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【新教材】3.1.2 函数的表示法（人教A版）课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。
重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。
单元教学设计：4.5 函数的应用（二）一、内容和内容解析1.内容函数的零点与方程的解；用二分法求方程的近似解；函数模型在实际问题中的应用．2.内容解析“函数的应用（二）”是在第三章“函数的应用（一）”的基础上，从两个方面介绍函数的应用．一是数学学科内部的应用，利用所学过的函数研究一般方程的解；二是实际应用，建立实际问题的函数模型，并通过函数模型反映实际问题的变化规律，从而分析和解决实际问题．通过“函数的应用（二）”，使学生进一步理解指数函数和对数函数，学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．基于以上分析，确定本单元教学的重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的思路与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程．二、目标和目标解析1.目标(1)结合二次函数的图象，了解函数零点存在定理．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路与步骤．(3)进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．2.目标解析达成上述目标的标志是：(1)结合二次函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系，并能用函数取值规律来刻画图象穿过x轴的图象特点．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性并了解二分法中的算法思想．(3)结合现实情境中的具体问题，能利用已知函数模型解决实际问题．通过比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义，会选择合适的函数模型解决实际问题．三、教学问题诊断分析在零点存在定理的教学中，学生从具体的函数图象概括出一般化的特征，并用取值规律这一代数形式来表达，这种从形到数的转化是学生思维的障碍．在二分法教学中，从具体的函数出发利用二分法求方程的近似解较为容易，但把二分法的步骤抽象成一般化的算法并用符号来表示是一个难点．在函数模型的应用教学中，利用已知函数模型解决实际问题容易操作，但选择合适的函数模型解决实际问题，需要对不同函数模型的增长规律有一定的了解，并且需要符合实际问题中的条件限制．结合以上分析确定本节课的教学难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决实际问题．四、教学过程设计4.5.1 函数的零点与方程的解(一) 引言思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln 260x x +-=这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？(二) 函数的零点与方程的解的关系对于一般函数=y f x ()，我们把使=0f x ()的实数x 叫做函数=y f x ()的零点． 这样，函数=y f x ()的零点就是方程=0f x ()的实数解，也就是函数=y f x ()的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程=0f x ()有实数解 ⇔函数=y f x ()有零点⇔函数=y f x ()的图象与x 轴有公共点．由此可知，求方程=0f x ()的实数解，就是确定函数=y f x ()的零点．对于不能用公式求解的方程=0f x ()，我们可以把它与相应的函数=y f x ()联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解．(三) 零点存在定理的导出探究：对于二次函数2=23f x x x --()，观察它的-2 -1 O 1 2 3 4 xy 2 1 -1 -2-2 -1O 1 2 3 4 x y2 1-3 -4 -1 -2图象，发现它在区间24[，]上有零点．这时，函数图象与x 轴有什么关系？在区间20-[，]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f x ()的取值规律来刻画这种关系？可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴．函数在端点=2x 和=4x 的取值异号，即240f f ()()＜，函数2=23f x x x --()在区间24(，)内有零点=3x ，它是方程223=0x x --的一个根．同样地，200f f -()()＜，函数2=23f x x x --()在20-(，)内有零点=1x -，它是方程223=0x x --的另一个根．一般地，我们有：函数零点存在定理：如果函数=y f x ()在区间a b [，]上的图象是一条连续不断的曲线，且有0f a f b ()()＜，那么，函数=y f x ()在区间a b (，)内至少有一个零点，即存在c a b ∈(，)，使得=0f c ()，这个c 也就是方程=0f x ()的解．问题1：条件“连续不断”可以去掉吗？师生活动：学生画出反例，教师强调，图象间断了，虽然函数值异号，仍然没有零点．所以我们要求函数图象连续不断．追问：反之成立吗？即如果函数=y f x ()在区间a b (，)内存在零点，是否有0f a f b ()()＜？师生活动：学生举例说明，教师强调，“连续不断”和“0f a f b ()()＜”是“函数存在零点的”充分条件，而非必要条件． 设计意图：让学生理解零点存在定理的功能是给出一个判定零点存在的充分条件．(四) 零点存在定理的应用例1 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数．分析：可以先列出函数=ln 26y x x +-的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．解：设函数=ln 26f x x x +-()，列出函数=y f x ()的对应值表．根据已有对数知识容易发现2=ln 220f -()＜，3=ln 30f ()＞，则230f f ()()＜． 由函数零点存在定理可知，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内至少有一个零点． 再利用画图软件画出函数=ln 26f x x x +-()的图象，我们看到f x ()是定义域上的单调递增函数，f x ()在区间23(，)内只有一个零点．问题2：为什么由230f f ()()＜还不能说明函数f x ()？ 师生活动：学生举例说明已知0f a fb ()()＜，函数在区间a b (，)内可能存在多个零点．追问1：在原有条件的基础上添加什么条件能够保证f x ()只有一个零点？师生活动：如果函数具有单调性，就能保证只有一个零点． 由此我们得出函数零点存在定理的推论：若=y f x ()在区间a b [，]上是单调函数，其图象是一条连续不断的曲线，且有O 5 10 x y14 12 10 8 6 4 2-2 -4 -60f a f b ()()＜，则函数=y f x ()在区间a b (，)内有且仅有一个零点，即存在唯一的c a b ∈(，)，使得=0f c ()．事实上，=ln y x 与=26y x -在0x ∈+∞(，)上都是增函数，所以=ln 26f x x x +-()，0x ∈+∞(，)是增函数．所以它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解．追问2：你能用定义法证明函数=y f x ()是增函数吗？ 师生活动：120x x ∀∈+∞，(，)，且12x x ＜，有121122=ln 26ln 26f x f x x x x x -+-+-()()()-()1122=ln2x x x x +-()．因为120x x ＜＜，所以1201x x ＜＜，所以12ln0x x ＜，又因为120x x -＜，于是1122ln20x x x x +-()＜，即12f x f x ()＜()． 所以，函数=ln 26f x x x +-()在区间0+∞(，)上单调递增．设计意图：让学生认识到零点存在定理可以证明函数有零点，但不能断定函数无零点或零点个数，如果要判断零点的个数，还要与结论“函数在单调区间上最多有一个零点”相结合．4.5.2 用二分法求方程的近似解(一) 二分法的引入我们已经知道，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内存在一个零点．进一步的问题是，如何在满足一定精确度的前提下求出这个零点呢？(二) 二分法的形成这个问题中设定的精确度为01.，可以理解为近似值与精确值之间的误差不超过01.． 一个直观的想法是：如果能将零点所在的区间尽量缩小，直到区间长度小于等于01.，那么区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间23(，)的中点25.，用计算工具算得250084f ≈-(.).．因为2530f f (.)()＜，所以零点在区间253(.，)内，区间长度为0.5．再取区间253(.，)的中点275.，用计算工具算得2750512f ≈(.).．因为252750f f (.)(.)＜，所以零点在区间25275(.，.)内，区间长度为0.25．由于23(，) 253(.，) 25275(.，.)，所以零点所在的范围变小了． 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小．零点所在区间 区间长度 中点的值 中点的函数值23(，) 125. 0084-. 253(.，) 05. 275. 0512. 25275(.，.) 025. 2625. 0215. 252625(.，.) 0125.25625 .0066.2525625 (.，.)00625 .……这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间．因为区间2525625 (.，.)的长度为00625.，所以区间2525625 (.，.)内任意一点都可以作为零点的近似值，为了方便，我们把区间的一个端点=25x .作为函数=ln 26f x x x +-()零点的近似值，也即方程ln 260x x +-=的近似解．2.5 2.75 2.625 O 2 3 x y0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 --0.1- -0.2- -0.3- -0.4- -0.5-这样求方程近似解的方法称为二分法，我们来看二分法的定义：对于在区间a b [，]上图象连续不断且0f a f b ()()＜的函数=y f x ()，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(三) 二分法的步骤我们依据解决上述问题的过程来概括一下：给定精确度ε，用二分法求函数=y f x ()零点0x 的近似值的一般步骤： 1.确定零点0x 的初始区间a b [，]，验证0f a f b ()()＜． 2.求区间a b (，)的中点c ．3.计算f c ()，并进一步确定零点所在的区间：（1）若=0f c ()（此时0=x c ），则c 就是函数的零点； （2）若0f a f c ()()＜（此时0x a c ∈(，)），则令=b c ； （3）若0f c f b ()()＜（此时0x c b ∈(，)），则令=a c ． 4.判断是否达到精确度ε：若|a b ε-|＜，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤2～4．(四) 二分法的应用例2 借助信息技术，用二分法求方程237xx +=的近似解（精确度为0.1）解：原方程即237=0xx -+，令=237xf x x -+()，用信息技术画出函数=y f x ()的图象，结合计算容易发现120f f ()()＜，说明该函数在区间12(，)内存在零点0x ．-5 O 5 10 xy16141210 8 64 2-2 -4 -6取区间12(，)的中点1=15x .，用信息技术算得15033f ≈(.).．因为1150f f ()(.)＜，所以0115x ∈(，.)．再取区间115(，.)的中点2=125x .，用信息技术算得125087f ≈-(.).．因为125150f f (.)(.)＜，所以012515x ∈(.，.)．同理可得，0137515x ∈(.，.)，0137514375 x ∈(.，.)． 由于137514375|=0062501 -|...＜.， 所以，原方程的近似解可取为1375.．问题3：如果精确度改为0.01？0.001？0.000 1？怎样做才不会给我们带来过大的运算负担呢？师生活动：我们从二分法中提炼出了算法思想，借助于Excel 表格当中的函数功能呈现出来，具体来看：我们利用Excel 表格中的七列依次呈现区间端点a ，b ，区间中点c ，函数值f a ()，f c ()，f b ()和区间长度b a -，首先，我们输入初始区间12(，)，然后，我们对单元格D3到H3依次应用公式完成输入，公式在编辑栏可见．对于单元格B4，我们利用Excel 的内置函数If 语句，它实现的功能是，如果0f a f c ()()＜，则区间的左端点就是a ，否则是c ，同样，对于单元格C4，如果0f a f c ()()＜，则区间的右端点就是c ，否则是b ．接下来，我们选中单元格D3到H3，将鼠标移到单元格的右下角，鼠标指针变成十字形状，按住鼠标向下拖动一行，即可实现对单元格D4到H4的自动填充，更进一步的，我们选中单元格B4到H4，重复相同的操作，可以实现对以下若干行的自动填充．我们可以根据题目精确度的要求，选择拖动到哪一行结束．这个问题的解决让我们体会到，对于人工运算很耗时耗力的问题，如果借助于计算机，可以瞬间完成，既省时省力，又准确无误，可见，工具的选择和使用至关重要．设计意图：让学生体会信息技术在处理计算量较大而且有重复步骤的问题时的重要价值．4.5.3 函数模型的应用引言：以上，我们学习了函数在数学内部的应用，接下来我们学习函数模型的实际应用． (一) 已知函数模型例3 阅读下面资料并回答问题．良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，于是推测古城存在时期为公元前3300年～前2500年．你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？在前面的学习中，我们得到了一个预备知识，注释：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 会随死亡年数x 在初始量k 的基础上按确定的比率p 衰减（p 称为衰减率），并满足函数关系=1xy k p k -∈R ()(，010 k p x ≠且0；＜＜；≥)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．分析：首先，我们需要求出函数关系中的参数p ，明确函数解析式．然后，把0.552k 作为函数值代入解析式，求出死亡年数．解：根据已知条件，573011=2k p k -()，从而51=p -，所以生物体内碳14含量y 与死亡年数x 之间的函数解析式是5=xy k (．由样本中碳14的残留量约为初始量的55.2%可知，5=552xk (.%k ，即 5=0552x(.．解得5=log552x .．由计算工具得 4 912x ≈．因为2010年之前的4 912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．设计意图：培养学生阅读理解的能力，培养学生从数学的角度分析和解决问题的能力． (二) 选择恰当的函数模型在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决．例4 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？问题1：你能根据对三种投资回报的描述，建立三种投资方案所对应的函数模型吗？师生活动： 设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数*=40y x ∈N ()进行描述；方案二可以用函数*=10y x x ∈N ()进行描述；方案三可以用函数1*=042x y x -⨯∈N .()进行描述．设计意图：培养学生把实际问题数学化的意识和能力．问题2：要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．怎样借助已有函数模型，分析解决当前的问题？师生活动：首先我们可以画出三个函数的图象．通过图象我们直观地看到，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是增长情况并不精确，不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们计算三种方案每天的回报数以及回报数的增长情况．x方案一方案二方案三y增加量/元y 增加量/元y增加量/元1 40 10 10 04.2 40 0 20 10 08. 04.3 40 0 30 10 16. 08.4 40 0 40 10 32. 16.5 40 0 50 10 64. 32.6 40 0 60 10 128.64.7 40 0 70 10 256. 128. 8 40 0 80 10 512. 256. 9 40 0 90 10 1024. 512. 10 40 0 100 10 2048.1024.… … … … … ……3040300102147483648 . 1073741824 .通过表格，我们可以发现，每天的回报数，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．但是，这似乎也不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们再看累计的回报数，=10y x =40y1=042x y -⨯.问题3：根据以上对函数模型增长情况的分析，我们该如何选择投资方案呢？师生活动：教师引导学生根据累计的回报数作为划分投资期限的标准．投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．设计意图：使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．通过以上三种呈现方式可知，尽管方案一、方案二在第1天所得回报远大于方案三，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的．由此，我们更直观的理解了“直线上升”、“指数爆炸”的实际含义．接下来，我们一起来归纳一下用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程：首先，我们要把实际问题化归为函数模型，经过运算和推理求出函数模型的解，然后，用数学问题的解来解释说明实际问题，使实际问题得以解决。
求函数解析式教学设计一、教学内容教学重点：如何求函数解析式教学难点：换元法、待定系数法与方程法及适用条件二、教学目标1、理解掌握求函数解析式的方法2、培养学生分析归纳、类比推理判断能力三、教学过程1.引入函数解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题都离不开函数解析式，因此准确理解函数解析式，掌握函数解析式所蕴含的式子特征及变形技巧尤其重要，下面对函数解析式的常用方法进行归类解析.一、换元法例3（1）().,lg 12x f x xf 求已知=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()()()()112lg 112lg 12,10,12>-=∴>-=∴-=>∴>=+x x x f t t t f t x t x t x 且【解析】令 【点评】在换元时，需注意所换元的取值范围，并在最后注明所求函数的定义域.二、待定系数法例3（2）()()()()().,11,20x f x x f x f f x f 求是二次函数，且已知-=-+=()()()()()()()().223212321112,12,1111.2,20,02222+-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=+=∴-=++-=--+++=-+==≠++=x x x f b a b a a x b a ax x bx ax x b x a x f x f c f a c bx ax x f 即即又得由【解析】设【点评】在已知函数具体类型时，大多采用待定系数法，其具体做法通常是根据条件列出以参数为未知数的方程或方程组求解.三、方程法例3（3）()()().,012x f x x x f x f 求已知≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()()()()()().033212112.12112≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x f x x f x f x x f x f x x f x f x x f x f 得解方程组【解析】 例3（4）()()()().,2R 2x f x x x f x f x f 求，且的定义域为已知函数-=-+()()()()().31,2,2222x x x f x x x f x f x x x f x f +=+=+--=-+解方程组得得【解析】由【点评】本题是利用方程的思想，将()()()x f x f x f x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛与或与1看作两个未知数，通过解方程组求得.2总结【解题心得】函数解析式的求法：（1）换元法，已知复合函数()()x g f 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.（2）待定系数法，若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法.（3）方程法，已知关于()()x f x f x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛或与1的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出()x f .【提醒】因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域.3练习【对点训练3】()()()11.D 11.C 11.B 1.A .10,111---≠≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x f x x x x x f 等于时，，且则当若()()()()().,17212132=+=--+x f x x f x f x f 则是一次函数，且满足已知()()()().,3123==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f x f x f 则满足已知 4教学反思方程法的掌握有一定困难，学生应加强练习；换元法的掌握为重中之重，应反复练习.。
2019-2020年人教版高中数学必修一说课稿：2-2对数函数及其性质一、教材分析本节课选自人教版高一数学（必修一）第二单元2.2.2《对数函数及其性质》第一课时。
对数函数是重要的基本初等函数之一，是指数函数知识的拓展和延伸. 它的教学过程，体现了“数形结合”的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨论证的思维能力有重要作用．本节课也为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、学情分析学生前面已经学习了指数函数，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图像和性质以及初步应用，启发引导学生进一步完善初等函数的知识的系统性，加深对函数的思想方法的理解。
教学过程中，发挥大多数学生动手能力较强的特点，让学生自己通过列表、描点、连线画对数函数图像。
这样也利于对对数函数性质的理解。
三、教学目标1.知识目标：让学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，掌握对数函数的性质.2.能力目标：通过对对数函数的学习，培养学生观察，思考，分析，归纳的思维能力.3.情感目标：培养学生勇于探索的精神，让学生主动融入学习．四、教学重点和难点重点：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。
难点：对数函数性质的应用。
五、教法与学法说教法教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,教师主导,学生为主体,根据这样的原则和所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法：(1)启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳。
(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法。
(3)体现“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。
(4)多媒体演示法。
说学法教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：(1)对照比较学习法：学习对数函数,处处与指数函数相对照。
第2课时 函数的最大(小)值1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 函数的最大(小)值阅读教材P 30至“例3”以上部分，完成下列问题．1．函数f (x )＝1x ，x ∈[－1,0)∪(0,2]( ) A ．有最大值12，最小值－1 B ．有最大值12，无最小值 C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值【解析】 函数f (x )＝1x 在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－1,2]，所以f (x )的最小值为f (1)＝1，最大值为f (－1)＝5.【答案】 1 5[小组合作型]【精彩点拨】 先把y ＝x －|x －1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域． 【自主解答】 y ＝x －|x －1|＝⎩⎨⎧1，x≥12x －1，x<1，画出该函数的图象如图所示．由图可知，函数y ＝x －|x －1|的值域为(－∞，1]．1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确．2．利用图象法求函数最值的一般步骤作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1．已知函数f (x )＝错误!(1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间及值域. 【导学号：97030053】图1-3-2【解】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]．求函数f (x )＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可． 【自主解答】 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x1－x 2－4x2＝x 1－x 2＋错误!＝(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x1x2＝(x 1－x 2)x1x2－4x1x2＝错误!. ∵1≤x 1<x 2≤2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )是减函数． 同理f (x )在(2,4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4，当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值．[再练一题]2．已知函数f(x)＝1x－2，(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性，并证明；【导学号：97030054】(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．【解】(1)f(x)在[3,5]上为减函数．证明：任取x1，x2∈[3,5]，有x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝1x1－2－1x2－2＝错误!.∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0，∴错误!＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[3,5]上是减函数．(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数，∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1，f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝1 3.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 【精彩点拨】 (1)函数y ＝f (x )＝出租自行车的总收入－管理费；当x ≤6时，全部租出；当6＜x ≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值． 【自主解答】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N ，∴3≤x ≤6，且x ∈N .当6＜x ≤20时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115， 综上可知y ＝⎩⎨⎧50x －115，3≤x≤6，x ∈N－3x2＋68x －115，6<x≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，∵y ＝50x －115是增函数，∴当x ＝6时，y m ax ＝185元． 当6＜x ≤20，x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113，∴当x ＝11时，y m ax ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．1．本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法．2．解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．[再练一题]3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝错误!假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x . ∵R (x )＝错误! ∴f (x )＝R (x )－G (x ) ＝错误!(2)当x ＞5时，函数f (x )递减， ∴f (x )＜f (5)＝3.2(万元)．当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)．所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元．[探究共研型]探究1 函数f (x )＝x 1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？【提示】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝1.(1)因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最大值为f (－1)＝5，最小值为f (0)＝2.(2)因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.探究2 你能说明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调性吗？若求该函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？【提示】 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增．若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1， (1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值． 【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值．(2)根据函数在区间[t ，t ＋1]上的单调性分三种情况讨论，分别求出f (x )的最小值． 【自主解答】 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12， ①当t ≥12时，f (x )在其上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在其上是减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【导学号：97030055】【解】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)m ax＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)m ax＝f(0)＝－1.1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )A．3,5 B．－3,5C．1,5 D．5，－3【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.【答案】 B2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.【答案】 D3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )【导学号：97030056】A．2 B．－2C．2或－2 D．0【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a ＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.【答案】 C4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．【解析】∵6－x在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间上是减函数，∴f(x)m ax＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.【答案】－45．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝错误!＝错误!.由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.。
2019-2020年高中数学函数的表示法教案新课标人教版必修1(A)教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：一、引入课题1.复习：函数的概念；2.常用的函数表示法及各自的优点：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．二、新课教学（一）典型例题例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．巩固练习：课本P27练习第1题例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2本例能否用解析法？为什么？巩固练习：课本P27练习第2题例3．画出函数y = | x | ． 解：（略）巩固练习：课本P 27练习第3题 拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系． 课本P 27练习第3题例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 1915151010550≤<≤<≤<≤<x x x x ()根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：注意：○1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ○2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？ 实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．四、作业布置课本P28习题1．2（A组）第8—12题（B组）第2、3题2019-2020年高中数学函数的表示法，分段函数，区间教时教案人教版教材： 函数的表示法，分段函数，区间。
函数的基本概念教学目标：1.理解函数的概念，掌握函数三要素及求法.2.掌握函数解析式的求法，以及同一函数的判断标准.3.学会转化与化归、数形结合思想.问题导入：1．函数的定义：一般地，设A,B 是非空的实数集，如果对于A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 与之对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈.注：判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A ，B 必须是非空实数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应；(3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一．2．函数三要素：定义域、值域、对应关系 .定义域：x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域.值域：函数值的集合{}f (x )|x ∈A 叫做函数的值域同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数. 注：函数定义域及值域的求法总结（1）常见函数求定义域：①分式函数中分母不为0；①偶次根式函数被开方式大于等于0；①对数函数的定义域大于0.（2）抽象函数求定义域：①已知原函数)(x f 的定义域为()b a ,，求复合函数()[]x g f 的定义域：只需解不等式b x g a <<)(，不等式的解集即为所求函数定义域.①已知复合函数()[]x g f 的定义域为()b a ,，求原函数)(x f 的定义域：只需根据b x a <<求出)(x g 的值域，即得原函数)(x f 的定义域.（3）求值域的常规方法ⓐ观察法：一些简单函数，通过观察法求值域.ⓑ配方法：“二次函数类”用配方法求值域.ⓒ换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且ac ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数也可以用换元法代换求值域.ⓓ分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b (a ≠0)的函数可用此法求值域.ⓔ单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.ⓕ数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围. 3. 求函数解析式的方法（1）待定系数法：当函数的类型已知时，可设出函数解析式，根据条件列出方程（组），进而求得函数的解析式.（2）配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式.（3）换元法：已知)]([x g f y =，求)(x f 的解析式：令)(x g t =，并写出t 的取值范围，用t 表示x ，再将用t 表示的x 回代入原式，求出解析式.（4）方程组法：已知关于f (x )与）（xf 1或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．4.分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数被称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是同一个函数.注：(1)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.(2) 分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的.知识点1：函数定义[例1] 下列图象中，可作为函数图象的是________．(填序号)[对点演练1]下列对应关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ⊆R ，B ⊆R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{1,2}，f ：x →y ＝|x |＋1C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1知识点2：求函数的定义域和值域[例2] 下列选项中能表示同一个函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2[例3] 求下列函数的定义域．(1) y ＝2x －1－7x ；(2) y ＝(x ＋1)0x ＋2；(3) y ＝4－x 2＋1x.[例4] 求下列函数的定义域：（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域.（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域. （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域.[例5]求下列函数的值域．（1）y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])；(2) y ＝1－x 21＋x 2； (3)3254)(-+-=x x x f[对点演练2]1. 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1) f (x )＝|x |，φ(t )＝t 2；(2) y ＝1＋x ·1－x ，y ＝1－x 2；(3) y ＝(3－x )2，y ＝x －3.[2,2]-2(1)y f x =-(24)y f x =+[0,1]f （x)f （x)[1,2]-2(1)(1)y f x f x =+--2. 求下列函数的定义域．(1) y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2) y ＝2x 2－3x －2＋14－x. 3.已知函数)(x f y =的定义域是]2,0[，那么)1lg(1)()(2++=x x f x g 的定义域是？ 4. 求下列函数的值域(1)f(x)＝x －3x ＋1；(2)f(x)＝x 2－x x 2－x ＋1. (3)f(x)＝x 2－1x 2＋1；(4)f(x)＝1x －x 2.知识点3：求函数解析式[例6]待定系数：若)(x f 是一次函数，[()]94f f x x =+，则)(x f = _________________.[例7].配凑：函数2(1)f x x -=，则函数()f x =[例8].换元：已知2(1)2f x x x +=+，求函数)(x f 的解析式为 .[例9] 方程组：已知函数()f x 满足()2()f x f x x --=-，则()f x ＝________.[对点演练3]1.若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________．2.若，，则（ ）A ．9B ．17C ．2D ．3()43f x x =-()()21g x f x -=()2g =3.已知函数2)1(2-=x x f ，则f (x )＝________. 4.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2)1(xf ·x －1，则f (x )＝________．知识点4：分段函数[例10]. 已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x )；(2)求函数φ(x )的定义域，值域．[对点演练4]2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]，则函数f (x )的图象是()习题演练：1．下列四种说法中，不正确的一个是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )23.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝3x 3C ．y ＝x 2D ．y ＝x 2x3. 函数y ＝6－x|x |－4的定义域用区间表示为________．4. 若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()5．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，)32(f 的值； (3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．6.函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域为________．7.已知函数()2y f x =-定义域是[]0,4，则()11f x y x +=-的定义域是 .8. 求下列函数的值域：(1)y ＝3x ＋1x －2； (2)y ＝52x 2－4x ＋3； (3)y ＝x ＋41－x9.已知)(x f 是一次函数且满足()())(,1721213x f x x f x f 求+=--+.10. 若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x 11. 已知函数()f x 满足()2()f x f x x --=-，则()f x ＝________.12. 定义在)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg()()(2+=--x x f x f ，求函数)(x f 的解析式.13.已知f (x )满足2f (x )＋)1(xf ＝3x ，则f (x )的解析式为 .14.已知1)f x =+，求函数)(x f 的解析式.15.已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________．。
3.1函数的概念及其表示（第三课时）教学设计一、内容及内容解析（一）教学内容1.函数的表示法；2.分段函数。
（二）教学内容解析学生在初中阶段已经接触了函数的三种表示，本节课直接给出函数的三种表示方法，并通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并且通过例题引进分段函数。
学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，而且是进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识需要。
同时，基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，因此学习函数的表示也是向学生渗透数形结合的思想，培养学生直观想象素养的重要过程。
（三）教学重点函数的三种表示法及各自的优缺点，分段函数。
二、教学目标1.通过研究实例，能总结出函数三种表示法各自的特点，体会数形结合的思想．2.通过用图象法表示一些函数，能利用函数图象探索解决问题的思路，体会利用图象简化代数运算的过程．3.通过具体实例，能认识分段函数，并能简单应用．三、教学问题诊断分析问题：提炼函数的三种表示法各自的优缺点。
突破：课本3.1.1中四个实例为学习函数的三种表示方法做了铺垫。
在实际教学中，先引导学生比较三种表示方法各自的特点，再师生一起进行评价并总结。
四、教学支持条件为了增加学生对分段函数的理解，可以利用GGB软件，作出图像，让学生观察各段图象函数解析式.五、教学过程设计上一节我们已经学习过了函数的概念，那么函数的具体表示方法有哪些呢，在不同的情境中函数如何表示呢？带着这样的疑问来深入学习一下本节课的内容吧.问题1：我们在初中已经接触过函数的三种表示法，分别是什么？如何表示？师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题.根据学生的回答，教师进行必要的补充.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.设计意图：本节课就是学习函数的三种表示方法，通过回顾初中函数表示的三种方法，为后面的学习奠定基础。
