特殊平行四边形知识点汇总及题型

特殊平行四边形知识点归纳1.对角线：特殊平行四边形的对角线分别连接了两对相对顶点，它们相交于一个点，并且该交点将对角线分为两个相等的部分。

2.平行线性质：特殊平行四边形的两对边分别是平行的。

根据平行线的性质，可以推论出特殊平行四边形的一些重要性质，如对边相等和内角和为180度。

3.对角线性质：特殊平行四边形的对角线相等，即对角线BD=AC。

这个性质可以通过两个相似三角形的性质证明得出。

4.垂直线性质：特殊平行四边形的对角线相交于一个垂直点，即∠BOC=90度。

这个性质可以通过垂直线的性质证明得出。

5.邻补角性质：特殊平行四边形的邻补角（共享一条边且内角和为180度的两个角）之和为180度。

这个性质可以通过平行线的性质证明得出。

6.夹角性质：特殊平行四边形的夹角（相邻且共享一条边的两个内角）之和为180度。

这个性质也可以通过夹角的定义和平行线的性质证明得出。

7.对角线中点连线性质：特殊平行四边形的对角线的中点分别连接，即中点E和F相连，则EF平行于对边AB和CD，并且EF=AB=CD。

这个性质可以通过对角线中点连线构造等腰直角三角形的性质证明得出。

特殊平行四边形的这些性质和概念在几何学中有着广泛的应用。

例如，在解决平行四边形的面积、周长、角度和边长等问题时，可以利用这些性质来求解。

特殊平行四边形还与三角形、四边形和多边形等几何图形的关系密切相关，在几何证明和问题求解中起着重要的作用。

总之，特殊平行四边形是一个重要的几何概念，它具有一系列的重要性质和应用。

通过深入理解这些知识点，并善于运用它们来解决问题，可以提高我们的几何学思维能力和分析问题的能力。

特殊的平行四边形知识点一：矩形1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、性质定理（1）矩形的四个角是直角（2）矩形的对角线相等且互相平分（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、判定定理（1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形（2）对角线相等平行四边形为矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形归纳补充：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab知识点二：菱形1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、性质定理：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角（3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心2、判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四条边都相等的四边形是菱形※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形归纳补充:1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形2、性质定理（1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。

（2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形3、判定定理（1）有一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线相互垂直的矩形是正方形（3）对角线相等的菱形是正方形（4）有一个角是直角的菱形是正方形方法总结：（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

平行四边形知识点总结及分类练习题一、知识点总结平行四边形是几何学中一个重要的概念，其性质和判定方法对于理解几何学中的其他问题有着至关重要的作用。

以下是对平行四边形知识点的总结：1、定义：平行四边形是一个四边形，其中相对的两边平行且相等。

可以用符号“▭”表示。

2、性质：1)对边平行：平行四边形的对边平行且相等。

2)对角相等：平行四边形的对角相等，邻角互补。

3)平行四边形的面积等于其底乘高。

3.判定方法：1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5)邻角互补的四边形是平行四边形。

4.特殊平行四边形：矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，它们分别具有以下性质：1)矩形：对角线相等，四个角都是直角。

2)菱形：对角线垂直且平分，四边相等。

3)正方形：对角线垂直且相等，四个角都是直角。

二、分类练习题1、选择题：1)下列哪个条件可以判定一个四边形为平行四边形？A.一组对边相等，一组对角相等B.一组对边平行，另一组对边相等C.一组对角相等，另一组对边平行D.一组对角相等，一组邻角互补答案：(C)一组对角相等，另一组对边平行。

因为一组对角相等，另一组对边平行的四边形可以由一组对边平行，另一组对边相等的四边形经过平移得到，因此选项C正确。

其他选项都不满足平行四边形的定义或判定方法。

2)下列哪个条件可以判定一个四边形为矩形？A.三个内角都是直角B.对角线相等且互相平分C.对角线互相垂直且平分D.一组对边平行且相等，一组邻角互补答案：(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

因为矩形的定义是对角线相等的平行四边形，而对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形，因此选项B正确。

其他选项分别是矩形的定义或判定方法的一部分，但不足以单独判定一个四边形为矩形。

特殊平行四边形知识点总结及题型一、平行四边形的性质：1、平行四边形的对边平行且相等；2、平行四边形的对角相等；3、平行四边形的对角线互相平分。

特殊平行四边形知识点总结及题型特殊平行四边形知识点总结及题型特殊平行四边形是几何学中的重要概念，它包括矩形、菱形和正方形。

这些特殊平行四边形具有一些独特的性质和特征，它们在几何学、晶体学和工程学等领域都有广泛的应用。

本文将总结特殊平行四边形的定义、性质、判定方法和典型题型，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

一、定义1、矩形：一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

2、菱形：一个内角为锐角的平行四边形叫做菱形。

3、正方形：内角均为直角的平行四边形叫做正方形。

二、性质1、对边平行且相等。

2、对角线互相平分且相等。

3、四个内角均为90度。

4、邻角互补。

5、对角线与邻边组成的三角形为等腰直角三角形。

三、判定方法1、矩形 (1) 内角为直角。

(2) 对边平行且相等。

2、菱形 (1) 内角为锐角。

(2) 对边平行且相等。

3、正方形 (1) 内角均为直角。

(2) 对边平行且相等。

四、典型题型1、求特殊平行四边形的角度和周长。

2、证明特殊平行四边形的性质和判定方法。

3、解决与特殊平行四边形相关的实际问题。

五、扩展知识1、空间几何中的特殊平行四边形，如空间双面平行四边形等。

2、立体几何中的特殊平行四边形，如平行六面体等。

3、相关知识点，如三角函数、向量等在特殊平行四边形中的应用。

总之，特殊平行四边形是一个具有丰富内容和广泛应用的知识点。

理解和掌握这些特殊形状的特点和性质，对于解决相关问题以及进一步学习几何学、物理学等学科都具有重要意义。

希望读者通过阅读本文，能够对这些特殊平行四边形的定义、性质、判定方法和典型题型有更深入的理解和掌握，为进一步学习打下坚实的基础。

平行四边形知识点总结平行四边形知识点总结一、定义平行四边形是一种几何图形，具有两条相互平行的对边和两条对角线。

它是人类生活中常见的形状，具有广泛的应用价值。

二、性质1、平行四边形的对边平行且相等。

2、平行四边形的对角相等。

3、平行四边形的内角和为360度。

《四边形》的基本知识、主要考点、配套试题全章知识脉络：平行四边形◆考点1．平行四边形的两组对边分别平行且相等 推论：平行四边形一组邻边的和为周长的一半对边平行 内错角相等（有“角平分线”会产生“等腰三角形” ） 1．□ABCD 的周长为34cm ，且AB=7cm ，则BC=cm 。

2．□ABCD 的周长为26cm ，相邻两边相差3cm ，则AB=cm 。

3、如果ABCD 的周长为28cm ，且AB ：BC=2∶5，那么AB=cm ，BC=cm ，CD=_____cm ，4、如图，□ABCD 中，CE 平分∠BCD ，BG 平分∠ABC ，BG 与CE 交于点F 。

(1)求证：AB=AG ；(2)求证：AE=DG ；(3)求证：CE ⊥BG 。

◆考点2．平行四边形的两组对角分别相等 推论：平行四边形的邻角互补1．平行四边形的一个角为50度，则其余三个角分别为。

2．平行四边形相邻两个角相差40度，则相邻两角度数分别为。

3、□ABCD 中两邻角∠A ：∠B=1：2，则∠C=_______度4、在□ABCD 中，若∠A-∠B=70°，则∠A=______，∠B=______，∠C=______，∠D=______．BCDA G E F◆考点3．平行四边形的对角线互相平分推论1：经过平行四边形对角线交点的直线具备双重平分作用： ①该直线平分平行四边形的面积；②该直线在平行四边形内的部分被对角线平分。

1．如图，□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，△AOB 与△BOC 的周长相差2，且AB=5，则BC=。

2．如图△ABC 中，AB=3，AC=5，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是。

3．平行四边形的一条对角线长为10，则它的两边可能长为（ ） A ．5和5 B ．3和9 C ．4和15 D ．10和204．平行四边形的两条对角线长分别6和10，则它的边长不可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．85．平行四边形的一条边长为8，则它两条对角线可以是（ ） A ．6 和12 B ．6和10 C ．6 和8 D ．6 和66．如图，□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ， 连接CE ，若△CDE 的周长为12，则□ABCD 的周长为。

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。

专题06 特殊平行四边形重点知识讲义性质判定矩形①边——两组对边分别平行且相等；②角——每个角都是90°；③对角线——两条对角线相等且互相平分.①有一个角是90°的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角90°的四边形是矩形.菱形①边——两组对边分别平行且相等，邻边相等；②角——两组对角分别相等；③对角线——两条对角线垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角.①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形；③四条边相等的四边形是菱形.正方形四条边都相等；四个角都是90°；对角线相等且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；正方形的中点四边形是正方形；矩形四个角平分线所成的四边形是正方形.四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形；一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形.几个结论1. 平行四边形对角线与边关系AC 2+BD 2=2（AB 2+BC 2）思考：在证明含有线段平分的关系时，考虑勾股定理，而勾股定理离不开直角三角形，故而需要作垂线构造直角三角形.理由：过A ，D 分别作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，则AC 2+BD 2=AE 2+CE 2+BF 2+DF 2= AE 2+（BC －BE ）2+（BC +CF ）2+DF 2=AE 2+BC 2－2BC ·BE +BE 2+BC 2+2BC ·CF +CF 2+DF 2= AE 2+BC 2+BE 2+BC 2+CF 2+DF 2=2（AB 2+BC 2）2. 对角线互相垂直四边形四边形ABCD 对角线，AC ⊥BD ，结论：S =12AC ·BD AB 2+CD 2=BC 2+AD 23. 中点四边形任意四边形中点四边形均为平行四边形对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形对角线相等的四边形的中点四边形为菱形对角线垂直且相等的四边形的中点四边形为正方形4. 三角形一边的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形.由图，知∠ACB=x+y=90°.5. 正方形中的“蝴蝶”四边形ABCD为正方形，BN⊥AM，则BN=AM.典例解析1.【特殊四边形判定】【例1】（2021·重庆渝中区月考）下列命题中，是真命题的是（ ）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．一组邻边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．四个角相等的四边形是菱形【答案】C.【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，A错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，B错误；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；D、四个角相等的四边形是矩形，D错误；故答案为：C．【变式1-1】下列命题中，正确的是（）A．两邻边相等的四边形是菱形B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线垂直的四边形是菱形【答案】B.【解析】解：两邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故B正确；对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形，比如筝形，故C错误；对角线垂直的平行四边形是菱形，故D错误；故答案为：B．【例2】（2020·银翔实验中学月考）下列四个命题中，假命题是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形【答案】B.【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题；故答案为：B．【变式2-1】（2020·河南开封期末）下列命题中，真命题是（）A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】D.【解析】A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，错误；B.有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，错误；D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形，正确.故答案为：D．【变式2-2】（2020·河南驻马店期末）下列说法正确的个数是（）①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D.【解析】解：①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，正确；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，正确；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；故答案为：D．【例3】（2020·石家庄市期中）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法错误的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形C．若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形D．若BD=CD，则四边形AEDF是正方形【答案】D.【解析】解：∵DE//AC，DF//AB，∴四边形AEDF是平行四边形，故A正确；若AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD，又∵∠EAD=∠FDA，∴∠FAD=∠FDA∴FA=FD，∴平行四边形AEDF是菱形，故B正确；∵AB⊥AC，∴平行四边形AEDF是矩形，故C正确；若BD＝CD，则四边形AEDF不一定是正方形；选项D错误．故答案为：D．【变式3-1】（2021·上海月考）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）=时，四边形ABCD是菱形A．当AB BC^时，四边形ABCD是菱形B．当AC BDÐ=o时，四边形ABCD是矩形C．当90ABC=时，四边形ABCD是正方形D．当AC BD【答案】D.【解析】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，A叙述正确；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B叙述正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，C叙述正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形，D叙述错误，符合题意；故答案为：D．>，【变式3-2】（2021·辽宁铁岭市期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD AB 点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（）A．平行四边形→菱形→正方形→矩形B．平行四边形→正方形→菱形→矩形C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形【答案】C.【解析】解：连接BD∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴BD经过点O，OD=OB，∵AD∥BC，∴∠FDO=∠EBO，∴△DFO≌△BEO，∴DF=BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故答案为：C．【例4】（2021·广东模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．（1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若AD＝5，DF＝2，求四边形DBEC面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，∴四边形DBEC为平行四边形．∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，∴CD=BD=12 AC，∴平行四边形DBEC是菱形；（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=5，DF=2，∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=10，S△BCD =12S△ABC∴BC=2DF=4．∵∠ABC=90°，∴AB==，∵平行四边形DBEC是菱形，∴S 四边形DBEC =2S △BCD =S △ABC =12AB •BC =142´=．【变式4-1】（2021·山东济宁市）在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）证明四边形ADCF 是菱形．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，∵∠AEF =∠DEB ∴△AEF ≌△DEB ；（2）由（1）可知，AF =BD ，∵D 是BC 的中点，∴BD =CD ，∴AF =CD ，∵AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵△ABC 为直角三角形，∴AD =CD ，∴四边形ADCF 是菱形．【例5】（2021·湖南娄底市）如图，已知平行四边形ABCD ，若M ，N 是BD 上两点，且BM ＝DN ，AC ＝2OM ，（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN 是正方形，请说明理由．【答案】见解析.【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BM=DN，∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∴MN=2OM，∵AC=2OM，∴MN=AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥MN，由（1）可知四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；【变式5-1】（2020·赣州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若点D是AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵直线m//AB，∴EC//AD．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．又∵DE⊥BC，∴DE//AC．∵EC//AD，DE//AC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD．（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．证明：∵D是AB中点，∴DB＝DA，又∵直线m//AB，CE＝AD，∴DB＝CE，DB//CE，∴四边形BDCE是平行四边形，又∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形，（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．证明：∵D是AB中点，∴DB＝DA，又∵直线m//AB，CE＝AD，∴DB＝CE，DB//CE，∴四边形BDCE是平行四边形，∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形，∴BC 平分∠EBD ，∵∠A ＝45°，∴∠CBA ＝45°，∴∠EBD ＝90°，∴菱形BECD 是正方形．【变式5-2】（2020·四川广安市期末）如图，在ABC V 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线//BC MN ，设MN 交BCA Ð的角平分线于点E ，交BCA Ð的外角ACG Ð的平分线于点F ，连接AF ．（1）求证：EO FO =；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，ABC V 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？并说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵MN ∥BC∴∠3=∠2．又∵CF 平分∠ACG ，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OC =OF ，同理，OC =OE ，∴OE =OF ．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：当点O运动到AC的中点时，OA=OC．又∵OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（1）可知，OC=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形．（3）在（2）的条件下，∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．理由：由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵MN∥BC，∴∠AOE=∠ACB，当∠ACB=90°时，∠AOE=90°，即AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．2.【特殊四边形性质应用】【例6】（2020·吉水县期末）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是_____．【解析】解：连接CH，∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，∴∠F＝∠D＝90°，∴△CFH与△CDH都是直角三角形，在Rt△CFH与Rt△CDH中，∵CF CD CH CH=ìí=î，∴△CFH≌△CDH（HL）．∴∠DCH＝12∠DCF＝12（90°﹣30°）＝30°．在Rt△CDH中，CD＝3，∴DH．．【变式6-1】（2021·重庆南开中学月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF，8BD=，则菱形ABCD的周长为（ ）A．B．16C．D．32【答案】C.【解析】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝∴AC＝2EF＝∵四边形ABCD是菱形，BD=8，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC＝，OB ＝12BD ＝4，∴AB，∴菱形ABCD的周长为：4＝．故答案为：C ．【变式6-2】（2021·四川成都市期中）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，连接CE ，则CE 的长为（ ）A ．5BC ．D【答案】C .【解析】解：过E 作EF ⊥AC ，交CA 的延长线于F ，∵四边形ABDE 为正方形，∴∠BAE ＝90°，AE ＝AB ，∵∠EAF +∠AEF ＝90°，∠EAF +∠BAC ＝90°，∴∠AEF ＝∠BAC ，在△AEF 和△BAC 中，F ACBAEF BAC AE ABÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△BAC （AAS ），∴EF ＝AC ＝AF ＝BC ＝3，在Rt △ECF 中，EF ＝3，FC ＝FA +AC ＝3+3＝6，根据勾股定理得：CE =．故答案为：C ．【例7】（2020·渠县期末）如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ^于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．若13AG =，6CF =，则四边形BDFG 的周长为______．【答案】20.【解析】解：∵AG ∥BD ，BD =FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形，∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG ，又∵点D 是AC 中点，∴BD =DF =12AC ，∴四边形BGFD 是菱形，设GF =x ，则AF =13-x ，AC =2x ，在Rt △AFC 中，由勾股定理可得：36+（13-x ）2=（2x ）2，解得：x =5，即GF =5∴四边形BDFG 的周长=4GF =20．故答案为：20．【例8】（2021·沭阳县月考）如图，在四边形ABCD 中，AC =BD =6，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EG 2+FH 2的值为（ ）A ．9B ．18C ．36D ．48【答案】C .【解析】解：连接EF 、FG 、GH 、EH ，设EG 和FH 交于点O ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥AC ，HG ∥AC ，EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ∥HG ，同理：EH ∥FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC ＝BD ，∴EF ＝FG ，∴平行四边形EFGH 为菱形，∴EG ⊥FH ，EG ＝2OG ，FH ＝2OH ，∴EG 2＋FH 2＝（2OE ）2＋（2OH ）2＝4（OE 2＋OH 2）＝4EH 2＝4×（12BD ）2＝62＝36；故答案为：C ．【例9】（2020·四川广安市期末）如图，O 是菱形ABCD 的对角线,AC BD 的交点，E ，F 分别是,OA OC 的中点给出下列结论：①ADE EOD S S V V =；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积大小等于EF BD ×；④ADE EDO Ð=Ð；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C .【解析】解：∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴AE ＝OE ．∵S △ADE 12=´AE ×OD 12=´OE ×OD ＝S △EOD ∴S △ADE ＝S △EOD ①正确．∵四边形ABCD 是菱形，E ，F 分别是OA ，OC 的中点．∴EF ⊥OD ，OE ＝OF ．∵OD ＝OB ．∴四边形BFDE 是菱形．②正确∵菱形ABCD 的面积12=AC ×BD ．∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴EF 12=AC ．∴菱形ABCD 的面积＝EF ×BD ．③正确由已知可求得∠FDO ＝∠EDO ，而无法求得∠ADE ＝∠EDO ．④不正确∵EF ⊥OD ，OE ＝OF ，OD ＝OD ．∴△DEO ≌△DFO ．∴△DEF 是轴对称图形．⑤正确∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故答案为：C ．【例10】（2020·浙江杭州月考）如图，菱形ABCD 的边长为4cm ，且60ABC °Ð=，E 是BC 中点，P 点在BD 上，则PE PC +的最小值为_______．【答案】【解析】解：在菱形ABCD 中，点A 、C 关于BD 对称，AB =BC ，连接AE ，与BD 的交点即为所求作的点P ，∵∠ABC = 60°，AB =BC ，∴△ABC 是等边三角形，∵AB =BC =4，点E 是BC 的中点，∴BE =2，∴AE ⊥BC ，∴AE =即PE +PC 的最小值为故答案为：【例11】（2020·广东惠州市期末）如图，在矩形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点O 作EF AC ^交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）连接OB ，若4AB =，5AF =，求OB 的长．【答案】见解析．【解析】证明：（1）∵O 是AC 的中点，且EF ⊥AC ，∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO ＝∠CEO ，在△AOF 和△COE 中，AFO CEO AOF COE OA OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AOF ≌△COE （AAS ），∴AF ＝CE ，∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）如图，连接BO ，∵AB ＝4，AF ＝AE ＝EC ＝5，∴BE3==，∴BC ＝8，∴AC==，∵AO ＝CO ，∠ABC ＝90°，∴BO ＝12AC ＝【变式11-1】（2021·山东潍坊市期末）如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若,20,70AB CD ABD BDC =Ð=°Ð=°，则GEF Ð= °．【答案】（1）（2）见解析；（3）25.【解析】证明：（1）∵E 、G 分别是AD 、BD 的中点，∴EG ∥AB ，AB =2EG同理可证：FH ∥AB ，AB =2HF∴EG ∥HF ，EG =HF∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH ⊥EF ，理由：∵G 、F 分别是BD 、BC 的中点，∴FG =12CD ，由（1）知GE =12AB ，又∵AB =CD ，∴GE =GF又四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，∴GH ⊥EF ；（3）由题意，EG ∥AB ，HF ∥AB ，GE =12AB ∴EG ∥HF ，同理，EH ∥FG ，GF =12CD ∴四边形EGFH 是平行四边形，∵AB =CD ，∴GE =GF ，∴四边形EGFH 是菱形，∵∠ABD =20°，∠BDC =70°，EG ∥AB ，GF ∥CD ，∴∠EGD =∠ABD =20°，∠BGF =∠BDC =70°，∴∠DGF =180°-∠BGF =110°，∴∠EGF =∠EGD +∠DGF =20°+110°=130°，∴∠GEH =180°-∠EGF =50º，∵FE 平分∠GEH ，∴∠GEF =12∠GEH =25°．故答案为：25．【例12】（2020·河南郑州月考）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC V ．（1）求证：BE DG =；（2）若60B Ð=°，当BC =______AB 时，四边形ABFG 是菱形；（3）若60B Ð=°，当BC =______AB 时，四边形AECG 是正方形．【答案】（1）见解析；（2）32；（3．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB =CD ．∵AE ⊥BC ，∴CG ⊥AD ，AE =CG ，∴∠AEB =∠CGD =90°．在Rt △ABE 与Rt △CDG 中，AE CG AB CD =ìí=î，∴Rt △ABE ≌Rt △CDG （HL ），∴BE =DG ．（2）当BC =32AB 时，四边形ABFG 是菱形．证明：∵AB ∥GF ，AG ∥BF ，∴四边形ABFG 是平行四边形．∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=12 AB，∵BE=CF，BC=32 AB，∴EF=12 AB．∴AB=BF．∴四边形ABFG是菱形．故答案是：32；（3）BC AB时，四边形AECG是正方形．∵AE⊥BC，GC⊥CB，∴AE∥GC，∠AEC=90°，∵AG∥CE，∴四边形AECG是矩形，当AE=EC时，矩形AECG是正方形，∵∠B=60°，∴EC=AE，BE=12 AB，∴BC AB．．【变式12-1】（2020·渠县月考）如图所示，O为ABCV的边AC上一动点，过点O的直//MN BC，设MN分别交ACBÐ的平分线及其外角平分线于点,E F．=（1）求证：OE OF（2）当点O在何处时，四边形AECF是矩形？V中添加条件，使四边形AECF变为正方形，并说明你（3）在（2）的条件下，请在ABC的理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠OCE，∴∠OEC=∠OCE，∴EO=CO，同理：FO=CO，∴EO=FO；（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：由（1）得：EO=FO，又∵O是AC的中点，∴AO=CO，∴四边形CEAF是平行四边形，∵EO=FO=CO，∴EO=FO=AO=CO，∴EF=AC，∴四边形CEAF是矩形；（3）解：当点O运动到AC的中点时，且∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵MN∥BC∠ACB=90°，∴∠AOE=∠ACB=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．【例13】（2021·广东深圳期末）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F．（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；（2）当CE＝CF时，求EF的长；（3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标．【答案】（1）见解析；（2）152；（3）点P的坐标为（8，0）或（374，0）或（﹣234，0）或（434，0）.【解析】（1）证明：∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∴∠FCD＝∠DAE，∠CFD＝∠AED，∵D是AC的中点，∴CD＝AD，∴△CDF≌△ADE，∴DF＝DE，∴四边形EAFC是平行四边形；（2）解：∵四边形EAFC是平行四边形，CE＝CF，∴四边形EAFC是菱形，∴CE＝EA，AC⊥EF，设CE＝AE＝x，∵OC2+OE2＝CE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，∴x＝25 4，∴CE＝25 4，∵OA＝8，OC＝6，∴AC＝10，∴CD＝12AC＝5，∴ED＝15 4，∴EF＝2ED＝15 2；（3）由（2）可知，AE=CE=254，OE=74，①若PE＝PF，点P与点A重合，∴P（8，0），②若EF＝EP＝15 2，当点P在x轴的正半轴上，OP＝OE+PE＝71542+＝374，∴P（374，0），当点P在x轴的负半轴上，OP＝PE﹣OE＝15724-＝234，∴P（﹣234，0），③若EF＝FP，过点F作FG⊥AE于点G，则EG＝CF﹣OE＝254﹣74＝92，∴EP＝9，∴OP＝OE+EP＝74+9＝434，∴P（434，0）．综上可得，点P 的坐标为（8，0）或（374，0）或（﹣234，0）或（434，0）．【变式13-1】（2021·广东佛山期末）如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，10AC =，60A Ð=°．点P 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点Q 从点A 出发沿AC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 、Q 运动的时间是t 秒．过点P 作PM BC ^于点M ，连接PQ 、QM ．（1）请用含有t 的式子填空：AQ =______，AP =______，PM =______；（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP 为菱形？如果存在，求出相应的t 值；如果不存在，说明理由；（3）当t 为何值时，PQM V 为直角三角形？请说明理由．（备用图）【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意知，AQ =t ，∵∠C =90°，AC =10，∠A =60°，∴∠B =30°，∴AB =2AC =20，∴AP =AB -BP =20-2t ，∵PM⊥BC，∴∠PMB=90°，∴PM=12PB=t．故答案为：AQ=t，AP=20－2t，PM=t．（2）存在，理由如下：由（1）知，AQ=PM ∵AC⊥BC，PM⊥CB∴AQ∥PM∴四边形AQMP是平行四边形．当AP=AQ时，四边形AQMP是菱形即20-2t=t，解得：t=20 3．故当t=203时四边形AQMP为菱形．（3）①当∠MPQ=90°时，此时四边形CMPQ为矩形在Rt△APQ中，∠A=60°，∠APQ=30°∴AP=2AQ，即20-2t=2t，解得：t=5②当∠MQP=90°时，同理，AQ=2AP，即t=2（20-2t），解得：t=8③当∠PMQ=90°时，此种情况不存在．综上所述，t=5或t=8时，△PQM为直角三角形．【变式13-2】（2020·江苏泰州市月考）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM=QN=MN 时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．(1)如图1，A（4，0），在Q1（0，4）、Q2（2，-4）、Q3(1)中，可以是线段OA的中垂点是；(2)如图2，点A为x轴上一点，若点Q(2，为线段OA的“完美中垂点”，请求出线段OQ的“完美中垂点”的坐标；(3)若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M，请问∠MQA的度数是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)（2，-4）；(2)（4，0）或(-2，)；(3)∠MQA =90°，见解析.【解析】解：(1)根据“中垂点”的定义得：QM=QN，∴点Q在线段OA的垂直平分线上，∵O(0，0)，A(4，0)，∴线段OA的垂直平分线是：x=2，在Q1（0，4）、Q2（2，-4）、Q3(1)中，只有Q2（2，-4）符合题意，∴可以是线段OA的中垂点是Q2（2，-4），故答案为：Q2（2，-4）；(2) ∵Q(2，)，∴OQ=4，∵点Q(2，为线段OA的“完美中垂点”，∴OA=QA=OQ=4，即A（4，0）为线段OQ的“完美中垂点”，设线段OQ的另外一个“完美中垂点”为D，如图所示：则OD=QD=OA=QA=OQ=4，∴四边形AODQ为菱形，∴DQ∥OA，∴D (-2，)，∴线段 OQ 的“完美中垂点”的坐标为（4，0）或(-2，)；(3) ∠MQA 的度数是一个定值，∠MQA =90°，理由如下：如图所示，点M 为线段 AP 的“完美中垂点”，∵点Q 为线段 OA 的“完美中垂点”，∴PA =PM =AM ，OA =QA =OQ ，∴△OAQ 和△PAM 为等边三角形，∴∠OAQ =∠PAM =60°，∴∠OAP =∠QAM ，在△OAP 和△QAM 中，OA QA OAP QAM PA AM =ìïÐ=Ðíï=î，∴△OAP ≌△QAM (SAS )，∴∠MQA =∠POA =90°．【变式13-3】（2020·株洲市期中）如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm 动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点C 出发沿着CB 方向向点B 以3cm /s 的速度运动．点P ，Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．。

特殊平行四边形专题总结一、菱形（一）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（二）菱形的性质：1、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，每条对角线所在的直线都是菱形的对称轴，两条对角线的交点是菱形的对称中心；2、菱形的四条边相等3、菱形的对角线相互垂直（三）菱形的判定：1、对角线相互垂直的平行四边形是菱形2、四条边相等的四边形是菱形注意：1、菱形是特殊的平行四边形，因此菱形具有平行四边形的所有性质2、菱形的两个判定定理有着不同的适用范围，在应用是应要注意区分题型一：求与菱形有关的图形面积例1：已知BD是ABC∆的角平分线，DE//BC，交AB于点E.（1）如图一，求证：BED∆是等腰三角形；（2）如图二，在线段BC上取一点F，使四边形BFDE是菱形，连结EF交BD于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请写出与BEF∆面积一定相等的所有三角形（不包括BEF∆本身）。

1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB DH DB AC ⊥==，，68与点H ，则=DH （ ） 524.A 512.B 12.C 24.D题型二：综合运用菱形的性质与判定解题例2：如图，F E ,为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形。

（1）试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF 的周长为20，BD 的长为24，试求四边形ABCD 的面积。

2、如图，已知F E ,分别是平行四边形ABCD 的边AD BC ,的中点，且︒=∠90BAC（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若1035==BC AB ，,求菱形AECF 的面积。

题型三：与菱形有关的图形变换问题例3：如图，在ABC ∆和EDC ∆中，︒=∠=∠===09,DCE ACB CD CB CE AC ,AB 与CE 交于点F ，BC AB ED 、与分别交于H M 、.（1）求证：CH CF =；（2）如图2，ABC ∆不动，将EDC ∆绕点C 旋转到︒=∠45BCE 时，试判断四边形ACDM 是什么四边形，并证明你的结论。