自动控制原理课件(第四章)第1,2节

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第二节 绘制根轨迹的基本规则
规则5、（根轨迹在实轴上的分布 根轨迹在实轴上的分布） 规则5、（根轨迹在实轴上的分布） 实轴上某一区域 某一区域， 实轴上某一区域，若其右边开环实数零极点 和为奇数，则该区域必是根轨迹。 的个数之 和为奇数，则该区域必是根轨迹。
jω
×
× − p3
si
•
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第二节 绘制根轨迹的基本规则 求取步骤1 列写特征方程式； 求取步骤1、列写特征方程式； 写出根轨迹增益的表达式； 2、写出根轨迹增益的表达式； 令下式成立： 3、令下式成立：
由代数方程式解的性质， 由代数方程式解的性质，特 征方程式出现重根必满足下 式 ：D(s)=0; D`(s)=0
i =1
m
1 K0
∏ (s + p
j =1
n
j
) +∏ ( s + z i ) = 0
i =1
m
∏ (s + z ) = 0
i i =1
m
所以， 所以，有m条根轨迹终于开环传递函数的零点。 条根轨迹终于开环传递函数的零点。
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第二节 绘制根轨迹的基本规则 另外， 另外，n-m条根轨迹哪？ 条根轨迹哪？ 根据根轨迹的幅值条件有： 根据根轨迹的幅值条件有：
G ( s ) H ( s ) = −1
根轨迹 方程
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第一节 根轨迹法的基本概念
根轨迹方程分析
G ( s ) H ( s ) = −1
幅值条件 相角条件
∠G ( s ) H ( s ) = ±(2 K + 1)π
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G ( s) H ( s) = 1
K = 0,1, 2 ,3,L
G ( s ) H ( s ) = −1
G( s) H (s) =
K 0 ∏ (s + zi )
i =1
m
∏ (s + p
j =1
n
= −1 , n ≥ m
j
)
规则1、（根轨迹的对称性） 规则1、（根轨迹的对称性） 根轨迹的对称性 根轨迹对称于S平面的实轴。 根轨迹对称于S平面的实轴。
因为特征方程的根或为实数或为共轭的复数。 因为特征方程的根或为实数或为共轭的复数。 所以根据这条规则，只需做出上半平面的根轨迹部分， 所以根据这条规则，只需做出上半平面的根轨迹部分， 然后利用对称性可画出下半平面的根轨迹部分。 然后利用对称性可画出下半平面的根轨迹部分。
K 0 ( S + 4) G (s) = S ( S + 2)
试绘制出该系统的根轨迹。 试绘制出该系统的根轨迹
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第二节 绘制根轨迹的基本规则 规则6、（根轨迹的渐近线） 规则6、（根轨迹的渐近线） 根轨迹的渐近线 (2k + 1)π 1、渐进线的倾角 ϑ=
n−m
2、渐进线的交点
δA =
-
C (s )
jw
开环传递函数为： 开环传递函数为：
K G (S ) H ( s) = S
−∞
δ
闭环传递函数为： 闭环传递函数为：
K φ (S ) = S+K
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第一节 根轨迹法的基本概念
例2
R (s )
-
1 s( s + 1)
C (s )
jw
C(s) K Φ (s) = = 2 R (s) s + s + K
K0 =
∏γ
j =1 m
n
j
∏s+z ∏ s+ p
j =1 i =1 n
m
i
∏ρ
i =1
i
1 = K0
i =1 K 0 →∞ n
∏s+z
j =1
m
i
lim
j
∏s+ p
1 = lim =0 K →∞ 0 K 0
j
所以，只有s趋于无穷大才能满足上式。 所以，只有s趋于无穷大才能满足上式。 故另外n 条根轨迹终于无穷远处。 故另外n-m条根轨迹终于无穷远处。
由上式，只有当 由上式，只有当Si右方零极点的个数 和为奇数时满足相角条件
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第二节 绘制根轨迹的基本规则 设一单位反馈控制系统如图所示， 例1、设一单位反馈控制系统如图所示，试 绘制出该系统的根轨迹。 绘制出该系统的根轨迹
R(s) + −
E(s)
K G(s) s(s +1)(s + 2)
i =1 m
∏ (T s + 1)
j j =1
, n ≥ m G ( s) H ( s) =
∏ (s + p
j =1
n
,n ≥ m
j
)
时间常数形式
零、极点形式
n个开环的极点
K称为系统的开环增益 称为系统的开环增益 称为系统的 K0称为系统的根轨迹增益 称为系统的根轨迹增益
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第二节 绘制根轨迹的基本规则
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第二节 绘制根轨迹的基本规则 规则2、（根轨迹的起点） 规则2、（根轨迹的起点） 根轨迹的起点 根轨迹起始于开环传递函数的极点
G (s) H (s) = K 0 ∏ (s + zi )
i =1 m
∏ (s + p
j =1
n
,n ≥ m
j
)
n
对应的闭环特征方程为下式： 对应的闭环特征方程为下式： ( s + p ∏
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第一节 根轨迹法的基本概念 相角条件
∠G(s)H(s) = ±(2K +1)π K = 0,1, 2 ,3,L
∑ ∠(s − z ) − ∑ ∠(s − p ) = ∑α − ∑ β
i =1 i j =1 j i =1 i j =1
m
n
m
n
j
= ±(1 + 2k )π
开环有限零点到S αi— 开环有限零点到S的矢量幅角 βj— 开环极点到S的矢量幅角 开环极点到S
C (s)
解：系统没有零点，有三个极点，分别为：P1= 0,P2= -1,P3= -2。 系统没有零点，有三个极点，分别为： jω
×
×
×
1、n=3,m=0.系统有三条 n=3,m=0.系统有三条 趋于无穷远处的根轨迹
δ
o
将极点标在图上。 2、将极点标在图上。 3、确定实轴上的根轨迹
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第二节 绘制根轨迹的基本规则 练习、 练习、设一单位反馈控制系统开环传递函数为
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引
根轨迹法
言
利用开环传递函数 利用开环传递函数 开环传递 确定闭环特征根 确定闭环特征根 闭环 （即闭环极点） 即闭环极点） 的图形化方法。 的图形化方法。
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本 章 主 要 内 容
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本法则 绘制根轨迹的基本法则 参数根轨迹 最小相位根轨迹 根轨迹对控制系统性能的分析
自动化专业05(1)(2)班 自动化专业05(1)(2)班 05(1)(2)
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授课教师： 授课教师：胡玉玲
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第四章 根轨迹法
引 言 微分方程 分析系统： 分析系统：建模型 传递函数 动态结构图 时域分析法 系统性能分析 根轨迹法 频域分析法
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引
言
由于闭环控制系统的动态性能与闭环极 点的分布位置密切相关， 点的分布位置密切相关，而求解二阶以上系 困难， 统的闭环特征方程的根很困难 统的闭环特征方程的根很困难，对于二阶以 上系统闭环极点的确切位置难以确定 闭环极点的确切位置难以确定， 上系统闭环极点的确切位置难以确定，使得 时域分析法受到限制。所以， 时域分析法受到限制。所以，时域分析法更 适合于低阶系统的分析。 适合于低阶系统的分析。 1948 年伊凡思提出了根轨迹法 图形分析方法
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第二节 绘制根轨迹的基本规则 规则4、（根轨迹的终点） 规则4、（根轨迹的终点） 根轨迹的终点 条根轨迹终于开环传递函数的零点， m条根轨迹终于开环传递函数的零点，n-m 条根轨迹终于无穷远。 条根轨迹终于无穷远。
∏ (s + p
j =1
n
j
) +K 0 ∏ ( s + z i ) = 0
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第一节 根轨迹法的基本概念 小结： 小结： 1、根轨迹法介绍 2、根轨迹的概念 3、根轨迹方程 G ( s ) H ( s ) = −1 幅值条件
∏s+z ∏s+ p
j =1 i =1 n
m
i
=
1 K
j
相角条件
∑ ∠(s + z ) − ∑ ∠(s + p ) = ∑α − ∑ β
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第一节 根轨迹法的基本概念 幅值条件
G ( s) H ( s) = 1
∏ s−z ∏ s− p
j =1 i =1 n
m
i
1 = K
令s − z i = ρ i e jα i , i = 1,2, L m; s − p j = γ je
jβ j
∏ρ ∏γ
j =1 i =1 n
m
i
j
1 = K
j
, j = 1,2, L n
o − z1
× − p2
− p1
×
o
δ
×
设系统的开环零极点分 布如图所示。共轭极点 （零点）指向该点的相 角和为 ± 2π 因此，实轴上的根轨迹 完全取决于实轴上零极 点的个数。