3.1.1两角差的余弦公式
教学分析
本节首先引导学生对cos（α-β)的结果进行探究，让学生充分发挥想象力,进行猜想，给出所有可能的结果，然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一，利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导，让学生动手画图,构造出α—β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导。方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时，要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识，体会向量方法的作用；②结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其线索进行探索，然后再反思,予以完善;④补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式.
本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律，应注意以下几方面：①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征，加以记忆；③使学生掌握公式的推导和证明；④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题。
三维目标
1。通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复
角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质。
2.通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法。
重点难点
教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式。
教学难点:探索过程的组织和适当引导.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路2.（复习导入）我们在初中时就知道cos45°=2
2,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°—30°）=？这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos （α—β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础。 推进新课
新知探究
提出问题
①请学生猜想cos(α-β）=?
②利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢? ③利用向量的知识，又能如何推导发现cos(α-β)=?
④细心观察C （α—β）公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何?
⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算?
活动：问题①,出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos （α-β）=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨，然后让学生由特殊角来验证它的正确性。如α=60°，β=30°，则cos(α—β）=cos30°=23，而cosα—cosβ=cos60°-cos30°=2
31-,这一反例足以说明cos(α—β）≠cosα-cosβ. 0060,30,αβ==如让学生明白，要想说明猜想正确,需进行严格证明，而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.
问题②，既然cos(α—β)≠cosα—cosβ，那么cos （α—β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？
图1
如图1，设角α的终边与单位圆的交点为P 1，∠POP 1=β,则∠POx=α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M ，那么OM 就是角α-β的余弦线,即OM=cos （α—β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA 垂直于OP 1,垂足为A ，过点A 作AB 垂直于x 轴，垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB ，垂足为C 。那么，OA 表示cosβ，AP 表示sinβ，并且∠PAC=∠P 1Ox=α。于是，OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina =cosβcosα+sinβsinα,所以，cos(α-β)=cosαcosβ+sinα
sinβ。
教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的，即α、β、α—β均为锐角，且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立，还要做不少推广工作，并
且这项推广工作的过程比较繁琐，由同学们课后动手试一试.
图2
问题③，教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢？如图2，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则OA =(cosα,sinα）,OB =(cosβ，sinβ），∠AOB =α-β.
由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ｜｜OB |·cos(α-β)=cos （α—β），
由向量数量积的坐标表示有