高三数学上学期期末联考试题理

2016-2017学年期末联考高三理科 数学试卷【完卷时间：120分钟；满分150分】一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案填涂在答题卷相应位置上.1．若，，且，则的取值范围是（ ) A ． B ． C ．D ．2。

复数(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知｜ 且则向量与的夹角等于( )A ．B ．C ．D ．4.如图是一个几何体的三视图，尺寸如图所示,（单位：cm ）,则这个几何体的体积是（ )A ．cm 3B ．cm 3C ．cm 3D ．cm 3 5。

程序框图如图:如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入 （ ）A ．K 〈10？B ．K 10？C ．K<11?D ．K 11？6. 等差数列中，是前项和，且,则的值为（ ） A 。

B 。

C 。

D 。

7．函数的图象大致是( ){}m A,1,0=02B x x {|}=<<{}m B A ,1=⋂m 01(,)12(,)0112(,)(,)02(,)2(2)1i z i +=-||1,||2,,a b ca b ===+,c a ⊥a bθ03006001200150)3610(+π)3511(+π)3612(+π)3413(+π≤≤{}n a n S nk S S S S==783,k 411212331xx y =-A ．B ．C ．D ．8．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是9，那么实数的值为( ） A ． B ．— C ．—5 D ．19．若函数，为了得到函数的图象，则只需将的图象( ) A ．向右平移个长度单位 B 。

向右平移个长度单位C 。

向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位10.已知双曲线的右顶点为E ，过双曲线的左焦点且垂直于x 轴的直线与该双曲线相交于A 、B 两点，若∠AEB=90°,则该双曲线的离心率是（ )A ．B ．2C ．或2D ．不存在11。

高三数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号.座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （）A.(2,3)B.(,3)-∞ C.(,2)-∞ D.(4,)+∞2.若复数2i1iz =+，则z z -=（）A.2 B.2i - C.2- D.2i3.已知向量(3,5)a = ，(1,21)b m m =-+ ，若//a b，则m =（）A.8B.8-C.213-D.87-4.已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（）A.b c a>> B.b a c >> C.c b a >> D.c a b>>5.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（）A.4B.8C.6D.106.已知函数()cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（）A.向左平移8π个单位长度 B.向左平移34π个单位长度C.向右平移34π个单位长度D.向右平移38π个单位长度7.已知ABC △是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为3π，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（）A.52πB.523π C.2083π D.1033π8.在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的取值范围为（）A.(,1]-∞ B.[1,)+∞ C.(0,1] D.(,4]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号12345678910早睡群体睡眠指数65687585858588929295晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A.早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B.早睡群体的睡眠指数的众数为85C.晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D.早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小10.下列结论正确的是（）A.若0a b <<，则22a ab b >>B.若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2C.若2a b +=，则22a b +的最大值为2D.若(0,2)x ∈，则1122x x+≥-11.已知点(0,5)A ，(5,0)B -，动点P 在圆22:(3)(4)8C x y ++-=上，则（）A..直线AB 截圆C B.PAB △的面积的最大值为15C.满足到直线AB 的P 点位置共有3个D.PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣12.已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（）A.(1)(3)2f f += B.(2023)(2025)(2024)f f f +=C.(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项D.20241()2024i f i ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数21()2e 2xf x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则a =_________.14.某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC所成角的余弦值为10，则1CC =_________.16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.（12分）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且()320D X >，求K 的最小值.19.（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =，求b c +.20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD .（1）证明：PC PD =.（2）若24AD AB ==，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值.21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程，（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.22.（12分）已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞.（1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件的1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由.高三数学参考答案1.C 因为{4A x x =>或}2x <，{}3B x x =<，所以{}2A B x x =< .2.D因为2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，所以1i z =-，故2i z z -=.3.B 因为//a b，所以3(21)5(1)m m +=-，所以8m =-.4.A 因为0.30.3log 2log 10a =<=，0.20331b =>=，0.30.2(0,1)c =∈，所以b c a >>.5.B 因为OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，||2p OF =，所以624p p +=，8p =.6.D()cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23()sin 22cos 12244g x x x x x ππ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，故将()f x 的图象向右平移38π个单位长度可得到()g x 的图象.7.C 在三棱锥C ABD -中，底面ABD 是以AB 为斜边的直角三角形.设底面ABD 外接圆的圆心为O '，则其半径4r =，设三棱锥C ABD -外接球的球心为O ，半径为R ，因为二面角A BD C --为3π，所以点C到底面的距离为C 在底面的射影为AD 的中点E，所以O E '=.设球心O 到底面ABD 的距离为d ，则222r d R +=，且222)O E d R '+=，解得2523R =，所以220843S R ππ==.8.A 因为1n n a a n +=，11a =，所以21a =，且当2n ≥时，11n n a a n -=-，所以111n n n n a a a a +--=，所以111n n na a a +-=-，所以3142531123111n n n a a a a a a a a a a a +-+++=-+-+-++-= 12112n n n n a a a a a a ++--++=+-.因为1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，所以1122n n n n a a a a λ+++-≤+-，所以22λ≤，故1λ≤.9.BD 因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A 错误；因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B 正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为6668672+=，所以C 错误；由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D 正确.10.AD因为2()0a ab a a b -=->，所以2a ab >，因为2()0ab b b a b -=->，所以2ab b >，所以22a ab b >>，故A 正确；因为221222x x ++≥+的等号成立条件22122x x +=+不成立，所以B 错误；因为222122a b a b ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以222a b +≥，故C 错误；因为11111121(2)2(22)2222222x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当112x x=-，即1x =时，等号成立，所以D 正确.11.BCD 对于A ，因为(0,5)A ，(5,0)B -，所以直线AB 的方程为50x y -+=，圆心()3,4C -到直线AB=C的半径r =AB 截圆C所得的弦长为2=，A 错误.对于B，易知||AB =PAB △的面积最大，只需点P 到直线AB 的距离最大，而点P 到直线AB 的距离的最大值为+=，所以PAB △的面积的最大值为12⨯15⨯=，B 正确.对于C ，当点P 在直线AB 上方时，点P 到直线AB的距离的范围是(0,r +，即(，由对称性可知，此时满足到直线AB的P 点位置有2个.当点P 在直线AB 下方时，点P 到直线AB 的距离的范围是(0,r，即，此时满足到直线AB的距离为的P 点位置只有1个.故满足到直线AB 的距的P 点位置共有3个，C 正确.对于D ，由题意知2()()()PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅.又因为(0,5)A ，(5,0)B -，(3,4)C -，所以(3,1)CA = ，(2,4)CB =-- ，故3(2)1(4)10CA CB ⋅=⨯-+⨯-=-，(1,3)CA CB +=- .设点()00,D x y 满足CA CB CD += ，则()003,4CD x y =+- ，故031,43,x y +=⎧⎨-=-⎩解得002,1x y =-⎧⎨=⎩即(2,1)D -，||CD = 2()PA PB PC PC CA CB CA CB⋅=+⋅++⋅8||||cos ,102,24,PC CD PC CD PC CD PC CD =+⋅⋅〈〉-=-+〈〉=-+〈〉.又因为,[PC CD 〈〉∈-，所以2,[22PC CD -+〈〉∈---+，即PA PB ⋅ 的取值范围为22⎡---+⎣，D 正确.12.ACD因为(2)()(2026)f x f x f ++=，所以(4)(2)(2026)f x f x f +++=，两式相减得(4)()f x f x +=，所以()f x 的周期为4.因为(1)1f x +-是奇函数，所以(1)1(1)1f x f x -+-=-++，所以(1)(1)2f x f x -+++=，即()(2)2f x f x -++=，所以(1)1f =.因为(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==，所以(4)0f =，即(0)0f =.因为()(2)2f x f x -++=，所以(0)(2)2f f +=，所以(2)2f =，所以(2)()2f x f x ++=，所以(3)(1)2f f +=，故A 正确.因为()(2)2f x f x -++=，所以(1)(3)2f f -+=，即(3)(3)2f f +=，所以(3)1f =.因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以C 正确.因为20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，所以D 正确.13.2-()2e x f x x a '=--，由(0)20f a '=--=，得2a =-.14.60由题意可知凉菜选择方案共有24C 6=种，饮品选择方案共有2144C C 10+=种，因此该套餐的供餐方案共有61060⨯=种.15.连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点E ，连接OE ，BE .因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为BOE ∠（或其补角）.令EC x =，在BEO △中，由8AB =，6AD =，得5OB =.又OE =，BE =，cos 10BOE ∠=，由余弦定理得222210OE OB BE OE OB +-=⋅，解得x =，所以1CC =.16.12由题意可知点(,)a b 一定在其蒙日圆上，所以22273a b b +=，所以234b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故椭圆C的离心率为12=.17.解：（1）因为210n n S a +-=，所以当1n =时，113a =，当2n ≥时，11210n n S a --+-=，两式相减得13n n a a -=，所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，则1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为27log 3n n n b a ==-，所以119119(1)1n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111111119991122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ .18.解：（1）因为(248)0.1P M <=，所以(248)10.10.9P M ≥=-=，则这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率为223C 0.90.10.243⨯⨯=.（2）因为(248)0.1P M <=，所以(248252)(0.50.1)20.8P M <<=-⨯=.依题意可得~(,0.8)X B K ，所以()0.8(10.8)0.16D X K K =⨯⨯-=，因为()320D X >，所以2000K >，又K 为正整数，所以K 的最小值为2001.19.解：（1）因为sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以1sin sin sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos sin 22A A =，所以tan A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）解法1：因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S +=△△△，所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠.因为3BAC π∠=，6DAB DAC π∠=∠=，AD =，所以333444AB AC AB AC +=⋅，所以AB AC AB AC +=⋅，即c b cb +=.因为22222cos()33a b c bc b c bc π=+-=+-，a =所以2()3()180b c b c +-+-=，所以6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=.解法2：由点D 分别向AB ，AC 作垂足E ，F ，因为AD 为角平分线，所以322AD DE DF ===，所以32sin BD B =，32sin CD C=，又因为BD CD BC +==，所以332sin 2sin B C+=①由正弦定理得sin sin sin b c aB C A===所以126sin B b =，126sin C c=，代入①式得1b cbc +=，即b c bc +=.如下同解法1参考答案解答过程.20.（1）证明：取CD 的中点F ，连接,,EF PF OF ，因为E 为PC 的中点，所以//EF PD .又EF ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面APD .因为//OE 平面PAD ，OE EF E = ，所以平面//OEF 平面PAD .因为平面ABCD 平面OEF OF =，平面ABCD 平面PAD AD =，所以//OF AD .因为AD CD ⊥，所以OF CD ⊥.由PO ⊥平面ABCD ，可得PO CD ⊥.又PO OF O = ，所以CD ⊥平面POF ，从而PF CD ⊥.因为PF 是CD 的中垂线，所以PC PD =.（2）解：因为PO ⊥平面ABCD ，所以PC 与平面ABCD 所成的角为60PCO ∠=︒，又OC OD ⊥，2AB CD ==，112OF CD ==，OC ==，所以PO ==.作OG BC ⊥，垂足为G ，分别以,,OG OF OP的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,1,0)D -，(1,3,0)B -，(1,1,0)C，P ，(0,4,0)BC =，(1,1,PC = ，(2,0,0)DC =.设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则111140,0,m BC y m PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令11z =，得m = .设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则222220,0,n DC x n PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令2y =，得n = .所以1cos ,||||7m n m n m n ⋅〈〉===，即平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为17.21.（1）解：设右焦点为(,0)F c ，一条渐近线方程为0bx ay -=，1b ==.因为426c e a ==，所以a =，c =.故C 的方程为2216x y -=.（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，l的方程为x =，此时||2PQ =，122OPQ S =⨯⨯=△当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且66k ≠±.联立方程组22,1,6y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221612660k x mkx m ----=.由()()2222144416660m k k m ∆=+-+=，得2261k m =+.联立方程组,6,6y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得x =.不妨设l 与66y x =，66y x =-的交点分别为P ，Q，则P x =同理可得Q x =，所以2|||16P Q m PQ x k =-=-.因为坐标原点O 到l的距离d =，所以2216||216OPQ S PQ d k =⋅=-△.因为2261k m =+，所以OPQ S =△故OPQ △.22.解：（1）21ln ()a x f x x --'=，当1a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[1,)+∞上单调递减.当1a <时，令()0f x '=，得1e a x -=.)11,e a x -⎡∈⎣，()0f x '>，则()f x 在)11,e a -⎡⎣上单调递增，()1e ,a x -∈+∞，()0f x '<，则()f x 在()1e ,a -+∞上单调递减.（2）由（1）知，令0a =，得ln ()x f x x =在[1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则11()(e)e 2f x f ≤=<.因为121x x >≥，所以()12211212x x x x x x x x -=，即()12122112ln ln ln x x x x x x x x -=+，即()121212ln ln ln ,x x x x x x -=+，因为1x ，2x 为正整数，所以121x x -≥.当121x x -=时，21121x x x x =，因为21x ≥，12x ≥，所以21121x x x x >，这与21121x x x x =矛盾，不符合题意.当121x x ->时，因为11ln 12x x <，22ln 12x x <，所以()121212ln ln ln 1x x x x x x -=+<，所以12e x x -<，得122x x -=，即1212ln ln ln 2x x x x =+.经检验，当21x =，13x =时，不符合题意，当22x =，14x =时，符合题意，当23x =，15x =时，因为5315352⨯<，所以ln3ln5ln 235+<，当24x ≥时，11ln ln 6ln565x x ≤<，22ln ln 4ln343x x ≤<，所以1212ln ln ln5ln3ln 253x x x x +<+<.。

四川省绵阳市江油中学2024学年数学高三第一学期期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x x D ．{|56}-<x x2．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．21+D ．221+4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．45．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-6．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，()1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）A ．43B ．3C ．6D ．237．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．628．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．2C ．3D ．39．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）A ．523+B ．523-C ．2133+D ．2133-10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >11．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A ．82B ．8C ．2D ．412．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（ ）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（ ）A.22a b ab > B.2211ab a b> C.33a b < D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（ ）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（ ）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（ ）B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（ ）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（ ）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x的值域为⎡⎢⎣D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0e k t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan 2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D 由题意可得()(1)e xx f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1x f x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A，故min ||AB ==.9.ABD 当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD 由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD 因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得t <<()0g t '<，得1t -≤<1t <≤，则()g t在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递减，在⎛ ⎝上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，g ⎛= ⎝，g =()g t ⎡∈⎢⎣，即()f x的值域是⎡⎢⎣，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin t x ⎤=∈⎥⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在⎤⎥⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4 由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以sin C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7 由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln 32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15 由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以sin C =（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，sin C =，cos C =，则34sin sin()sin cos cos sin 55B A C A C A C =+=+==由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==，sin sin a C c A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x xa a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x x x a af x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x xf x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=-- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992n n n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n n n n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。

2024学年广东省珠海市数学高三第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ） A ．131+ B ．132+ C ．151+D ．152+2．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( ) A ．13B ．3C ．33D ．33．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12804．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭6．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．57．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．19．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1510．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=11．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年B ．9年C ．10年D ．11年12．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三元月联考理 科 数 学 试 题本试卷共2页，共23题（含选考题）满分150分，考试用时120分钟★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交．一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足(1)z i i -=，则z 在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合2{230}A x x x =--≤|，集合2{log 1}B x x =≤|，则()U A B =I ð A ．(2,3] B ．φ C ．[1,0)(2,3]-U D ． [1,0](2,3]-U 3．已知0.20.8512,(),2log 22a b c -===，则A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c << D. b a c <<4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏． A ．2 B ．3 C ．26 D ．27 5．若直线()+2=0>0>0ax by a b +、截得圆()()2221=1x y +++的弦长为2，则12a b+的最小值为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．106．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x xf x x +=-的图象大致是7．函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移______个单位长度得到．A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π8．若向量a r 与b r 的夹角为60o ，(2,0)a =r，223a b +=r r ，则b r ＝A. 3 B ．1 C ．4 D ．3 9．如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ,OB ,OC ,OD为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．21π- B ．112π-C ．2πD ．1π 10．设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是 A ．7[,)6-+∞ B ．5[,)3-+∞ C ．5[,)4-+∞ D ．4[,)3-+∞11．SC 是球O 的直径，A 、B 是该球面上两点，3AB =，30ASC BSC ∠=∠=o ，棱锥S ABC-的体积为3，则球O 的表面积为 A.4π B.8π C.16π D.32π12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（1）2x =是()f x 的极小值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）1()2f x x >恒成立； （4）设函数2()()4g x xf x x =-++，若存在区间1[,][,)2a b ⊂+∞，使()g x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，则92ln 2(1,]10k +∈. A ．(1) (2) B ．(2)(4) C ．(1) (2) (4) D ．(1)(2)(3)(4) 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知曲线2sin xy e x =-，则其在点(0,2)处的切线方程是 ▲ ．14．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，362a a +=，则9a = ▲ ． 15．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为 ▲ ．16．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的上支与焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点．若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．A B CDO三．解答题：共70分。

2024届陕西省渭南市富平县高三第一次（5月）联考数学试题理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使得()13nx n N x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>3．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A ．32B ．12C ．34D ．744．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B ．2613C ．1313D ．13105．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）6．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆7．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π8．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．64 B ．32 C ．8 D ．169．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．10．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53πB ．43π C ．223π+D ．243π+12．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省天一大联考2020届高三数学上学期期末考试试题 理考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A= {-1,1,3,5},B={0,1,3,4,6} , =B A Y A.{1,3} B.{1}C. {-1，0，1，1,3,4,5,6}D.{-1，0，1，3,4,5,6}2.设复数iii i z -+-+=3)2)(1(，则=||z A. 22 B. 5 C. 2 D. 23.已知向量)()(),0,3(),0,3(n q m q n m -⊥--==,则=||q 为 A. 7B.5C. 3D. 14.近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的aPP 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调査在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法： ①可以估计使用aPP 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏；③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的41 其中正确的个数为A.OB.1C.2D.35.记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若141+=a S n ,则A. 282=+a aB. 482=+a aC. 272=+a aD.472=+a a 6.已知实数 a ，b ，c 满足50log ,10,456131===c b a ，则 A. c >a >b B. a > c > b C. c > b > a7.下列函数中，既是偶函数又在),2(+∞上单调递减的是A. 11)(+-=x x e e x fB. |)11lg(|)(-+=x x x f C. ⎪⎩⎪⎨⎧+≥-=0<,40,4)(22x x x x x x x f D. )11lg()(2-+=x x f 8.已知长方体1111D C B A ABCD -的表面积为208, 181=++AA BC AB ,则该长方体的外接球的表面积为 A. π116B. π106C. π56D. π539.记双曲线0)>b >(12222a by a x =-的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线C 的渐近线l 上，点P ，P'关于X 轴对称.若2121214,'PF PF k k k PF F P ⋅=⊥，其中1,,21k k k PF PF 分别表示直线l PF PF ,,21的斜率，则双曲线C 的离心率为A.25B. 3C. 5D. 5210.已知数列{n a }满足n a n a a a n 4)23(...74321=-++++，则=+++22214332...a a a a a a A.85 B. 43 C. 45 D. 25 11.已知函数)2,0(,0,sin )1cos 2(cos cos sin 2)(2πϕωϕωϕωω∈≠-+=x x x x f ，若0)()2(),()3(=+=-πωππf f x f x f ,则ϕ A. 125π B. 3π C. 4π D. 6π12.已知抛物线C:0)>(22p py x =的焦点F 到准线l 的距离为2，直线21,l l 与抛物线C 分别交于M,N 和M, P 两点，其中直线2l 过点F ，),(,R R y x R RN MR=，若2||p MN y R -=，则当∠MF N 取到最大值时，=||MP A.14B.16C.18D.20二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.52)12(x x +的展开式中，含4x 项的系数为 .14.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≥04332312y x y x x y ,则y x z +=2的最大值为 .15.已知长方体1111D C B A ABCD -的体积为32, ∈==E BC AB ,42平面11A ABB ，若点E 到直线1AA 的距离与到直线CD 的距离相等，则||1E D 的最小值为 .16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤m xe m x x e >x ,＜0,ln 2若函数g(*) =f(x) - m 仅有1个零点，则实数m 的取值范围为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答. (―)必考题:共60分. 17.(12分）已知ABC ∆中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，CBM ABM MC AC b A B A ∠=∠===+2,3,5,sin 2)sin(.(I)求ABC ∠的大小； (II)求ABC ∆的面积. 18.(12 分)随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.(I)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[6. 5,7. 5)(时）内的频率； (II)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；(Ⅲ)以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[4. 5,6. 5)(时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望. 19.(12 分）如图，五面体ABCDEF 中，EF AE 2=，平面DAE ⊥平面ABFE ，平面CBF ⊥平面ABFE ，EF AB FBA EAB CFB DEA DAE ∥,450=∠=∠=∠=∠=∠，点P 是线段AB 上靠近A 的三等分点。

2023届河南省郑州市等5地舞阳县第一高级中学等2校高三上学期1月期末联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}(){}12,ln 67A x x B x y x =≤≤==-∣∣，则A B =（ ） A ．716xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭∣ B ．726x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．{}12xx ≤≤∣ D ．76xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】B【分析】对B 集合化简，由对数函数的真数大于零，得到B 集合，再利用集合交集的定义即可求得结果.【详解】依题意，7{670}6B xx x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭∣∣，则726A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：B.2．已知在复平面内，复数12,z z 所对应的点分别为()()2,5,3,7--，则12iz z ⋅=（ ） A ．2929i -- B ．2929i - C ．2929i + D ．2929i -+【答案】A【分析】由复数的几何意义表示出复数12,z z ，再代入所求式子，利用复数的运算法则化简即可得到所求结果. 【详解】依题意，()()1225i 37i 614i 15i 352929i2929i i i i iz z +⋅--⋅---+-====--. 故选：A.3．已知向量(),1m t =，()2,1n t =-，若22224m n m n -=+，则2t =（ ）A B ．1 C ．2D ．12【答案】D【分析】先求出2m n -的坐标，再结合题意列出方程求解即可. 【详解】依题意，()()()22,22,14,1m n t t t -=--=，由22224m n m n -=+，则()2221614141t t t +=+++，所以212t =. 故选：D.4．为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：h ）统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中位数为（ ）A ．24.25B ．24C ．23.75D ．23.25【答案】C【分析】根据小矩形的面积之和为1，求出a 的值，再求出小矩形面积之和为0.5的横坐标的值即为中位数.【详解】依题意，()0.020.040.102 2.51a a ++++⨯=，解得0.08a =，故前3块小矩形的面积分别为0.05，0.25,0.4，则所求中位数为0.50.050.2522.523.750.16--+=.故选：C5．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，11,AD A D 交于点O ，则（ ） A ．OB ⊥平面11ACC A B ．OB ⊥平面11A B CD C ．OB平面11CD BD ．1OB BC ⊥【答案】C【分析】由线面平行的判定定理即可得出结果.【详解】作出图形如图所示，连接BD ，因为111,BD B D OD B C ∥∥，所以平面OBD 平面11CD B ，故OB平面11CD B ，其他三个选项易知是错误的.故选：C.6．为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算256×4096时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即25640961048576⨯=.记()128log 64598820000000log 8192a =⨯+，则a ∈（ ）n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2n1 2 4 8 16 32 64 128 256 5121024n11 1219 20 21 22 23 24 25⋯2n 2048409652428810485762097152419430483886081677721633554432⋯A ．()1,0-B ．()2,1--C ．()3,2--D ．()4,3--【答案】B【分析】根据表中数据分别找到645988和20000000介于的范围，即可求解()2log 64598820000000⨯的范围，根据对数的运算性质即可求解.【详解】因为()()645988524288,1048576,2000000016777216,33554432∈∈， 故()2log 64598819,20∈，()2log 2000000024,25∈， 则()()2log 6459882000000043,45⨯∈，则()()128143log 64598820000000log 6459882000000015,33⎛⎫⨯=-⨯∈-- ⎪⎝⎭，而222log 8192log 2log 409613=+=，故42,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故选:B7．已知点((0,,0,M N -，若在直线:0(0,0)l mx ny m n -=>>上存在点A，使得AM AN -= ）A．m n >+B．m n <+C．m > D．m <【答案】C【分析】由条件结合双曲线定义可得直线l与曲线(22162y x y -=≤有交点，由此列不等式求,m n的关系.【详解】因为AM AN -=((0,,0,M N -，所以点A 在为以,M N 为焦点的双曲线的下支，设双曲线方程为()22221,0,0y x y a a b a b-=≤->>，则2228a b a ==-，所以点A在曲线(22162y x y -=≤上，因为点A 也在直线0(0,0)mx ny m n -=>>上，所以(()2216200,0y x y mx ny m n ⎧-=≤⎪⎨⎪-=>>⎩有解；所以m n >m >.故选：C.8．已知正数,a b 满足3a b +=，若55a b ab λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．81,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．81,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．27,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可得44a b b a λ+≥，然后求出44a b b a+的最小值即可，而3a b +=，所以()44443a b a b b a a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+=，化简后利用基本不等式可求得其最小值.【详解】依题意，44a b b a λ+≥，因为正数,a b 满足3a b +=，所以()4455444433a b a b a b a b b a a b b ab a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭+==442223a b a b ++≥=()2224()273124ab a b ++=≥=， 当且仅当a b =，即33,22a b ==时两个等号同时成立，所以λ的取值范围为27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：B 9．若112324log (21)a b c -+==+，则,,a b c 的大小关系不可能为（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【分析】令函数()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=，然后在同一直角坐标系中分别作出()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====的大致图象，再根据函数图象分析判断即可. 【详解】令函数()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=，在同一直角坐标系中分别作出()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====的大致图象，如图所示， 观察可知，可能有b a c >>（()m x 的图象为1l 时）､b c a >>（()m x 的图象为2l 时）c b a >>､（()m x 的图象为3l 时）， 故选：B.10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的两条直线12,l l 分别与抛物线C 交于点11,A B 和22,A B ，且点12,A A 在x 轴的上方，则直线1122,A A B B 在x 轴上的截距之积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D【分析】设直线11A B 的方程为1x my =+，代入抛物线方程化简得2440y my --=，则根据根与系数的关系可设()()221111111,2,,2A t t B t t ---，则可表示出12A A 的方程，从而可求得直线12A A 在x 轴上的截距直线12A A 在x 轴上的截距，同理可得直线12B B 在x 轴上的截距，进而可得答案. 【详解】由题可知()1,0F .设直线11A B 的方程为1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，则根据根与系数的关系可设()()221111111,2,,2A t t B t t ---，同理可设()()221222222,2,,2A t t B t t ---，则直线12A A 的斜率12122A A k t t =+， 直线12A A 的方程为()2221222y t x t t t -=-+， 令0y =，得12x t t =-，即直线12A A 在x 轴上的截距为12t t -. 同理可得，直线12B B 在x 轴上的截距为121t t -， 所以直线1122,A A B B 在x 轴上的截距之积为1. 故选：D11．已知正四棱锥S ABCD -26，底面边长为2,2SA >.若SC 垂直于过点A 的平面α，则平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面面积为（ ）A ．433B ．463C ．423D ．83【答案】A【分析】根据外接球的半径可得棱锥的高，进而可求正四棱锥的棱长，根据SC 垂直于过点A 的平面可得截面，进而根据线面垂直可证明AE FH ⊥，根据相似求长度，进而根据面积公式即可求解. 【详解】设正四棱锥S ABCD -的高为h ，其外接球的半径为R .因为22()2R h R =-+，解得6h =或63h =.当63h =时，22626(2)233SA ⎛⎫=+=< ⎪ ⎪⎝⎭，不符合题意；当6h =时，22SA AC SC ===，所以SAC 为等边三角形.取SC 的中点E ，连接AE ，则AE SC ⊥，且6AE =.设平面α直线SB F =，平面α直线SD H =，则,EF SC EH SC ⊥⊥.在SBC △中，由余弦定理可得8843cos 422222BSC ∠+-==⨯⨯，所以42cos 3SE SF BSC ∠==.由于,SDC SBC ≅所以SH SF =，故FH BD ∥，故23FH SF BD SB ==，故24233FH BD ==.由于SC ⊥平面AFEH ，HF ⊂平面AFEH ，所以SC ⊥HF ,又FH BD ∥，BD AC ⊥,故HF AC ⊥,,,SC AC C SC AC ⋂=⊂平面SAC ,HF ⊥平面SAC ,AE ⊂平面SAC ，所以AE FH ⊥,在四边形AFEH 中，AE FH ⊥，故12AFEH S AE =.142436233FH =⨯⨯=, 故选：A12．已知在ABC 中，222sin 2sin 4sin B C A +=，若2ABCS BC λ≤（ABCS表示ABC 的面积）恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．10∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭B ．10∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭C ．10∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭D ．10∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合换元法，导数的性质进行求解即可. 【详解】记角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .因为222sin 2sin 4sin B C A +=，所以由正弦定理可得22224b c a +=.()()222222222222222224422141sin 21cos sin 2442ABC b c a b c bc A bc b c A S b c A a a a a b c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥⎛⎫ ⎪-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==== ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭. ()()2222222224424422223241641529416442b c b c b c b c b c b c b c b c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦==⋅+++， 令220c t b =>，则()2228711116441ABC t S a t t ⎡⎤-⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦， 令()271441t g t t t -=++，则()31114(21)t g t t -=+'，故当110,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，当11,14t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g t '<，故max 1149()1472g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故2max ABC S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则实数λ的取值范围为∞⎫+⎪⎪⎣⎭. 故选：A【点睛】关键点睛：利用换元法构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，求出最值是关键.二、填空题13．25(31)(1)x x --的展开式中5x 的系数为__________. 【答案】121【分析】展开2(31)x -，再求出5(1)x -展开式中435x x x ，，的系数，即可得答案. 【详解】因为5(1)x -展开式中435x x x ，，的系数分别为21555C ,C ,C -， 而22(31)961x x x -=-+，故25(31)(1)x x --的展开式中5x 的系数为2105559C 6C C 121⋅+⋅+=.故答案为：121.14．已知函数()()ππsin ,sin ,033f x x g x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，则ω的一个值为__________. 【答案】32（答案不唯一）【分析】根据对称轴相同列方程，化简求得ω，进而确定正确答案. 【详解】因为()f x 与()g x 的图象的对称轴相同， 所以()πππ33k k ωω=-+∈Z ，故()32kk ω=∈Z ， 因为0ω>，故()*32kk ω=∈N . 故答案为：32（答案不唯一）15．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为,,,2,23,4A B C AC AB BC ===.现移动边AC ，使得点,A C 分别在x 轴､y 轴的正半轴上运动，则OB （点O 为坐标原点）的最大值为__________.【答案】113+131【分析】取AC 的中点E ，解三角形求,OE BE ，结合两点之间线段最短的结论求OB 的最大值. 【详解】由已知2,23,4AC AB BC ===，如图，取AC 的中点E ，因为OAC 为直角三角形，故112OE AC ==. 由于ABC 为直角三角形，故22||13BE AB AE +显然OB OE BE ≤+，当且仅当,,O B E 三点共线时等号成立， 故OB 的最大值为113+故答案为：11316．已知0a >，函数()()ln 1ln(1)af x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦在其定义域()1,-+∞上单调递减，则实数=a __________.【答案】2【分析】由导数与函数的单调性关系结合条件可得对任意的()()1,,0x f x ∈-+'∞≤恒成立，再利用导数求函数()()ln 12g x a x x =+-的最大值和取最大值的条件，由此可得a 的值.【详解】因为()()ln 1ln(1)a f x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦，所以()()ln 12f x a x x +'=-， 由已知函数()()ln 1ln(1)a f x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦在其定义域()1,-+∞上单调递减，所以对任意的()()1,,ln 120x a x x ∈-+∞+-≤恒成立. 设()()ln 12g x a x x =+-，则()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+， 由0a >知，112a->-所以当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，当1,2a x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在12ax =-时取得最大值，又()00g = 所以()g x 对任意的()()()1,,0x g x g ∈-+∞≤恒成立， 即()g x 的最大值为()0g ，所以102a-=，解得2a =. 故答案为：2三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且412716,28a a S +==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足43n nn a a b =，且{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式31nn a T ⋅->的n 的值. 【答案】(1)n a n = (2)1，2【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，从而求得n a .（2）利用错位相减求和法求得n T ，由此化简不等式31n n a T ⋅->，结合差比较法求得正确答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则4121712141672128a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩, 解得11a d ==， 故n a n =.（2）依题意，43n nnb =， 故2311231433333n n n n n T --⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭，则2341112314333333n n n n n T +-⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭， 两式相减可得：2311111121111463344213333333313n n n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=⋅++++-=⋅-=- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，解得2333n nn T +=-. 故31n n a T ⋅->可转化为()2313nn n +>. 令()233n nn n d +=， 则()()()2111125234250333n n n n n n n n n n n d d ++++++--+-=-=<（*N n ∈）， 故1n n d d +<，即{}n d 单调递减.注意到31d =，所以满足条件的n 的值为1，2.18．如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为矩形，且2,AB AD SD =⊥平面,ABCD SAD 为等腰直角三角形，M 是线段AB 上靠近B 的四等分点.(1)求证：平面SCM ⊥平面SBD ； (2)求直线SA 与平面SCM 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4214【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明CM ⊥平面SBD ，即可求证； （2）建立空间直角坐标系，求出SA 和平面SCM 的法向量即可求解 【详解】（1）因为SD ⊥平面,ABCD CM ⊂平面ABCD ，所以SD CM ⊥， 因为14BM AB =，所以2AB BC AD BM==， 所以Rt CBM ∽Rt BAD ， 所以BMC BDA ∠∠=，所以90BMC ABD ∠∠+=，即BD CM ⊥，又SD BD D =，,SD BD ⊂平面SBD ，所以CM ⊥平面SBD ， 因为CM ⊂平面SCM ，故平面SCM ⊥平面SBD .（2）以D 为原点，,,DA DC DS 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 不妨设4AB =，则()()()()0,4,0,0,0,2,2,3,0,2,0,0C S M A ，所以()()()0,4,2,2,1,0,2,0,2SC CM SA =-=-=-， 设平面SCM 的法向量为(),,n x y z =，则20420n CM x y n SC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则2,4,y z ==，即()1,2,4n =记直线SA 与平面SCM 所成的角为θ，则6sin cos ,22SA n SA n SA nθ⋅====⋅.19．近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长.现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示.(1)若y 与x 线性相关，求y 与x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； (2)若甲､乙､丙､丁4名大学生毕业后进入电商行业的概率分别为2133,,,3244，且他们是否进入电商行业相互独立.记这4人中最终进入电商行业的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.参考公式：在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay bx xnx ==-==--∑∑. 【答案】(1)ˆ 2.3 3.1yx =+； (2)分布列见解析，()83E X =.【分析】（1）根据题中所给公式，结合平均数的公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意，581111153,105x y ++++===，而55211516334475173,149162555i i i i i x y x ===++++==++++=∑∑，故515222151735310ˆˆ2.3,10 2.33 3.155535i ii ii x y xybaxx ==--⨯⨯====-⨯=-⨯-∑∑， 故所求回归直线方程为ˆ 2.3 3.1yx =+； （2）依题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.()111110324496P X ==⨯⨯⨯=，()122111111111319313244324432449632P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()11222111213111311133292C C 324432443244324496P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()1221312133113339133C 3244324432449632P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()2133183432449616P X ==⨯⨯⨯==，所以X 的分布列为故()132913380123496329632163E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知函数()()32e 2R 2xx f x x ax a =+--∈.(1)设函数()()2f x axm x x+=，判断()m x 的单调性；(2)若当0x ≥时，关于x 的不等式()3cos 2x f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)在(),0∞-和()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 (2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】(1)由已知()2e 2x x m x x x =-+，求其导函数()m x '，解不等式()0m x '>求函数()m x 的递增区间，解不等式()0m x '<，求函数()m x 的递减区间；(2)由已知可得当0x ≥时，2e cos 20x x x ax ---≥恒成立，当12a ≤时，利用多次求导证明函数2e cos 20x y x x ax =---≥恒成立，当12a >，先证明e e x x ≥，由此证明存在0x ，当()00,x x ∈时，2e cos 20x x x ax ---<，由此确定a 的取值范围.【详解】（1）因为()32e 22xx f x x ax =+--，()()2f x ax m x x +=，所以()2e ,02x x m x x x x =-+≠，则()()()()221e e 111x x x m x x x x x -⎛⎫=+-=-+ ⎝'⎪⎭，故当0x <时，()0m x '<，当01x <<时，()0m x '<，当1x >时，()0m x '>，故()m x 在(),0∞-和()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.（2）依题意，当0x ≥时，()2e cos 20*x x x ax ---≥恒成立.令()[)2e 2cos ,0,x g x x ax x x ∞=---∈+，则()e 22sin xg x x a x -+'=-.令()[)e 22sin ,0,x h x x a x x ∞=--+∈+，则()e cos 2xh x x =+-'.令()[)e cos 2,0,x r x x x ∞=+-∈+，则()e sin 0xr x x =->'，故()r x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00r x r ≥=，故()h x 即()g x '在[)0,∞+上单调递增，则()()012g x g a ''≥=-. 当12a ≤时，()()0120g x g a ''≥=-≥，此时()g x 单调递增，从而()()00g x g ≥=，满足题意. 当12a >时，令()e e x s x x =-，则()e e xs x '=-， 当(),1x ∈-∞时，()()0,s x s x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,s x s x '>单调递增， 所以()()10s x s ≥=，即e e x x ≥，当且仅当1x =时取等号.所以()()e 22sin e 212xg x x a x x a =--+>---'，从而()1212e 2120e 2e 2a a g a ++⎛⎫>-⋅--= ⎪--⎝⎭'. 又()()0120,g a g x '=-<'在[)0,∞+上单调递增，故存在唯一的实数0120,e 2a x +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00g x g <=，不合题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥； (2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,M N 两点，且当l x ⊥轴时，MN =(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率存在且不为0，点,M N 在x 轴上的射影分别为,P Q ，且()04,,,R y N P 三点共线，求证：RMN 与RPQ 的面积相同.【答案】(1)22184x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及通径的长度即可联立求解,,a b c 的值，（2）联立直线方程和椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式可证明,,Q M R 三点共线，根据//NQ PM ，所以PQMPMNSS=，进而可证明RMN 与RPQ 面积相等.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为(0)c c >.依题意，2c e a ===，故2212b a =①.联立22221,,x y a bx c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得2b y a =±，故22b MN a ==. 联立①②，解得2a b ==， 故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()2,0. 设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠.由()222,28y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()2222128880k x k x k +-+-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222888,1212-+==++k k x x x x k k . 因为MP x ⊥轴，所以()1,0P x . 直线NP 的方程为()2121y y x x x x =--，所以()212144,y x R x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 因为NQ x ⊥轴，所以()2,0Q x . 因为()()()211122124,4MQ RQ y x y k k x x x x x -==---， 所以()()()()()()()()()2121121212122124242444RQ MQ y x k x x k x x y k k x x x x x x x x ---+---=-=----- ()()()()()221212222122122248862168441212kkk k x x x x x x x x x x k k ⎛⎫-=⋅+--=⋅--⎡⎤ ⎪⎣⎦----++⎝⎭()()2222212163112412k k k k x x x k -+--=⋅--+0=， 所以,,Q M R 三点共线. 因为//NQ PM ，所以PQMPMNS S=，而PMRPMRSS=，所以RMN 与RPQ 的面积相同.【点睛】关键点点睛：联立直线与曲线的方程得到韦达定理是常用和必备的步骤.由韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离即可求解面积以及长度以及最值，最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.在处理共线问题是，要借助于向量以及两点斜率公式.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3233x t y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()1cos22sin ρθθ+=，点P 的极坐标为2π8,3⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；(2)记M 为直线l 与曲线C 的一个交点，其中4OM <，求OMP 的面积. 【答案】(1)直线l 的极坐标方程：πcos 36ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的直角坐标方程2yx(2)12【分析】（1）根据参数方程转化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程的知识求得正确答案. （2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标，求得M 点的坐标，根据极坐标的知识求得OMP 的面积. 【详解】（1）由直线l 的参数方程可得直线l 36x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==π3cos sin 2cos 66ρθρθρθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故直线l 的极坐标方程为πcos 36ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.而曲线():1cos22sin C ρθθ+=，即22cos 2sin ρθθ=，则22cos sin ρθρθ=， 故曲线C 的直角坐标方程为2y x .（2）由260y y x +-==⎪⎩,可得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因为4OM <，所以点)M，转化为极坐标为π3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于点P 的极坐标为2π8,3⎛⎫⎪⎝⎭，故OMP 的面积1π8sin 1223S =⨯⨯=.23．已知函数()()224,243f x x m x g x x x =++-=-+.(1)若3m =，求不等式()7f x >的解集；(2)若12R,R x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){2xx <-∣或0}x > (2)][(),106,∞∞--⋃-+][(),106,∞∞--⋃-+【分析】（1）分32x <-，342x -≤≤和4x >三种情况解不等式即可；（2）由题意可得()()min min f x g x ≥，求出两函数的最小值，代入上式，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】（1）依题意，2347x x ++->.当32x <-时，2347x x --+->，解得<2x -，故<2x -；当342x -≤≤时，2347x x ++->，解得0x >，故04x <≤；当4x >时，2347x x ++->，解得83x >，故4x >.综上所述，不等式()7f x >的解集为{2xx <-∣或0}x >. （2）依题意，()244422m mf x x m x x x =++-≥++-≥+，当2mx =-时，取“=”，故min ()42m f x =+.()222432(1)1g x x x x =-+=-+.因为12R,R x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，故412m+≥， 故412m+≤-或412m +≥，则10m ≤-或6m ≥-，故实数m 的取值范围为][(),106,∞∞--⋃-+.。

2022-2023学年河南省开封市高三上学期1月期末联考数学试题（理科）1.定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．72.的实部与虚部之和为（）A．B．C．D．3.在数列中,,,则（）A．是等比数列B．是等比数列C．是等比数列D．是等比数列4.过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条5.将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（）A．B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．在内是增函数6.已知三个单位向量，，满足，则的最大值为（）A．B．2C．D．7.已知为球球面上的三个点，若，球的表面积为，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8.执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．5 B．6 C．8 D．79.函数的最小值为（）A．1 B．C．D．10.双曲线的左、右顶点分别为，，为上一点，若点的纵坐标为1，，，则的离心率为（）A．B．C．D．11.已知，设，，，则（）A．B．C．D．12.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．13.若，满足约束条件则的最大值为______.14.若从区间内，任意选取一个实数，则曲线在点处的切线的倾斜角大于45°的概率为______.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前n项和为，则的最小值为___________．16.某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．17.，，分别为的内角，，的对边.已知.(1)求；(2)若，，求的周长.18.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲获得奖金的期望；(2)已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，平面ABCD，底面ABCD为矩形，点F在棱PD上，且P与E位于平面ABCD的两侧．(1)证明：平面PAB．(2)若，，，且在上的投影为3，求平面ACF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．20.已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若是函数的极小值点，求a的取值范围．21.已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程．(2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程是.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于两点,点,求的值.23.已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集包含，求a的取值范围．。