(数学)十字相乘法

十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.技巧1：在对c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.2.二次项系数不为1的十字相乘在二次三项式a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：按照斜线交叉相乘，再相加，得到若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.例1：二次项系数为1的二次三项式分解因式：（1）（2）（3）（4）见解析（1）；（2）（3）；（4）例2：二次项系数不为1的二次三项式分解因式：（1）（2）见解析（1）；（2）.例3：待定系数法求字母的值若能分解成两个一次因式的积，则的值为（）A. 1B.C.D. 2C，，分以下两种情况考虑：由①可得m＝1，故选C.例4：解决几何类问题已知长方形的长、宽分别为x、y，周长为16，求此长方形的面积.15或15.75又解得，∴长方形的面积为15或15.75.例5：十字相乘法综合求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.见解析证明：∵是7的倍数，设（m为整数），则，∵x、m也是整数，∴49的倍数.巩固练习一．选择题1．把多项式x2+x﹣2分解因式，下列结果正确的是（）A．（x+2）（x﹣1）B．（x﹣2）（x+1）C．（x﹣1）2D．（2x﹣1）（x+2）Ax2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），故选：A．2．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）DA、4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2，故本选项错误；B、a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；C、（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10，故本选项错误；D、10x2y﹣5xy2＝xy（10x﹣5y）＝5xy（2x﹣y），故本选项正确；故选：D．3．下列多项式不能分解的是（）A．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2B．x2﹣y2﹣6x+9C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5D．x2+2x+4DA．（ab+cd）2+（bc﹣ad）2＝（a2+c2）（b2+d2），故本选项能分解；B．x2﹣y2﹣6x+9＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y），故本选项能分解；C．x2﹣2xy﹣3y2+4x+8y﹣5＝（x+y﹣1）（x﹣3y+5），故本选项能分解；D．x2+2x+4不能分解，故本选项符合题意；故选：D．4．把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）C（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．故选：C．二．填空题5．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．9由题意得：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），∴p＝1，q＝﹣2，∴p2﹣4q＝1﹣4×（﹣2）＝1+8＝9．6．分解因式：x2﹣3xy﹣4y2＝．（x﹣4y）（x+y）x2﹣3xy﹣4y2＝（x﹣4y）（x+y），7．若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为．3∵（x+3）（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，∴，解得：m＝﹣2，n＝﹣5，则m﹣n＝﹣2+5＝3.8．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为．﹣1∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），∴x2+mx+n＝x2+x﹣2，∴m＝1，n＝﹣2，∴m+n＝1﹣2＝﹣1.9．阅读下列文字与例题：将一个型如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如（1）x2+3x+2＝（x+1）（x+2）（2）x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）．要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为．﹣5，﹣1，1，5∵﹣6＝﹣1×6＝﹣2×3＝1×（﹣6）＝2×（﹣3），∴m＝﹣1+6＝5或m＝﹣2+3＝1或m＝1+（﹣6）＝﹣5或m＝2+（﹣3）＝﹣1.10．多项式kx2﹣9xy﹣10y2可分解因式得（mx+2y）（3x﹣5y），则k＝，m＝．9，3∵kx2﹣9xy﹣10y2＝（mx+2y）（3x﹣5y），∴kx2﹣9xy﹣10y2＝3mx2﹣5mxy+6xy﹣10y2，∴，解得：.三．解答题11．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189＝（x+6）2﹣225＝（x+6）2﹣152＝（x+6+15）（x+6﹣15）＝（x+21）（x﹣9）请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．（x﹣26）（x﹣34）x2﹣60x+884＝x2﹣2×30x+900﹣900+884＝（x﹣30）2﹣16＝（x﹣30+4）（x﹣30﹣4）＝（x﹣26）（x﹣34）．12．李伟课余时间非常喜欢研究数学，在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：x2﹣2x﹣3＞0．经过思考，他给出了下列解法：左边因式分解可得：（x+1）（x﹣3）＞0，或，解得x＞3或x＜﹣1．聪明的你，请根据上述思想求一元二次不等式的解集：（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．x＞3或1＜x＜2由题意知x﹣1、x﹣2、x﹣3中负数的个数为偶数个，则①，解得：x＞3；②，解得：1＜x＜2；∴x＞3或1＜x＜2．13．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），乙同学因看错常数项而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你写出这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．2x2﹣12x+18＝2（x﹣3）2甲：2（x﹣1）（x﹣9）＝2x2﹣20x+18，乙：2（x﹣2）（x﹣4）＝2x2﹣12x+16，∵甲同学看错了一次项系数，但没有看错常数项，乙同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，∴原多项式为2x2﹣12x+18，将其分解因式为：2x2﹣12x+18＝2（x﹣3）2．14．我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）x2﹣6x﹣27（2）x2﹣2xy﹣3y2．（1）原式＝（x+3）（x﹣9）；（2）原式＝（x+y）（x﹣3y）（1）原式＝x2﹣6x+9﹣36＝（x﹣3）2﹣36＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（2）原式＝x2﹣2xy+y2﹣4y2＝（x﹣y）2﹣4y2＝（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）＝（x+y）（x﹣3y）．15．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．见解析x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；x2+5x﹣6＝（x+6）（x﹣1）；x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．16．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式x4+x2y2+y4分解因式．见解析x4+x2y2+y4＝x4+2x2y2+y4﹣x2y2＝（x2+y2）2﹣x2y2＝（x2+y2+xy）（x2+y2﹣xy）．。

初中数学十字相乘法
十字相乘法是一种计算两个多位数的乘积的方法。

该方法一般用于初中数学学习中，可以帮助学生更简便地计算较大数的乘法。

具体步骤如下：
1. 将两个多位数竖式写下，使得个位数对齐。

2. 从被乘数的个位数开始，分别与乘数的每一位数进行相乘。

3. 将每一步的乘积写在竖式下方对应的位置上。

4. 如果一个乘数有多位数，需要将乘积相加到上一位的结果中，并将结果写在下一列的对应位置上。

5. 若乘数的所有位数都已相乘完毕，则将各列的结果相加，即得到最终的乘积。

通过十字相乘法，学生可以逐位计算乘积，并将结果直观地写在竖式中，从而避免繁杂的计算过程。

这种方法更加直观和易于理解，有助于初中学生提高计算速度和准确性。

希望以上内容对你有帮助！。

数学十字相乘法公式【实用版】目录1.引言：介绍数学十字相乘法公式的背景和意义2.十字相乘法公式的定义和表示3.十字相乘法公式的推导和证明4.十字相乘法公式的应用举例5.结论：总结数学十字相乘法公式的重要性和影响正文1.引言数学十字相乘法公式是一种用于计算两个多项式乘积的简便方法，具有重要的理论意义和实际应用价值。

在现代数学领域，十字相乘法公式被广泛应用于各种计算和推导过程中，为数学研究提供了极大的便利。

2.十字相乘法公式的定义和表示数学十字相乘法公式是指两个多项式相乘时，通过将各项按照一定规则排列成十字形状，可以快速计算出乘积。

具体表示如下：设两个多项式为 (a + b) 和 (m + n)，它们的乘积可以表示为：(a + b) * (m + n) = am + an + bm + bn3.十字相乘法公式的推导和证明为了更好地理解十字相乘法公式，我们可以通过多项式乘法法则来推导它。

假设两个多项式分别为：f(x) = ax^2 + bx + cg(x) = dx + e它们的乘积为：f(x) * g(x) = (ax^2 + bx + c) * (dx + e)根据多项式乘法法则，我们可以将乘积展开：f(x) * g(x) = ax^3 + (adx^2 + be)x + (cdx + ce)通过比较系数，我们可以得到：am = af * dan = af * e + bf * dbm = bg * a + be * cbn = bg * c + be * d从上述推导过程中，我们可以看到，通过将多项式各项按照十字形状排列，可以快速计算出它们的乘积。

4.十字相乘法公式的应用举例例如，计算两个多项式 (x + 2) 和 (3x - 1) 的乘积，可以使用十字相乘法公式：(x + 2) * (3x - 1) = 3x^2 - x + 6x - 25.结论数学十字相乘法公式为多项式乘法提供了一种简单易行的计算方法，对于数学研究者和工程师来说，掌握十字相乘法公式具有重要意义。

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目，例子中的²是平方的意思例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

十字相乘法分解因式十字相乘法是一种用于分解多项式因式的数学方法，也被称为乘法法则，是通过乘法运算将多项式分解为两个或多个乘积的过程。

它可以用来解决数学术语中的多项式因式化，也就是将多项式分解为简单的乘积形式。

例如，有一个多项式 (x + 2)(x + 3)它可以分解为 (x + 2) (x + 3) 。

十字相乘法分解因式（也称为十字相乘法）是一种以固定的乘法表格的形式，用于将一个多项式中的系数（即多项式的常数项）和未知数（即多项式的变量项）分开，分解多项式为两个或多个乘积的方法。

它由四列组成，每列包括未知数和系数。

这些四列组成了一个十字表格，由因式和被乘数组成，每一列可以在这些乘数和被乘数之间进行乘法运算，从而实现将多项式分解为两个或多个乘积的目的。

二、十字相乘法分解因式的步骤1.先，将多项式中的未知数或变量项和系数项分别放在一列中（这些元素可能有一个或多个），并在十字表格的其余列中填写数字。

2.后，从每列中找出未知数，并从其他列中乘以对应的系数。

3.得到的乘积求和，检查该和是否恰好等于多项式的常数项，如果是，则多项式已被成功地分解为两个或多个因式的乘积。

4.果求得的乘积和不等于多项式的常数项，则表明十字相乘法分解因式未能成功进行，此时应重新检查步骤是否正确。

三、十字相乘法分解因式的应用十字相乘法分解因式可以用来分解一维、二维和三维多项式，以及高阶多项式。

它可以被用来求解有关二次函数、三次函数和更高阶函数的问题。

它还可以用于求解不等式，以及解决其他复杂的数学问题。

十字相乘法分解因式在很多数学领域的应用不言而喻，它可以用来分析空间问题，解决几何问题，以及分析计算机科学中的复杂问题。

此外，它还可以用于推理推理问题，解决物理问题，以及解决金融学等统计问题。

四、十字相乘法分解因式的优缺点十字相乘法分解因式有有许多优点。

首先，它可以用于分解多项式中繁杂的系数和未知数。

其次，它还可以查找多项式的根和根之和和积，以及计算出未知数的值。