高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题：不等式与线性规划含解析

基本素能训练一、选择题1．（文）(2013·浙江理，2)设集合S＝{x｜x>－2｝，T＝{x|x2＋3x－4≤0},则（∁R S)∪T＝( )A．(－2，1］B．（－∞,－4]C．(－∞，1] D．［1,＋∞)[答案] C[解析］由条件易知∁R S＝{x｜x≤－2｝，T＝｛x｜－4≤x≤1}，所以∁R S∪T＝{x｜x≤1｝．（理)(2013·江西文，6)下列选项中，使不等式x＜错误!＜x2成立的x的取值范围是( ）A．（－∞，－1) B．（－1，0)C．(0，1) D．（1，＋∞)[答案] A[解析] 由错误!>x知错误!－x〉0，错误!〉0即x（1－x2)〉0，所以x 〈－1或0〈x<1；由错误!〈x2知错误!－x2〈0,错误!<0,即x(1－x3)<0，所以x〈0或x〉1，所以x<错误!〈x2的解集为x<－1，选A。

2．(文)a,b,c∈R，下列结论成立的是( ) A．若a〉b，则ac2〉bc2B．若错误!>错误!,则a>bC．若a3〉b3，ab>0，则错误!〈错误!D．若a2〉b2,ab>0,则1a〈错误![答案］C［解析］∵a3>b3，ab>0，∴a〉b>0或0>a〉b，∴错误!〈错误!。

（理)（2012·西城模拟)已知a、b∈R，下列四个条件中，使a>b 成立的必要而不充分的条件是（）A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a｜>|b｜D．2a〉2b［答案］A［解析］∵a〉b，b〉b－1，∴a>b－1，但当a>b－1时，a>b未必成立，故选A。

[点评］a>b＋1是a〉b的充分不必要条件，2a>2b是a>b的充要条件；｜a|〉｜b｜是a>b的既不充分也不必要条件．3．(2012·青岛一模）已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则错误!的最小值为（ ）A.14B ．4 C.错误!D ．2 [答案］ C[解析] ∵a >0,b >0，∴4＝2a ＋b ≥2错误!，∴ab ≤2，∴错误!≥错误!，等号在a ＝1，b ＝2时成立．4．（2013·哈六中三模)在坐标平面内，不等式组错误!所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2错误!B 。

考点9-1 线性规划与不等式性质1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．(][),21,-∞-+∞【答案】A【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知，不等式20ax bx c ++>的解集()2,1-， 故选：A.2．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =， 故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．(][),01,-∞+∞【答案】A【分析】当0k =时，该不等式成立，当0k ≠时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立问题.【详解】当0k =时，该不等式为80≥，成立；当0k ≠时，要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，只需()236480k k k k >⎧⎨-+≤⎩，解得01k <≤， 综上所述，k 的取值范围是[]0,1， 故选：A.4.（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知实数,x y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则12y t x -=+的最大值为_____【答案】14＃＃0.25【分析】根据约束条件，画出可行域，根据目标函数的几何意义进行求解.【详解】在直角坐标系中，根据约束条件，画出可行域对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示.联立=022=0x y x y -⎧⎨--⎩，解得=2=2x y ⎧⎨⎩，所以()2,2B ,12y t x -=+表示区域内的点与点()2,1A -连线的斜率，当直线经过点()2,2B 时，斜率最大为14. 故答案为:145．（2023·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2(2)20x m x m -++<的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】(5，]6【分析】不等式化为2(0)()x m x --<，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m 的范围. 【详解】2(2)20x m x m -++<可化为2(0)()x m x --<， 该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{|2}x x m <<，且56m <；故答案为：(5，]6．6.（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A ．a <0 B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点 为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.7．（2022·河南·高三阶段练习（理））若x ，y 满足约束条件10,30,340,x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则22z x y =+的最大值为（ ） AB ．52C ．138D ．409【答案】D【分析】根据约束条件，画出可行域，根据目标函数的几何意义：函数22z x y =+表示可行域内的点与点()0,0的距离的平方即可求解. 【详解】解：由约束条件作出可行域如图．22z x y =+的几何意义为可行域内的动点到坐标原点距离的平方．由图可得A 与坐标原点距离最远，∵点A 的坐标为2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵22z x y =+的最大值为22240239⎛⎫+= ⎪⎝⎭．故选：D ．8．（2023·全国·高三专题练习）关于x 的不等式210mx mx m -++>恒成立，则m 的取值范围为( ) A ．(0,)+∞ B ．[0，)∞+C ．(-∞，4)(03-，)∞+D ．4(,)[03-∞-，)∞+【答案】B【分析】通过讨论m 的范围，结合二次函数的性质求出m 的范围即可． 【详解】解：0m =时，10>成立，0m ≠时，2Δ4(1)0m m m m >⎧⎨=-+<⎩， 故0m >， 综上：0m ， 故选：B ．9（2023·全国·高三专题练习）已知不等式28(8)0x x a a -+-<的解集中恰有五个整数，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】[)(]1,26,7⋃【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】28(8)0()[(8)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<，当4a =时，原不等式化为2(4)0x -<，显然x ∈∅，不符合题意； 当4a >时，不等式的解集为8a x a -<<，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得18045a a -≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，08156a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是2,3,4,5,6时，18267a a ≤-<⎧⎨<≤⎩67a ⇒<≤， 若五个整数是3,4,5,6,7时，28378a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集；当4a <时，不等式的解集为8a x a <<-，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得10485a a -≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，01586a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是2,3,4,5,6时，1212687a a a ≤<⎧⇒≤<⎨<-≤⎩， 若五个整数是3,4,5,6,7时，23788a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集，五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，故答案为：[1,2)(6,7].【点睛】关键点睛：运用分类讨论思想是解题的关键. 10．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））满足不等式()()()()22221231000x x x x ----≤整数解个数为______．【答案】5100【分析】利用穿针引线法得到整数解的规律，然后利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】利用穿针引线法解不等式．如图示：满足不等式()()()()22221231000x x x x ----≤整数解有：在221,2⎡⎤⎣⎦有22211-+个；在223,4⎡⎤⎣⎦有22431-+个；……在2299,100⎡⎤⎣⎦有22100991-+个．由此归纳得：在区间()()2221,2n n ⎡⎤-⎣⎦内有()()2222114n n n --+=个． 所以整数解的个数为()4200504845051002+⨯+++⨯==．故答案为：510011.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()1f x x a x a R =+∈，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,0)-B ．⎛- ⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【分析】根据条件分0a =，0a >和0a <三种情况讨论，由11[,]22A -⊆，求出a 的取值范围． 【详解】解：显然当0a =时，A =∅，不满足条件；当0a >时，易知(0)0f =，当0x >时，()(1||)0f x x a x =+>，于是(0)0(0)f a f +>=，而由11[,]22A -⊆，可得0A ∈，即(0)(0)f a f +<，所以0a >也不满足条件， 当0a <时，函数22,0()(1),0ax x x f x x a x ax x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩， 因为关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，则在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数()y f x a =+的图象应在函数()y f x =的图象的下方，如图所示，要使在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数()y f x a =+的图象在函数()y f x =的图象的下方，只要1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可，即2211112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+<--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简可得210a a --<a <<所以a 的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭.综上，a 的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭.故选：C.12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是( ) A ．12a x x b <<< B ．12x a b x <<< C ．12a x b x <<< D ．12x a x b <<<【答案】A【分析】由题可知12x x a b +=+，再利用中间量m ，根据12x x +与12x x 之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、1x 、2x 之间的关系.【详解】由题可得：12x x a b +=+，121x x ab =+.由a b <，12x x <，设1x a m =+，则2x b m =-.所以212()()()1a m b m ab m b a m ab x x =+-=+--=+，所以2()1m b a m --=，21m m b a+=-.又a b <，所以0b a ->，所以0m >.故1x a >，2x b <.又12x x <，故12a x x b <<<.故选：A.13．（2022·全国·高三专题练习）若x ，y 满足约束条件20,220,240,x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则22z =的取值范围为（ ）A．⎣⎦B．2,13⎡⎢⎣⎦C ．1702,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．2,10⎡⎢⎣⎦【答案】B【分析】作出可行域，z可化为z域求出t ()1f t t t=+的单调性求出最值即可得解.【详解】作出可行域，如图所示，联立2202x y x +-=⎧⎨=⎩，解得()2,2A -，联立2402x y x -+=⎧⎨=⎩，解得()2,3C ，联立240220x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得()0,2B ，因为z(),x y 到原点的距离，数形结合可得最大距离为OC，且OC 最小距离为原点到直线AB的距离d ==令t =，则t ∈⎣.函数()1f t t t =+在⎫⎪⎪⎣⎭上单调递减，在(上单调递增，则()()min 12f t f ==，()maxmax ,f t ff ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭，所以22z =⎡⎢⎣⎦.故选：B14．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数124e ,1()(2)2,1x ax a x f x x a x a x -⎧+->=⎨+--≤⎩，若关于x的不等式()0≤f x 的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[]1,2【分析】将不等式()0≤f x 的解集为[)2,-+∞转化为21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩的解为[]2,1-及当1x >时，14e 0x ax a -+-≤恒成立，从而可求得12a ≤≤.【详解】不等式()0≤f x 等价于21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩或114e 0x x ax a ->⎧⎨+-≤⎩， 而()0≤f x 的解集为[)2,-+∞，故21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩的解为[]2,1-且14e 0x ax a -+-≤对任意的1x >恒成立. 又21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩即为()()120x x x a ≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩，若2a <-，则()()120x x x a ≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩即为12x a x ≤⎧⎨≤≤-⎩，这与解为[]2,1-矛盾；若2a =-，则()()120x x x a ≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩即为12x x ≤⎧⎨=-⎩，这与解为[]2,1-矛盾；若2a >-，则()()120x x x a ≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩即为12x x a ≤⎧⎨-≤≤⎩，因为21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩的解为[]2,1-，故1a ≥.当1x >时，14e0x ax a -+-≤恒成立即为14e 1x a x -≤+恒成立， 令()14e ,11x s x x x -=>+，则()()()()111224e 14e 4e 011x x x x x s x x x ---+-'==>++， 故()s x 在()1,+∞为增函数，故()()02s x s >=， 故2a ≤. 综上，12a ≤≤ 故答案为：[]1,2.【点睛】思路点睛：与分段函数有关的不等式解的问题，应该就不同解析式对应的范围分类讨论，讨论时注意结合解析式的形式确定分类讨论还是参变分离.15．（2022·北京·测试学校四高三）已知()f x 是二次函数，()20f -=，且()2422x x f x +≤≤，则()10f =___________. 【答案】36【分析】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++，则由()2f x x ≥整理后即为2244844a b ab a b +≤++-，由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，讨论210a -=，210a -≤可得出2a b =，由此可解出14a =，可求出()f x 的解析式，即可得出答案.法二：由()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-，设()()()()20g x a x x m a =--≠，讨论2m ≠和2m =结合题目条件可解得14a =，可求出()f x 的解析式，即可得出答案. 【详解】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++， 则由()2f x x ≥得()22220ax a b x b ++-+≤，所以0a ≥且2(22)8a b ab +-≤，整理后即为2244844a b ab a b +≤++-， 由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，若210a -=则必有420a b +=，此时与2(22)8a b ab +-≤矛盾，所以210a -≤且()()2(42)42144a b a b +≤--，整理后为2244844a b ab a b +≤--+，与2244844a b ab a b +≤++-相加即得2244a b ab +≤，即2(2)0a b -≤，所以2a b =，所以()()()222(2)f x x ax a a x =++=+，又由于在原不等式中令2x =可得()424f ≤≤，所以()24f =，由此解得14a =. 所以()()21(2),10364f x x f =+=. 法二：()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-， 令()()2g x f x x =-，则()()24,20g g -==，设()()()()20g x a x x m a =--≠. 若2m ≠，则()()()()'22122202x x g x g a m =⎡⎤--=-'=-≠⎢⎥⎣⎦，于是()20a m ->时，存在02x <使得()()2001202x g x --<，矛盾； ()20a m -<时，存在02x >使得()()2001202x g x --<，矛盾； 故2m =，令2x =-，则()116244a g a =-=⇒=. 于是()()22112(2)2(2)44f xg x x x x x =+=-+=+，进而()1036f =. 故答案为：36.。

常考问题10 不等式及线性规划问题[真题感悟]1．(2012·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )＜c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＜c ， 即－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c . ∴⎩⎨⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案 9 2．(2012·江苏卷)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e a c .作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ， 得a ＝c 2，b ＝72c . 此时⎝⎛⎭⎫b a max ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4c ，b ＝c e a c ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1. 此时⎝⎛⎭⎫b a min ＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a∈[e,7]． 答案 [e,7]3．(2010·江苏卷)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 解析 根据不等式的基本性质求解.⎝⎛⎭⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎡⎦⎤18，13，x 3y 4＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2∈[2,27]，x 3y 4的最大值是27. 答案 274．(2012·南京模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，x －y ≤1，y ≤2.则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案[－4,2][考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．。

第1讲基本不等式与线性规划【课前热身】第1讲基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第23~24页)1.(必修5 P77练习2改编)不等式组-2-1y xy xy≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，所表示的平面区域的面积为.(第1题)【答案】1 4【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知x B=1，x C=2.由-2-1y xy x=+⎧⎨=⎩，，解得yD=12，所以S△BCD=12×(x C-x B)×12=14.2.(必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件24-1-22x yx yx y+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y的最小值是.(第2题)【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3.(必修5 P91习题5改编)已知函数f(x)=x+1x-2(x<0)，那么f(x)的最大值为. 【答案】-4【解析】因为x<0，所以f(x)=-1(-)(-)xx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1-x，即x=-1时取等号.4.(必修5 P101习题2改编)若x>0，y>0，且log3x+log3y=1，则1x+1y的最小值为. 【答案】23【解析】由log3x+log3y=1，得x·y=3，所以1x+1y11·x y=213=23.5.(必修5 P91习题3改编)函数224x+.【答案】5 2【解析】设t=24x +(t ≥2)，易知y=t+1t 在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t=24x +=2，即x=0时，y min =52.【课堂导学】运用基本不等式求最值例1 (2016·泰州期末)若正实数x ，y 满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y 的最大值是 .【点拨】设x+12y =z 进行整体代换.【分析】处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理.如本题，思考方向一，可以设x+12y =z ，代入之后转化为关于y 的方程(4z 2-5)y 2-8(z-1)y+8=0在[2，+∞)上应有解，由Δ≥0解出z 的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x 再用基本不等式去处理；思考方向三，通过等比中项，引用一个新的参数q ，把x+12y 用q 来表示后再整理求最值.【答案】32-1【解析】方法一：令x+12y =z ，则2xy=2yz-1，代入(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，整理得(4z 2-5)y 2-8(z-1)y+8=0（*），由题意得y-2≥0，该方程在[2，+∞)上有解，故Δ≥0，即64(z-1)2-32(4z 2-5)≥0，化简得2z 2+4z-7≤0，故0<z ≤-1+.检验：当z=-1时，方程(*)可化为(17-)y 2-(12-16)y+8=0，此时y 1+y 2>0，y 1·y 2>4，故方程必有大于2的实根，所以x+12y的最大值为-1. 方法二：(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，即21-2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=5111-22y y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12-1y ，x-1522y ，+1y 成等比数列，设公比为q (q>1)，将x ，1y 用q 表示，则x+12y =23(-1)1q q ++12=32-12-1q q +++12≤-1，当且仅当q-1=2-1q ，即+1时等号成立.【点评】处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟2a b+a ，b>0)和ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤222a b+(a ，b ∈R ).变式1(2016·天一中学)设x，y∈R，a>1，b>1，若a x=b y=2，a+b=4，则2x+1y的最大值为.【答案】4【解析】因为x=log a2，y=log b2，所以2x+1y=2log2a+1log2b=log2a2+log2b=log2(a2b).又4=a+b≥2a b，当且仅当a=b时取等号，所以a2b≤16，所以log2(a2b)≤4.变式2(2015·扬州期末)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1)注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2)由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】5-1【解析】方法一：由x2+2xy-1=0，得y=21-2xx，从而x2+y2=x2+221-2xx⎛⎫⎪⎝⎭=254x+214x-12≥2516-12=5-1，当且仅当x=±415时等号成立.方法二：由x2+2xy-1=0，得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=5-1，n=51+，从而x2+y2≥512+=5-1.变式3 (2015·扬淮南连二调)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg 4lg z x +lg lg zy 的最小值为 .【答案】98【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lg x>0，lg y>0，lg z>0，且z 2=xy ，从而lg z=12(lg x+lg y )，所以lg 4lg z x+lg lg z y=lgz 14lg x ⎛ ⎝+1lg y ⎫⎪⎭=lg lg 2x y +·114lg lg x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=58+12lg lg x y ⎛ ⎝+lg 4lg y x ⎫⎪⎭≥58+12·lg lg ·lg lg x yy x =98当且仅当lg lg x y =lg 4lg y x ，即y=x 2时取等号.线性规划中的最值问题例2 (2016·全国卷Ⅲ)若实数x ，y 满足约束条件-10-202-20x y x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，，则z=x+y 的最大值为 .【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x y x y =⎧⎨+=⎩，，得A 112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当直线z=x+y 过点A 时，z 取得最大值，所以z max =1+12=32.(例2)变式1(2016·山东卷)若变量x，y满足约束条件22-39x yx yx+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，，则x2+y2的最大值是.(变式1)【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x2+y2，联立22-39x yx y+=⎧⎨=⎩，，得3-1xy=⎧⎨=⎩，，由图可知，当x2+y2=z过点(3，-1)时，z取得最大值，即(x2+y2)max=32+(-1)2=10.变式2(2016·苏州中学)若实数x，y满足约束条件-30--3001x yx yy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z=2x yx y++的最小值为.(变式2)【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，易知z=21yx y x ++=1+15231y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，.基本不等式的实际应用例3 (2016·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y (单位：万元)与x 的函数关系式； (2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比，若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3，问：P 能否大于120?并说明理由.【解答】(1)依题意得y=mkn=mk (ax+5)，x ∈N *. (2)方法一：依题意知x=0.2a.所以P=mx y =(5)x k ax +=20.2(0.25)ak a +=2(25)a k a + ≤23(25)a a +=1253a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2532a a ⨯⨯130<120. 答：P 不可能大于120.方法二：依题意得x=0.2a.所以P=mxy=(5)xk ax+=20.2(0.25)ak a+=2(25)ak a+.假设P>120，得ka2-20a+25k<0.因为k≥3，所以Δ=100(4-k2)<0，所以不等式ka2-20a+25k<0无解，与假设矛盾，故P≤120.答：P不可能大于120.【课堂评价】1.若0<x<1，则当f(x)=x(4-3x)取得最大值时x的值为.【答案】23【解析】因为0<x<1，所以f(x)=x(4-3x)=13×3x(4-3x)≤13×234-32x x+⎛⎫⎪⎝⎭=43，当且仅当3x=4-3x，即x=23时取等号.2.(2016·海门中学)已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m=b+1a，n=a+1b，则m+n的最小值是.【答案】4【解析】由题意知ab=1，所以m=b+1a=2b，n=a+1b=2a，所以m+n=2(a+b)≥4ab=4.3.(2016·北京卷)若实数x，y满足约束条件2-03x yx yx≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x+y的最大值为. 【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，点A的坐标为(1，2)，目标函数z=2x+y 变为y=-2x+z，当目标函数的图象过点A(1，2)时，z取得最大值4，故2x+y的最大值是4.(第3题)4.(2016·扬州期末)已知a>b>1且2log a b+3log b a=7，则a+21-1b的最小值为. 【答案】3【解析】因为2log a b+3log b a=7，所以2(log a b)2-7log a b+3=0，解得log a b=12或log a b=3.因为a>b>1，所以log a b∈(0，1)，故log a b=12，从而b=a，因此a+21-1b=a+1-1a=(a-1)+1-1a+1≥3，当且仅当a=2时等号成立.5.(2016·浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域-20-340xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，，中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB=.(第5题)【答案】2【解析】易知线性区域为图中三角形MNP(包括边界)，且MN与AB平行，故AB=MN，易得M(-1，1)，N(2，-2)，则MN=2，故AB=32.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第11~12页.【检测与评估】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、 填空题1.(2015·福建卷)若直线x a +yb =1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a+b 的最小值为 .2.(2016·苏州暑假测试)已知变量x ，y 满足约束条件2-203x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则目标函数z=2x-y 的最大值是 .3.(2015·山东卷)若变量x ，y 满足约束条件-131y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则z=x+3y 的最大值为 .4.(2015·苏锡常镇二模)已知常数a>0，函数f (x )=x+-1a x (x>1)的最小值为3，则a 的值为 .5.(2016·淮阴中学)已知x ，y ∈R ，且x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围是 .6.(2016·新海中学)已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (-2，0)的距离相等，则2x +4y 的最小值为 .7.(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.8.(2016·上海卷)设a>0，b>0.若关于x，y的方程组11ax yx by+=⎧⎨+=⎩，无解，则a+b的取值范围是.二、解答题9.(1)当点(x，y)在直线x+3y-4=0上移动时，求3x+27y+2的最小值；(2)已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值.10.(2016·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为100元/m2.若围围墙花费了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省?(第10题)11.(2016·启东中学)设x>0，y>0，a=x+y，b=22x xy y++xy m∈N*).求证：若对任意正数x，y可使a，b，c为三角形三边，则m的取值集合为{1，2，3}.【检测与评估答案】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题1.4【解析】依题意得1a+1b=1，所以a+b=(a+b)1a⎛⎝+1b⎫⎪⎭=1+ab+ba+1≥2+2·a bb a=4，当且仅当a=b=2时等号成立.2.7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A(5，3)时，z取得最大值，所以zmax=2×5-3=7.(第2题)3.7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A时，z取得最大值.联立-13y xx y=⎧⎨+=⎩，，解得12xy=⎧⎨=⎩，，即A(1，2)，故zmax=1+3×2=7.(第3题)4. 1 【解析】因为f (x )=x-1+-1ax +1，且x-1>0，所以f (x )≥2a +1=3，当且仅当x-1=a ，即x=a +1>0时取等号，此时a=1.5. [4，12] 【解析】因为2xy=6-(x 2+4y 2)，而2xy ≤2242x y +，所以6-(x 2+4y 2)≤2242x y +，所以x 2+4y 2≥4，当且仅当x=2y 时取等号.又因为(x+2y )2=6+2xy ≥0，即2xy ≥-6，所以z=x 2+4y 2=6-2xy ≤12.综上可得4≤x 2+4y 2≤12. 6. 42【解析】由题意得点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x+2y=3，所以2x +4y ≥224xy⋅=222x y+=42，当且仅当x=2y=32时，等号成立，故2x +4y 的最小值为42.7. 216 000 【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则1.50.51500.39053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，， 即330010390053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，，目标函数为z=2 100x+900y.(第7题)作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z=2 100x+900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组10390053600x yx y+=⎧⎨+=⎩，，得M的坐标为(60，100)，所以当x=60，y=100时，z max=2 100×60+900×100=216 000.8.(2，+∞)【解析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax，代入第二个方程整理得(1-ab)x=1-b，该方程无解应该满足1-ab=0且1-b≠0，所以ab=1且b≠1，所以由基本不等式得a+b>2，故a+b的取值范围是(2，+∞).二、解答题9. (1) 由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x+27y+2=3x+33y+2≥2+2=2+2=2=20，当且仅当3x=33y且x+3y-4=0，即x=2，y=23时取等号，此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy，所以5≤x+y+5=3xy，所以3xy-5≥0，所以5)≥0，53，即xy≥259，当且仅当x=y=53时取等号，故xy的最小值是259.10. (1) 设AP=x m，AQ=y m，则x+y=200，△APQ的面积S=12xy·sin 120°=xy，所以S≤22x y +⎫⎪⎝⎭=2 500，S max =.当且仅当200x y x y =⎧⎨+=⎩，，即x=y=100时取“=”.(2) 设AP=x m ，AQ=y m ，由题意得100×(x+1.5y )=20 000，即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2=x 2+y 2-2xy cos 120°=x 2+y 2+xy=(200-1.5y )2+y 2+(200-1.5y )y=1.75y 2-400y+40000=1.752800-7y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+120000740003y ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当y=8007时，PQ有最小值，此时x=2007.11. ①因为，c>0，故a+c>b 恒成立.②若a+b>c 恒成立，即恒成立.=2+，得m<2.故当m<2时，a+b>c 恒成立.③若b+c>a 恒成立，即恒成立.令(t ≥2)，则-， 当t=2时，取得最大值，得m>2，故当m>2时，b+c>a恒成立.综上，2<m<2+.由m∈N*，得m的取值集合为{1，2，3}，即得证.。

2023届二轮专练_专题三 不等式_第1讲 基本不等式与线性规划一、填空题（共17小题）1. 不等式组 {y ≤−x +2,y ≤x −1,y ≥0 所表示的平面区域的面积为 ． 2. 若 x ，y 满足约束条件 {2x +y ≥4,x −y ≥1,x −2y ≤2, 则 z =x +y 的最小值是 ． 3. 已知函数 f (x )=x +1x −2(x <0)，那么 f (x ) 的最大值为 ． 4. 若 x >0，y >0，且 log 3x +log 3y =1，则 1x +1y 的最小值为 ．5. 设 x,y ∈R ，a >1，b >1，若 a x =b y =2，a +√b =4，则 2x +1y 的最大值为 ．6. 设实数 x ，y 满足 x 2+2xy −1=0，则 x 2+y 2 的最小值是 ．7. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0, 则 z =x +y 的最大值为 ． 8. 若变量 x ，y 满足约束条件 {x +y ≤2,2x −3y ≤9,x ≥0, 则 x 2+y 2 的最大值是 ．9. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x +y −3≥0,x −y −3≤0,0≤y ≤1, 则 z =2x+y x+y 的最小值为 ． 10. 若 0<x <1，则当 f (x )=x (4−3x ) 取得最大值时 x 的值为 ． 11. 已知 a >0，b >0，a ，b 的等比中项是 1，且 m =b +1a ，n =a +1b，则 m +n 的最小值是 ．12. 若实数 x ，y 满足约束条件 {2x −y ≤0,x +y ≤3,x ≥0,则 2x +y 的最大值为 ．13. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域{x −2≤0,x +y ≥0,x −3y +4≥0中的点在直线 x +y −2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则 AB = ． 14. 函数 y =2√x 2+4 的最小值为 ．15. 设 x ，y ，z 均为大于 1 的实数，且 z 为 x 和 y 的等比中项，则 lgz 4lgx +lgz lgy 的最小值为 ．16. 已知 a >b >1，且 2log a b +3log b a =7 ，则 a +1b 2−1 的最小值为 ．17. 若正实数 x ，y 满足 (2xy −1)2=(5y +2)(y −2)，则 x +12y 的最大值为 ．二、解答题（共1小题）18. 某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．（1）试求新建道路交叉口的总造价y（单位：万元）与x的函数关系式；（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数，并说明理由．的20%，且k≥3．问：P能否大于120答案1. 142. 23. −44. 2√335. 46. √5−127. 328. 109. 5310. 2311. 412. 413. 3√214. 52【解析】y=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为y=t+1t在[2,+∞)上为增函数，所以当t=2时，y min=2+12=52，所以当且仅当x=0时，y min=52．15. 98【解析】因为z为x和y的等比中项，所以z2=xy．两边同时取以e为底的对数得，ln(z2)=ln(xy)，即2lnz=lnx+lny．因为x，y，z>1，所以lnx，lny，lnz>0，所以lgz 4lgx +lgzlgy=lnx+lny8lgx+lnx+lny2lgy=18+18×lnylnx+12+12×lnxlny≥58+2√18×lnylnx×12×lnxlny=98.当且仅当y=x2时" = "号成立．所以最小值为98．16. 3【解析】提示：因为a>b>1，所以t=log a b<1，又因为2log a b+3log b a=7，所以2t+3t=7，解得t=12，或t=3（舍去），所以t=log a b=12，所以b2=a，所以a+1b2−1=a−1+1a−1+1≥2√(a−1)1a−1+1=3，当且仅当a−1=1a−1，即a=2且b=√2时，取等号．17. 3√22−1【解析】方法一：令x+12y=t．则2xy=2ty−1，代入已知等式，得(2ty−2)2=(5y+2)(y−2)，整理得(4t2−5)y2+8(1−t)y+8=0．因为总存在正实数y使得等式成立，所以Δ=64(1−t)2−32(4t2−5)≥0，即2t2+4t−7≤0，解得−3√22−1≤t≤3√22−1．当t=3√22−1时，y=−8(1−t)2(4t2−5)=8+6√2为正值，所以x+12y 的最大值为3√22−1．方法二：由题意知(x−12y )2=(52+1y)(12−1y)，整理得(x−12y)2+(1y+1)2=94．令x−12y =32cosα，1y+1=32sinα，其中α∈R，且x,y>0，所以12y =34sinα−12，x=32cosα+34sinα−12，所以x+12y =32cosα+32sinα−1≤3√22−1．即所求的最大值为3√22−1．18. （1）由题意知y=mkn=mk(ax+5),x∈N∗．（2）方法一：由题意知x=0.2a，所以P=mxy=xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)≤a3(a2+25)=13(a+25a)≤3×2√a×25a=130<120.答：P不可能大于120．方法二：由题意知x=0.2a，所以P=mxy =xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)．假设P>120，得ka2−20a+25k<0．因为k≥3，所以Δ=100(4−k2)<0，不等式ka2−20a+25k<0无解．故P不可能大于120．答：P不可能大于120．。

第3讲 不等式与线性规划一、选择题1．(2021·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b ＜a ＜c . 答案：A2．(2021·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解析：画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案：B3．(2021·枣庄模拟)若正数x ，y 满足1y ＋3x＝1，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．24B ．28C ．25D ．26解析：因为正数x ，y 满足1y ＋3x＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝13＋3x y ＋12y x≥13＋3×2x y ×4yx＝25，当且仅当x ＝2y ＝5时取等号．所以3x ＋4y 的最小值是25.答案：C4．(2021·杭州调研)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．32D ．6解析：已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0解得Q (2，－2)．所以|AB |＝|PQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2. 答案：C5．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞13，则f (e x)＞0的解集为( )(导学号 55410096)A ．{x |x ＜－1或x ＞－ln 3}B ．{x |x ＞－ln 3}C ．{x |－1＜x ＜－ln 3}D ．{x |x ＜－ln 3}解析：由题设，知f (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13又f (e x )＞0，得－1＜e x＜13所以x ＜ln 13＝－ln 3.故f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}． 答案：D 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________．解析：当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，所以不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)7．(2021·北京卷改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为________．解析：画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，当直线y ＝－12x ＋z2过B (3，3)时，z 取得最大值9.答案：98．(2021·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：法一 因为x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1. 所以2xy ≤x ＋y ＝1， 从而0≤xy ≤14.因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy . 所以12≤x 2＋y 2≤1.法二可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 三、解答题9．(2021·肇庆模拟改编)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围．解：先根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0画出可行域(图略)．要使可行域存在，必有m ＜－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－2m ＋1，1－2m ＞－12m －1，m ＜－12m －1，解之得m ＜－23.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10．已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(导学号 55410097) (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号． 由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立， 故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 11．(2021·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 甲 70 5 60 乙60525不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(导学号 54850098)(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：图1(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125随z 变化的一簇平行直线，z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．图2。

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题30 不等式选讲（含解析）一、填空题1．(2014·某某理，15A)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．[答案] 5[解析] 解法1：在平面直角坐标系aob 中，由条件知直线ma ＋nb ＝5与圆a 2＋b 2＝5有公共点，∴5m 2＋n2≤5，∴m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2的最小值为 5.解法2：由柯西不等式：a 2＋b 2·m 2＋n 2≥ma ＋nb ， ∴m 2＋n 2≥55＝ 5.2．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值X 围是________． [答案] (－∞，8][解析]∵|x －5|＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8， 要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解， 应有a ≤8.3．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围是________．[答案] {a ∈R |a <0或a ＝2}[解析] 因为|x ＋1|＋|x －3|≥4，所以由题意可得a ＋4a≤4恒成立，因a <0时显然恒成立；当a >0时，由基本不等式可知a ＋4a≥4，所以只有a ＝2时成立，所以实数a 的取值X围为{a ∈R |a <0或a ＝2}．[方法点拨] 注意区分a <f (x )有(无)解与a <f (x )恒成立，设m ≤f (x )≤M ，则a <f (x )有解⇒a <M ，a <f (x )恒成立⇒a <m .a <f (x )无解⇒a ≥M .4．(2014·某某市十二区县重点中学联考)对于任意x ∈R ，满足(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立的所有实数a 构成集合A ，使不等式|x －4|＋|x －3|<a 的解集为空集的所有实数a 构成集合B ，则A ∩(∁R B )＝________.[答案] (1,2][解析] 求出集合A 、B 后利用集合运算的定义求解．对于任意x ∈R ，不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a <2，Δ＝4a －22＋16a －2<0，解得－2<a ≤2，所以集合A ＝(－2,2]．当不等式|x －4|＋|x －3|<a 有解时，a >(|x －4|＋|x －3|)min ＝1，所以解集为空集的所有实数a 构成集合B ＝(－∞，1]，则∁R B ＝(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－2,2]∩(1，＋∞)＝(1,2]． 二、解答题5．(文)(2015·某某省某某中学一模)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R .[解析] (1)当a ＝1时，原不等式变为|x ＋3|＋|x －7|>10， 当x ≥7时，x ＋3＋x －7>10得x >7， 当－3<x <7时，x ＋3－x ＋7>10不成立． 当x ≤－3时－x －3－x ＋7>10得：x <－3 所以不等式的解集为{x |x <－3或x >7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立． ∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥lg10＝1对任何x ∈R 都成立， 即lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a .当且仅当a <1时，对任何x ∈R 都成立．(理)(2015·某某市质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|－a . (1)若a ＝1，求不等式f (x )>x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤a (x ＋2)的解集为非空集合，求a 的取值X 围．[解析] (1)当a ＝1，不等式为|x ＋1|＋2|x －1|－1>x ＋2，即|x ＋1|＋2|x －1|>x ＋3，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，1－3x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，3－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x －1>x ＋3，解得x <－1，或－1≤x <0，或x >2，∴x <0或x >2 所求不等式的解集为{x |x <0，或x >2}．(2)由f (x )≤a (x ＋2)得，|x ＋1|＋2|x －1|－a ≤a (x ＋2)， 即|x ＋1|＋2|x －1|≤a (x ＋3)，设g (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ， x <－13－x ， －1≤x ≤13x －1， x >1如图，k PA ＝12，k PD ＝k BC ＝－3，故依题意知，a <－3，或a ≥12.即a 的取值X 围为(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [方法点拨] 解含绝对值符号的不等式一般用分段讨论法：令各绝对值号内表达式为零，解出各分界点，按分界点将实数集分段．6．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0，求a 的取值X 围．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >2，5－3x ，32≤x ≤2，x －1，x <32.当x >2时，1－x >0，即x <1，此时无解； 当32≤x ≤2时，5－3x >0，即x <53，解得32≤x <53； 当x <32时，x －1>0，即x >1，解得1<x <32.∴不等式解集为{x |1<x <53}．(2)2－x －|2x －a |<0⇒2－x <|2x －a |⇒x <a －2或x >a ＋23恒成立．∵x ∈(－∞，2)，∴a －2≥2，∴a ≥4.7．(文)(1)若|a |<1，|b |<1，比较|a ＋b |＋|a －b |与2的大小，并说明理由； (2)设m 是|a |、|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：|a x ＋bx2|<2. [解析] (1)|a ＋b |＋|a －b |<2. ∵|a |<1，|b |<1，∴当a ＋b ≥0，a －b ≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ≤2|a |<2， 当a ＋b ≥0，a －b <0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )＋(b －a )＝2b ≤2|b |<2， 当a ＋b <0，a －b ≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(－a －b )＋(a －b )＝－2b ≤2|b |<2， 当a ＋b <0，a －b <0时，|a ＋b |＋|a －b |＝(－a －b )＋(b －a )＝－2a ≤2|a |<2， 综上知，|a ＋b |＋|a －b |<2.(2)∵m 是|a |，|b |与1中最大的一个，∴m ≥1， 又∵|x |>m ，∴|x |>1，∴|x |>m ≥|a |，|x 2|>1≥|b |，∴|a ||x |<1，|b ||x 2|<1，∴|a x ＋b x 2|≤|a ||x |＋|b ||x 2|<1＋1＝2， ∴原不等式成立．(理)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求证：|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥4；(2)若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|2－x |)恒成立，某某数x 的取值X 围． [分析] (1)含两个绝对值号，可利用|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )±(a －b )|放缩． (2)变形后为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )，运用(1)的方法可得|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值m ，则问题转化为解不等式f (x )≤m .[解析] (1)|2a ＋b |＋|2a －b ||a |＝|2a ＋b a |＋|2a －ba |＝|2＋ba |＋|2－b a |≥|(2＋b a )＋(2－b a)|＝4(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2则有2≥f (x )解不等式2≥|x －1|＋|x －2|得12≤x ≤52.8．(文)(2015·某某市二模)已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0,4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值． [解析] (1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1，∵其解集为[0,4]，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＝0m ＋1＝4，∴m ＝3.(2)由(1)知a ＋b ＝3， (方法一：利用基本不等式)∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥92，∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(方法二：利用柯西不等式)∵(a 2＋b 2)·(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9， ∴a 2＋b 2≥92，∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(方法三：消元法求二次函数的最值) ∵a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋92≥92， ∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(理)(2015·某某市二模)设f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝m ，求ab ＋bc 的最大值． [解析] (1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2；当－1＜x ＜1时，f (x )＝－1－3x ＜2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)∵a 2＋2b 2＋c 2＝2，∴ab ＋bc ≤12[(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)]＝1，当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立．所以ab ＋bc 的最大值为1. 9．(文)已知a ，b 是不相等的正实数． 求证：(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2. [解析] 因为a ，b 是正实数， 所以a 2b ＋a ＋b 2≥33a 2b ·a ·b 2＝3ab >0(当且仅当a 2b ＝a ＝b 2，即a ＝b ＝1时，等号成立)， 同理，ab 2＋a 2＋b ≥33ab 2·a 2·b ＝3ab >0(当且仅当ab 2＝a 2＝b ，即a ＝b ＝1时，等号成立)， 所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )≥9a 2b 2(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．因为a ≠b ，所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.(理)(2014·某某市二模、某某省三诊)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ＋，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a 、b 、c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.[解析] (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)解法一：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )≥(a ·1a＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9.∴a ＋2b ＋3c ≥9.解法2：由(1)知，1a ＋12b ＋13c ＝1，a 、b 、c ∈R ＋，∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·1 ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )＝3＋2b a ＋3c a ＋a 2b ＋3c 2b ＋a 3c ＋2b 3c＝3＋(2b a ＋a 2b )＋(3c a ＋a 3c )＋(3c 2b ＋2b 3c)≥3＋2＋2＋2＝9，等号在a ＝2b ＝3c ＝13时成立．10．(文)(2015·某某市模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a (a >0)．(1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3的解集；(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ≥4.[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝|x ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－x －2－x －12>3，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤－12，x ＋2－x －12>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，x ＋2＋x ＋12>3，∴x <－114或∅或x >14，∴不等式的解集为{x |x <－114或x >14}．(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m＝|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a ≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|m |＋1|m |≥4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，a ＝1时等号成立.(理)(2015·某某统考)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m >n >0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .[解析] (1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |，则 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x ≤2.3，x >2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x ≤2，2x －1，x ≥2，∴h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3，∴a ＝3. (2)证明：由(1)知a ＝3， ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1m －n2，又∵m >n >0， ∴(m －n )＋(m －n )＋1m －n2≥33m －n m －n1m －n2＝3，∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .。

不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．高频考点一 不等式性质及解不等式例1、(1)若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( )A ．a <－bB ．a >bC ．a 2<b 2D.1a >1b (2)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 (1)∵a >|b |，|b |≥b ，∴a >b .故选B.(2)∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13， ∴易知a <0且⎩⎨⎧ b a ＝－56，－1a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a <0可化为x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A.【答案】 (1)B (2)A【方法技巧】 1．解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法．2．解含参数的“一元二次不等式”时，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据相应一元二次方程的根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论．3．解决恒成立问题可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．5．解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题.【举一反三】(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋2＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}。

第3讲 不等式及线性规划问题(建议用时：60分钟) 一、选择题1．(2014·枣庄二模)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )．A.14 B ．4 C ．12D ．2解析 由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立． 答案 C2．(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12x≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于 ( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2，或x >4}D ．{x |0<x ≤2，或x ≥4}解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}．∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4，或x <2}， ＝{x |0≤x <2，或x >4}． 答案 C3．(2013·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为 ( )．A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析可行域如图阴影部分(含边界)，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，经平移可知z ＝y －2x ，在点A (5,3)处取得最小值，最小值为－7.选A. 答案 A4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )． A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab .又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b ＝0，∴v >a .答案 A5．(2014·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝ ( )．A ．5B ．6C ．7D ．8解析 用图解法求出线性目标函数的最大值和最小值，再作差求解． 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z min ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 答案 B6．(2014·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12解析 作出可行域，平移直线y ＝x ，由z 的最小值为－4求参数k 的值．作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0.∵z ＝y－x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.答案 D 二、填空题7．(2013·广东卷)不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 解析 由x 2＋x －2<0得－2<x <1，故其解集为{x |－2<x <1}． 答案 {x |－2<x <1}8．(2013·四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}． 答案 {x |－7<x <3}9．(2014·浙江卷)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________． 解析 利用不等式求解．因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a .因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63.所以a max ＝63.答案6310．(2014·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解析 作出不等式组表示的平面区域，结合线性目标函数的最值求k .作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2. 答案 －211．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值．解析 因为12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 取得最小值时，a ＝－2.答案 －212．(2013·浙江卷)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC ，其中点A (4,4)，B (0,2)，C (2,0)．目标函数z ＝kx ＋y ，化为y ＝－kx ＋z .当－k ≤12即k ≥－12时，目标函数z ＝kx ＋y ，在点A (4,4)取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意；当－k >12即k <－12时，目标函数z ＝kx ＋y 在点B (0,2)取得最大值12，故k ·0＋2＝12，无解，综上可知，k ＝2.答案 213．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．解析 本题是实际问题，建立函数关系即可．设矩形场地的宽为x m ，则矩形场地的长为(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2. 答案 2 500 m 2三、解答题 14．已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 15．(2014·南京、盐城高三期末)近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k20x ＋100(x ≥0，k 为常数)．记F (x )为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立F (x )关于x 的函数关系式； (2)当x 为多少平方米时，F (x )取得最小值？最小值是多少万元？解 (1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C (0)＝k 100＝24，得k ＝2 400，所以F (x )＝15×2 40020x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x (x ≥0)．(2)因为F (x )＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5， 当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)，即x ＝55时取等号，所以当x 为55平方米时，F (x )取得最小值，最小值为57.5万元．。