3 1 ln | u 1 | ln | u 2 | ln | u | ln | x | ln C1 , 2 2
| u 1| |u||u2|
3 2
Cx .
代
y u , x
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二、小结 齐次方程
dy y f ( ). dx x
y 齐次方程的解法 令 u . x
其它变量代换: 令u xy ,
作业:P309:1-(2)(4)(6) , 2-(1)(3)
令 x y u,
思考题
方程
0
x
2 y(t )
t 2 y பைடு நூலகம் ( t ) dt xy( x )

dy 例4 求 ( x y )2的通解. dx
dy du 解 令 x y u, 1 代入原方程 dx dx
du 2 1 u 解得 arctan u x C , dx
代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
y 微分方程的解为 sin ln x C . x
例2
dx dy 求解微分方程x 2 xy y 2 2 y 2 xy .
y y 2 2 dy 2 y xy x x , 2 2 2 y y dx x xy y 1 x x y 令u , 则 dy xdu udx , x
2
解
2u 2 u u xu , 2 1 u u
1 u u2 dx [ ]du , 2 3 2u 3u u x
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面
y
T R
光源在(0,0), L : y y( x )
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
1 MN为法线, 斜率为 , y
o
x
N L
OMN NMR,
tan OMN tan NMR,
y
M T
R N
3 1 ln | u 1 | ln | u 2 | ln | u | ln | x | ln C1 , 2 2
| u 1| |u||u2|
3 2
Cx .
代
y u , x
微分方程的解为 ( y x )2 Cy( y 2 x )3 .
P306-2
例3 解
抛物线的光学性质 如图 设旋转轴ox轴

是否为齐次方程? 思考题解答 方程两边同时对 x 求导:
2 y x 2 y 2 y xy, xy x y y ,
2 2
y y y 1 , x x
2
原方程是齐次方程.
o
P
由夹 角正 x 切公 式得
L 得微分方程
2
1 y y x tan OMN y 1 xy 1 tan NMR y
x x 2 yy 2 xy y 0, 即 y ( ) 1. y y
得微分方程
x x 2 yy 2 xy y 0, 即 y ( ) 1. y y
du f ( u) u 即 . dx x
可分离变量的方程
当 f ( u) u 0时, 得
即 x Ce
(u )
du ln | x | C ln C1 x , f ( u) u
, （ ( u )
du ） f ( u) u
y ( ) x
y 将 u 代入, x
第三节 齐次微分方程
• 一、齐次方程及其解法 • 二、小结
一、齐次方程
dy y 1.定义 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x y 2.解法 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du u x , dx dx du u x f (u), 代入原式 dx du f ( u) u 可分离变量的方程 即 . dx x
2
2 y du 1 1 u 令u ， 得 u x , x dx u
udu dx , 分离变量 2 2 x (1 u ) 1 u
令 1 u 2 t 2，
tdt dx , t ( t 1) x
C 即 u 1 1, x
2
C 积分得 ln t 1 ln , x
C 积分得 ln t 1 ln , x
平方化简得
y 代回 u , 得 x
C 即 u 1 1, x
2
C 2 2C u2 2 , x x
C y 2C ( x ) 2
2
抛物线
所求旋转轴为ox轴的旋转抛物面方程为
C y z 2C ( x ). 2
2 2
利用变量代换求微分方程的解
得通解 x Ce
,
例1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
解
y 令u ， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0, dx cos udu , sin u ln | x | C , x