华南师大附中高三综合测试

2015年华南师大附中高三综合测试数学（理科）2015.5本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题（40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位,若复数()()2282i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =：A ．2B ．4-或2C ．2或4-D ． 4-2．已知命题p ：∃α∈R ，cos (π－α) = cos α；命题q : ∀x ∈R ，x 2+ 1 > 0. 则下面结论正确的是：A. p ∨q 是真命题B. p ∧q 是假命题C. ¬ q 是真命题D. p 是假命题3．若 x 、y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x + 2y ≥1 x ≥y 2x －y ≤1且向量 a = (3,2)，b = (x ,y )，则 a ·b 的取值范围是： A. [54,4]B. [72,5]C. [54,5]D. [72,4]4. 同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是： A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ． )62cos(π-=x yD ． )62sin(π-=x y5. 函数f (x )＝|log 2(x ＋1)| 的图象大致是：6. 已知点 F 是抛物线 y 2= 4x 的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则 MN 中点的横坐标为： A. 32B. 2C. 52D. 37. 设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数⎩⎨⎧>≤=px f p px f x f x f p )(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不．成立的是： A. [](0)[(0)]p p f f f f = B. [](1)[(1)]p p f f f f =C.[][(2)](2)p p f f f f = D. [][(3)](3)p p f f f f =8. 若直角坐标平面内两相异点A 、B 两点满足：① 点A 、B 都在函数 f (x ) 的图象上；② 点A 、B 关于原点对称， 则点对 (A ，B ) 是函数 f (x ) 的一个“姊妹点对”. 点对 (A ，B ) 与 (B ，A ) 可看作是同一个“姊妹点对”. 已知函数 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+ 2x ，x < 0 x + 1ex ，x ≥0 ，则 f (x ) 的“姊妹点对”有：A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个第二部分 非选择题（110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 不等式12x x -<的解集为 *** . 10. 2612)x x-（的展开式的常数项是 *** （用数字作答）.11. 图一是一个算法的流程图，则最后输出的S 是 *** ．12．某三棱锥的三视图如图二所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 *** .13. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有 *** 个.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14 . （坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ是参数，开始 S =0,n =1n ≤6 是 否S =S －n n =n +2输出S 结束图一图二0>a )，直线l 的极坐标方程为3cos 4sin 5ρθρθ+=，若曲线C 与直线l 只有一个公共点，则实数a 的值是 *** ．15. （几何证明选做题）如图，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，且4CD =，8BD =，则⊙O 的半径等于*** .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的角,,A B C 所对的边，且2c =，3C π=。

(Ⅰ) 若ABC ∆，求,a b ;(Ⅱ) 若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值．17．（本题满分12分）在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数. (Ⅰ) 求,,x y z 依次成公差大于0的等差数列的概率； (Ⅱ)求随机变量z 的概率分布列和数学期望.18．（本题满分14分）如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=︒,2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D , 又知11BA AC ⊥． (Ⅰ) 求证：1AC ⊥平面1A BC ； (Ⅱ) 求1CC 到平面1A AB 的距离；(Ⅲ) 求二面角1A A B C --的平面角的余弦值．19．（本题满分14分）设数列{a n }的各项都是正数，记S n 为数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N*，都有23333231n n S a a a a =++++K ．(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 若n an n n b 2)1(31⋅-+=-λ（λ为常数且0λ≠，n ∈N *），问是否存在整数λ，使得对任意 n ∈N*，都有b n +1>b n ．20．（本题满分14分）如图，O 为坐标原点，点F 为BAC1A 1B1C DA抛物线C 1：)0(22>=p py x 的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：122=+y x 相切于点Q 。

（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求 抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数p 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求21S S 的最小值．21．（本题满分14分）已知函数ln ()1x xf x x =+和()(1)()g x m x m R =-∈． （Ⅰ）m =1时，求方程f (x ) = g (x )的实根；（Ⅱ）若对于任意的[1,),()()x f x g x ∈+∞≤恒成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）求证：1007214ln 201541i ii =>-∑．2015年华南师大附中高三综合测试数学（理科）答案一、选择题：DACD ABBC二、填空题：9. (-∞,-1)∪(0,+∞) 10. 60 11. －9 12. 7 13. 23 14. 715. 5三、解答题：16．解：（I）根据三角形面积公式可知：11sin 22S ab C =推得4ab =； 又根据三角形余弦公式可知：2222214cos 228a b c a b C ab +-+-===推得228a b +=。

综上可得2a b ==。

………………………………4分（Ⅱ）sin sin()2sin 2C B A A +-=,sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-=sin cos 2sin cos B A A A = ………………………………6分当cos 0A =时，2A π= ………………………………7分当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =,由余弦定理得2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，得33a b ==………………………………10分 222b a c ∴=+，,36C A ππ=∴=Q ，综上2A π=或6A π=。

………………………………12分解二：sin sin()2sin 2C B A A +-=,sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-=sin cos 2sin cos B A A A = ………………………………6分当cos 0A =时，2A π= ………………………………7分当cos 0A ≠时，212sin sin sin()sin 32A B A A A π==-=+,3sin 02)0,650,,6660.66A A A A A A A πππππππ∴=∴-=<<∴-<-<∴-==Q 即综上2A π=或6A π=。

………………………………12分17．解：（I ）依题意，掷一次骰子，掷出1点的概率为61, 掷出2点或3点的概率为3162= ，掷出4点或5点或6点的概率为2163=；…………2分 记事件A=“,,x y z 依次成公差大于0的等差数列”，则x=0,y=1,z=2；即甲、乙、丙三盒中分别放进0、1、2个球. …………4分P （A ）=41)21(31213=⨯C ；…………6分 （II ）z 的取值为0，1，2，3，…………7分 而1z~B(3,)2，03311(0)()28P z C ===13313(1)()28P z C ===；23313(2)()28P z C ===33311(3)()28P z C ===…………10分随机变量z 的概率分布列数学期望为23883828180==⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .--------------------12分 18．解法1：(Ⅰ)∵1A D ⊥平面ABC ,∴平面11AAC C ⊥平面ABC ,又BC AC ⊥,∴BC ⊥平面11AA C C , 得1BC AC ⊥,又11BA AC ⊥, 1BC BA B =I ， ∴1AC ⊥平面1A BC .…………………4分(Ⅱ)∵1AC ⊥平面1A BC ，∴11AC A C ⊥,∴四边形11AA C C 为菱形,故12AA AC ==,又D 为AC 中点,知∴160A AC ∠=︒.即△ACA 1为等边三角形， 取1AA 中点F ,则CF ⊥AA 1,由(1)可知BC ⊥平面11AA C C ,∴BC ⊥AA 1, CF ∩BC=C ，∴1AA ⊥平面BCF ,AA 1⊂平面A 1AB ，从而面1A AB ⊥面BCF,…………6分 过C 作CH BF ⊥于H ,则CH ⊥面1AAB ,在Rt BCF ∆中,2,BC CF =,则BF=7，由面积法可得7CH =,即1CC 到平面1A AB 的距离为7CH =.…………………9分（用体积转移法同样给分）(Ⅲ)过H 作1HG A B ⊥于G ,连CG ,则1CG A B ⊥, 从而CGH ∠为二面角1A A B C--的平面角,在1Rt A BC ∆中,12AC BC ==,∴CG =…………10分 在Rt CGH ∆中,CH=7212,CG =HG=714，cos ∠CGH=772714==CG HG 故二面角1A A B C --的余弦值为77. …………………14分 解法2：(Ⅰ)如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系,则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B ,1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1AC =u u u u r 1(2,1,)BA t =--u u u r ,(2,0,0)CB =u u u r ,由10A C CB ⋅=u u u u r u u u r,知1AC CB ⊥, 又11BA AC ⊥,1BC BA B =I ，从而1AC ⊥平面1A BC .……4分(Ⅱ)由21130AC BA t ⋅=-+=u u u u r u u u r ,得t =设平面1A AB 的法向量 为(,,)n x y z =r ,1AA =u u u r ,(2,2,0)AB =u u u r ,10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩r u u u rr u u u r, 设1z =,则n =r. …………6分∴点1C 到平面1A AB 的距离1||7||AC n n d ⋅==u u u r rr .…………………9分BAC1A 1B 1C DGHF1(Ⅲ)设面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r,1(0,CA =-u u u r ,(2,0,0)CB =u u u r ,∴1020m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r .…………10分 设z= -1,则(0,1)m =-u r, 设二面角1A A B C --的平面角为θ，则cos 7||||m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ， 可知二面角1A A B C --的余弦值为77.…………………14分 19．解：（I ）在已知式中，当n =1时，2131a a =∵a 1>0 ∴a 1=1………………………………………………………………1分当n ≥2时，23333231n n S a a a a =++++K ① 2131333231--=++++n n S a a a a K ②①－②得，()()322111n n n n n n n a S S S S S S ---=-=-+∵a n >0 ∴2n a =1n n S S -+=2S n －a n∵a 1=1适合上式…………………………3分. 当n ≥2时， 21-n a =2S n －1－a n －1 ④③－④得2n a －21-n a =2(S n －S n －1)－a n +a n －1=2a n －a n + a n －1= a n + a n －1 ∵a n +a n －1>0 ∴a n －a n －1=1∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n =n ………………6分（Ⅱ）∵113(1)23(1)2na n n n n n n n a nb λλ--=∴=+-⋅=+-⋅2)1(332]2)1(3[]2)1(3[11111>⋅--⋅=⋅-+-⋅-+=-∴--+++nn nn n n n n n n n b b λλλ∴11)23()1(--<⋅-n n λ ⑤………………………………………………………….8分 当n =2k －1，k =1，2，3，……时，⑤式即为22)23(-<k λ ⑥依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………10分 当n=2k ，k=1，2，3，…时，⑤式即为213()2k λ->- ⑦ 依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立， ∴23->λ……………………………………………………………………12分∴0,123≠<<-λλ又 ∴存在整数λ=－1，使得对任意n ∈N ，都有b n +1>b n ………………………14分20．解：（Ⅰ）设点)2,(200p x x P ，由)0(22>=p py x 得，p x y 22=，求导px y ='， ……2分因为直线PQ 的斜率为1，所以10=px 且022200=--p x x ，解得22=p ， 所以抛物线C 1 的方程为y x 242=。