2-第6章 统计量及其抽样分布 练习题

思考与练习一、选择题1. 样本统计量的概率分布被称为（ ）A 、抽样分布B 、样本分布C 、总体分布D 、正态分布2. 总体分布是未知的，如果从该总体中抽取容量为100的样本，则样本均值的分布可以用（ ）近似。

A 、正态分布B 、F 分布C 、均匀分布D 、二项分布3. 智商的得分服从均值为100，标准差为16的正态分布。

从总体中抽取一个容量为n 的样本，样本均值的标准差2，样本容量为（ ）A 、16B 、64C 、8D 、无法确定4. 某总体容量为N ，其标志值的变量服从正态分布，均值为μ，方差为2σ。

X 为样本容量为n 的简单随机样本的均值（重复抽样），则X 的分布为（ ）。

A. ),(2σμNB. ),(2n N σμ C. ),(2n X N σ D. )1,(2--⋅N nN n N σμ 5. 从服从正态分布的无限总体中抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ ）A 、保持不变B 、无法确定C 、增加D 、减小6. 根据中心极限定理，在处理样本均值的抽样分布时，可以忽略的信息是（ ）A 、总体均值B 、总体的分布形状C 、总体的标准差D 、在应用中心极限定理时，所有的信息都可以忽略7. 总体的均值为500，标准差为200，从该总体中抽取一个容量为30的样本，则样本均值的标准差为（）A、36.51B、30C、200D、91.298.从均值为50，标准差为5的无限总体中抽取容量为30的样本，则抽样分布样本均值超过51的概率为（）A、0.0987B、0.9013C、0.3256D、0.13579.总体均值为3.1，标准差为0..8，从该总体中随机抽取容量为34的样本，则样本均值落在2和3.3的概率是（）。

A、0.5149B、0.4279C、0.9279D、0.317510.从标准差为10的总体抽取容量为50的随机样本，如果采用重复抽样，则样本均值的标准差为（）。

第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？ 答：（1）设是从总体中抽取的容量为的一个样本，如果由此样本构造一个函数，不依赖于任何未知参数，则称函数是一个统计量。

（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。

为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。

（3）统计量是样本的一个函数。

由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。

2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？12n X X X ，，…，X n 12()n T X X X ，，…，12()n T X X X ，，…，1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故、是统计量，、不是统计量。

3．什么是次序统计量？答：设是从总体中抽取的一个样本，称为第个次序统计量，它是样本满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值…，时，其由小到大的排序中，第个值就作为次序统计量的观测值，而称为次序统计量，其中和分别为最小和最大次序统计量。

4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。

统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。

5．什么是自由度？答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。

第六章 统计量及其抽样分布2007.420.设总体(0,1)X N ，12,,,n x x x 为来自该总体的样本，则统计量∑=ni ix12的抽样分布为___________。

21.设总体2(1,)X N σ ，12,,,n x x x 为来自该总体的样本，11ni i x x n ==∑，则()E x =___________。

2007.76．设随机变量2(2)X χ ，2(3)Y χ ，且,X Y 相互独立，则YX23所服从的分布为（ ） A ．F （2，2） B ．F （2，3） C ．F （3，2）D ．F （3，3）23．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X为来自该总体的一个样本，令U =则()D U =___________.2007.1024．设总体2(,)X N μσ ，1234,,,X X X X 为来自总体X 的体本，且4114ii x x ==∑，4212()ii x x σ=-∑则服从自由度为____________的2χ分布.2008.110. 设n 1X ,,X 为正态总体2(,)N μσ的样本，记∑=--=ni i x x n S 122)(11，则下列选项中正确的是（ ）A.)1(~)1(222--n S n χσB.)(~)1(222n S n χσ-C.)1(~)1(22--n S n χD.)1(~222-n S χσ23. 当随机变量(,)F F m n 时，对给定的(01)αα<<，((,))a P F F m n α>=，若(10,5)F F ，则0.951()(5,10)P F F <=___________。

2008.410．设112,,,n x x x 与212,,,n y y y 分别是来自总体),(21σμN 与),(22σμN 的两个样本，它们相互独立，且,x y 分别为两个样本的样本均值，则x y -所服从的分布为（ ） A ．))11(,(22121σμμn n N +- B ．))11(,(22121σμμn n N -- C ．))11(,(2222121σμμn n N +- D ．))11(,(2222121σμμn n N --2008.721．设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则∑=σμ-n1i i )X (2～________（标出参数）． 24．设总体X 服从正态分布),(21σμN ，总体Y 服从正态分布),(22σμN ，12,,,n X X X 和12,,,m Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则2211()()2n mi i i i X X Y Y E n m ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑________________． 2008.108．设总体X 的分布律为{}p X P ==1，{}p X P -==10，其中10<<p .设n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则样本均值X 的标准差为 （ ） A ．np p )1(- B ．np p )1(- C ．)1(p np - D ．)1(p np -9．设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ ） A ．)2,0(N B ．)2(2χ C ．)2(tD ．)1,1(F23．设随机变量),(~21n n F F ，则~1F_______. 2009.110.记1(,)F m n α-为自由度m 与n 的F 分布的1α-分位数，则有（ ） A.)n ,m (F 1)m ,n (F 1α-α=B.)n ,m (F 1)m ,n (F 11α-α-=C.)n ,m (F 1)m ,n (F αα=D.)m ,n (F 1)m ,n (F 1α-α=23. 设总体2(,)X N μσ ，1220,,,X X X 为来自总体X 的样本，则∑=σμ-201i 22i )X (服从参数为___________的2χ分布。

第6章　统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？答：（1）设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。

（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。

为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。

（3）统计量是样本的一个函数。

由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。

2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。

3．什么是次序统计量？答：设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序(1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。

4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。

统计学抽样与抽样分布练习题第6章抽样与抽样分布练习6.1从均值为200、标准差为50的总体中，抽取n?100的简单随机样本，用样本均值x估计算总平均数。

（1）x的数学期望是多少？（2）x的标准差是多少？（3）x的抽样分布是什么？（4）样本方差的抽样分布是什么？6.2假定总体共有1000个单位，均值??32，标准差??5。

从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。

（1）x的数学期望是多少？（2）x的标准差是多少？6.3从标准偏差为5的总体中抽取样本量为40的样本，样本的平均值为25。

样本均值抽样标准差?x等于多少?6.4设置总体平均值？？17.标准偏差？？10.从人群中随机抽取样本量为25的样本，其均值为x25；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为x100。

（1）描述x25的抽样分布。

（2）描述x100的抽样分布。

6.5从？？从10个总体中随机抽取50个样本，计算样本均值的抽样标准差：（1）重复抽样。

（2）如果不重复抽样，总体单位分别为50000、5000和500。

6.6从??0.4的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。

（1） P的数学期望是什么？（2） P的标准差是多少？（3） P的分布是什么？6.7假定总体比例为??0.55，从该总体中分别抽取样本量为100、200、500和1000的样本。

12（1）分别计算样本比例的标准偏差？P（2）当样本量增大时，样本比例的标准差有何变化？6.8假设超市一次性购物的平均消费为85元，标准差为9元。

随机抽取40个样本客，每个顾客消费金额大于87元的概率是多少？6.9大学生月平均支出为448元，标准差为21元。

随机抽取49名学生，样本均值为在441～446之间的概率是多少？6.10假设一个总体共有8个数值：54，55，59，63，64，68，69，70。

从该总体中按重复抽样方法n？2个随机样本。

（1）计算总体的平均值和标准偏差。

概率论与数理统计 第六章 抽样分布练习题与答案详解（答案在最后）1．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本，总体方差2σ=DX 为已知，X和2S 分别为样本均值，样本方差，则下列各式中（ ）为统计量．(A)21)(∑=-ni iEX X(B) 22)1(σS n - (C) i EX X - (D) 12+nX2．设总体) ,(~2σμN X ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 是来自X的样本，判断下列样本的函数中，（ ）是统计量．(A) σ++21X X (B) 221)(S X ni i∑=-μ(C) ),,,min(21n X X X (D)212σ∑=ni iX3．今测得一组数据为12.06，12.44，15.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23．试计算样本均值，样本方差及顺序统计量*1X ,*9X ．4．设总体) ,(~2σμN X ，样本观测值为3.27，3.24，3.25，3.26，3.37，假设25.3=μ，22016.0=σ，试计算下列统计量的值：(1) nX U σμ-=，(2) 251221)(1∑=-=i iX Xσχ,(3) 251222)(1∑=-=i iXμσχ．5．某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，但参数λ未知，为统计推断需要，任意抽查n 只电容器测其实际使用寿命．试问此题中的总体，样本及其分布各是什么？6．某市抽样调查了一百户市民的人均月收入，试指出总体和样本． 7．某校学生的数学考试成绩服从正态分布) ,(2σμN ．教委评审组从该校学生中随机抽取50人进行数学测试，问这题中总体，样本及其分布各是什么？8．设1621,,,X X X 是来自正态总体) ,2(~2σN X 的样本，X 是样本均值，则~1684-X （ ） (A) )15(t (B) )16(t (C) )15(2χ (D) 1) ,0(N9．设总体) ,0(~2σN X ，n X X X ,,,21 为其样本，∑==n i i X n X 11，212)(1∑=-=n i i n X X n S ，在下列样本函数中，服从)(2n χ分布的是（ ）． (A)σnX (B)∑=ni iX1221σ (C)22σnnS (D)nS n X 1- 10．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为X 的简单随机样本，X ，2nS 同上题，则服从)1(2-n χ分布的是（ ）．(A)nX σμ- (B)1--n S X nμ (C)22σnnS (D)212)(1∑=-ni iXμσ11．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的样本，X ,2S 是样本均值和样本方差，则下列式子中不正确的有（ ）(A))1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (B))1 ,0(~N X σμ-(C) )1(~--n t nSX μ (D))(~)(2221n Xni iχσμ∑=-12．设n X X X ,,,21 和n Y Y Y ,,,21 分别取自正态总体) ,(~21σμN X 和) ,(~22σμN Y ，且X 和Y 相互独立，则以下统计量各服从什么分布？(1) 22221))(1(σS S n +-； (2)nS S Y X )()()(222121+---μμ；(3) 2221221)]()[(S S Y X n +---μμ． 其中X ,Y 是X ,Y 的样本均值，21S ,22S 是X ,Y 的样本方差．13．设n X X X ,,,21 是正态总体) ,(~2σμN X 的样本，记2121)(11∑=--=n i i X X n S ， 2122)(1∑=-=n i i X X n S ， 2123)(11∑=--=n i i X n S μ， 2124)(1∑=-=n i i X n S μ， 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量有（ ）(A) 11--n S X μ (B) 12--n S X μ (C) n S X 3μ- (D) nS X 4μ-14．设321 , ,X X X 是来自正态总体)9 ,(~μN X 的样本，232212)()(μχ-+-=X b X X a ，则当=a ____，=b ____时，22~χχ(___)．15．设921,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 分别为来自总体)2 ,(~21μN X 和)2 ,(~22μN Y 的两个相互独立的样本，它们的样本均值和样本方差分别为X ,Y 和21S ,22S ．求以下各式中的621,,,ααα ．(1) 9.0})({91221=<-<∑=i i X X P αα；(2) 9.0}|{|31=<-αμX P ；(3) 9.0)(||416122=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=αμi i Y Y Y P ；(4) 9.0815621225=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααS S P ． 16．在天平上重复称量一个重为a （未知）的物品．假设n 次称量结果是相互独立的，且每次称量结果均服从).20 ,(2a N ．用n X 表示n 次称量结果的算术平均值．为使n X 与a 的差的绝对值小于0.1的概率不小于%95，问至少应进行多少次称量？17．根据以往情形，某校学生数学成绩)10 ,72(~2N X ，在一次抽考中，至少应让多少名学生参加考试，可以使参加考试的学生的平均成绩大于70分的概率达到0.9以上？18．在均值为80，方差为400的总体中，随机地抽取一容量为100的样本，X 表示样本均值，求概率}3|80{|>-X P 的值．19．设总体)5 ,40(~2N X ，从中抽取容量64=n 的样本，求概率}1|40{|<-X P 的值．20．设总体X 与Y 相互独立，且都服从)2 ,30(2N ，从这两总体中分别抽取了容量为201=n 与252=n 的样本，求4.0||>-Y X 的概率．21．设总体)2 ,0(~2N X ，而1521,,,X X X 是X 的样本，则)(221521121021X X X X Y ++++= 服从什么分布，参数是多少？又问当a 为何值时，215272621X X X X a F ++++= 服从)9 ,6(F ？22．设总体)4 ,0(~N X ，1021,,,X X X 是X 的样本，求(1) }13{1012≤∑=i i X P ；(2) }76)(3.13{2101≤-≤∑=i i X X P ．23．从总体) ,(~2σμN X 中抽取容量为16的样本，2S 为样本方差，求}041.2{22≤σS P ．24．从总体)2 ,12(~2N X 中随机抽取容量为5的样本521,,,X X X ，求} 284.44)12( {512>-∑=i i X P ．答案详解1．B(A)中含总体期望EX 是未知参数，(C)中EX EX i =也是未知参数，都不是统计量，而(D)不是样本的函数，当然不是统计量．2．B ，C3．样本容量9=n ，利用计算器的统计功能键，算出92.12=x ，65.9)107.3(22==s ，观察921,,,x x x ，可得最小值15.8*1=x ，最大值23.17*=n x ．注 上面得到的x ，2s ，*1x ，*nx 依次是统计量∑==ni i X n X 11，),,,max( ),,,,min( ,)(1121*21*1212n n n n i i X X X X X X X X X X n S ==--=∑=的观察值．注意统计量与统计量的观察值的区别，前者是随机变量，后者是具体的数值4．258.3=x ，00017.02=s (1) 118.1=u ； (2) 656.221=χ；(3) 906.322=χ，提示 为了计算22χ的值，先将其展开为)52(1251512222μμσχ+-=∑∑==i i i iX X ，其中，∑=512i iX ，∑=51i i X 均可由计算器的统计功能键求出来5．“电容器的使用寿命”是总体X ，其服从参数为λ的指数分布，即X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0.x , 0 0,x ,)(x X e x f λλ“抽查的n 只电容的使用寿命”是容量为n 的样本n X X X ,,,21 ．由于n X X X ,,,21 相互独立且每个i X 与总体X 具有相同的分布，所以，样本的联合概率密度为⎩⎨⎧=>=∏=+++-=., 0,,,1 ,0,)(),,,()(12121其它n i x e x f x x x f i x x x n i X ni n n λλ 6．总体X 为该市市民户的人均月收入，容量为100的样本10021,,,X X X 为抽查的100户市民的人均月收入7．总体X 为该校学生的数学考试成绩，容量为50的样本5021,,,X X X 为抽取的50人的数学成绩总体) ,(~2σμN X ，即其概率密度为222)(21)(σμσπ--=x X ex f ，样本5021,,,X X X 的概率密度为∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--50122)(2150502121),,,(i i x e x x x f μσσπ8．D因为) ,2(~2σN X ，根据正态总体的抽样分布),2(~2nN X σ，)1 ,0(~)2(4162222N X X n X U σσσ-=-=-=9．(A) 因) ,0(~2σN X ，由正态总体的抽样分布，有) ,0(~2nN X σ，所以)1 ,0(~2N nX nXU σσ==．(B) 因) ,0(~2σN X i ，得)1 ,0(~N X iσ，n i ,,1 =，且这n 个标准正态变量相互独立，所以由2χ分布的定义知，)(~1212122n X X ni i ni i χσσ∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛=．(C) 2122)1()(S n X X nS ni i n-=-=∑=，由正态总体的抽样分布知)1(~)1()(22221222--=-=∑=n S n X XnSni iχσσσ．(D) ()nS X X n n n S n i i n 2122)1(11=--=-∑=,由正态分布的抽样分布知 )1(~11--=-=-=n t S n X n S X nSX T nnμ， 或者，由(A)，(C)的结果，根据t 分布的定义有)1(~1)1(22--=-=n t S n X n nS n X T nn σσ．综上可知，应选B ． 10．C 11．B12．(1) )22(2-n χ； (2) )22(-n t ； (3) )22 ,1(-n F 13．B 14．181=a ，91=b 时，)2(~22χχ 15．(1) 由正态总体的抽样分布得∑=-91222)8(~)(21i iX Xχ，因此，}44)(4{})({2912191221αααα<-<=<-<∑∑==i ii i X XP X X P9.0}4)8({}4)8({2212=>->=αχαχP P ，令95.0}4)8({12=>αχP ，05.0}4)8({22=>αχP ，根据2χ分布得上侧临界值的定义，查表可得，733.2)8(4295.01==χα，955.21)8(4205.02==χα，即932.104733.21=⨯=α，82.874955.212=⨯=α注 一般来说，满足条件{}αχ-=<<12B A P的数（临界值）A ，B 有很多对，这里我们采用的取法是使A ，B 满足{}{}222αχχ=≥=≤B P A P ．通常认为这样的取法比较好，对于F 分布也类似(2) 由正态总体的抽样分布)1 ,0(~91N X σμ-，即)1 ,0(~321N X μ-， 得9.0}23||23{}|{|3131=<-=<-αμαμX P X P ，根据)1 ,0(N 分布得双侧临界值的定义，查表得645.1232/10.03==u α，所以097.132645.13=⨯=α．(3) 由正态总体的抽样分布)15(~1622t S Y μ-，即)15(~)(422t S Y μ-，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=422241612215||)(||αμαμS Y P Y Y Y P i i 9.0154)(4 422=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=αμS Y P ．根据t 分布的双侧临界值的定义，并查表得75.1)15(1542/10.04==t α，于是，113.015475.14==α．(4) 由正态总体得抽样分布)8 ,15(~222212222122F S S S S =，得90.005.095.0158158815621225621225=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααααS S P S S P ， 查F 分布上侧临界值表，得645.21)15 ,8(1)8 ,15(15805.095.05===F F α， 22.3)8 ,15(15805.06==F α， 所以，709.08645.2155=⨯=α，038.6709.081522.36==⨯=α 16．16≥n ，即至少应进行16次称量提示 对该物品进行独立重复称量的所有可能结果，看成总体X ，则n 次称量结果n X X X ,,,21 就是X 的一容量为n 的样本，n X 即样本均值．由题意知，).20 ,(~2a N X ，根据正态总体的抽样分布，)2.0 ,(~2na N X n ，按条件95.0}1.0 || {≥<-a X P n 来求出n17．至少要42个学生参加抽考18．0.1336提示 该总体并非正态总体，然而100=n 为大样本，所以)100400,80(~N X 19．0.8904 20．约等于0.3446 21．)5 ,10(~F Y ；23=a 22．(1) 因为)4 ,0(~N X i ，)10,,1( =i 且1021,,,X X X 相互独立，所以)10(~421012χ∑=i i X ， }4134{}13{10121012∑∑==≤=≤i i i iX P X Pαχ-=>-=1}25.3)10({1 2P ，由于25.3)10(2=αχ，反查2χ分布表，得，975.0=α，故025.0975.01}13{1012=-=≤∑=i i X P ．(2) 因为)9(~49)(2221012χσS X Xi i=-∑=，所以， }194932.3{}76)(3.13{21012≤≤=≤-≤∑=S P X X P i i 2122}19)9({}32.3)9({ ααχχ-=>->=P P ， 由32.3)9(21=αχ及19)9(22=αχ，反查2χ分布表，得95.01=α及025.02=α，所以，925.0025.095.0}76)(3.13{1012=-=≤-≤∑=i i X X P23．0.99 24．0.05。

第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x X N X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑4． 设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--B.(~(0,1)X X NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--5. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 612,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S-7. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C.320D. 265 8设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21B. a 2C. a +21 D. a 211- 9设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（ ）.A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,2110设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中， 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .5．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．6设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σn S n -服从 分布.第七章 参数估计一、选择题1. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-ni i X X n 12)(1是（ ）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计2 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（ ）（A ）},,,max{21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,min{},,,max{2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；3 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i iX n 12)(11μ 4 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（ ）. （A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 5 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（ ）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++ （C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+6 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（ ）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 7. 设θ为总体X 的未知参数，21,θθ是统计量，()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）.A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD. 2}{}{12aP P =<+>θθθθ 8 设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为（ ）A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t n S XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X9 设22,),,(~σμσμN X 均未知，当样本容量为n 时，2σ的95%的置信区间为（ ）A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 二、填空题1. 点估计常用的两种方法是： 和 .2. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数是 ，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 .3. 设总体X 的概率分布列为：X 0 1 2 3P p 2 2 p (1-p ) p 2 1-2p其中p (2/10<<p ) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 则p 的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 4. 设总体X 的一个样本如下：1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 则该样本的数学期望)(X E 和方差)(X D 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x ，设n X X ,,1 是X 的样本，则λ的矩估计量为 ，最大似然估计量为 .6. 假设总体),(~2σμN X ，且∑==ni i X n X 11，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则X 是 的无偏估计.7 设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则常数k= , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为40=S .设电子管寿命分布未知，以置信度为95.0，则整批电子管平均寿命μ的置信区间为（给定96.1,645.1025.005.0==Z Z ） . 9设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定05.0=α则滚珠的平均直径的区间估计为 .)96.1,645.1(025.005.0==Z Z 11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）.12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，则σ的置信区间为 （1.0=α，68.19)11(22=αχ，57.4)11(221=-αχ）.第八章 假设检验一、选择题1. 关于检验的拒绝域W,置信水平α,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( ). A. α的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B ．事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件C ．设W 是样本空间的某个子集，指的是事件120{(,,,)|}n X X X H 为真D ．确定恰当的W 是任何检验的本质问题2. 设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,要采用检验估计量( ).A.nX /0σμ- B.nS X /0μ- C.nS X /μ- D.nX /σμ-3. 样本n X X X ,,,21 来自总体)12,(2μN ,检验100:0≤μH ,采用统计量( ). A.nX /12μ- B.nX /12100- C.1/100--n S X D.nS X /μ-4设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题 拒绝域形式为 .A.}C >B. }/100{C nS X <- C. }10/100{C S X >- D. }{C X >5．设n X X X ,,,21 为来自总体)3,(2μN 的样本，对于100:0=μH 检验的拒绝域可以形 如（ ）.A ．}{C X >-μ B. {100}X C ->C. }C >D. {100}X C -<6、 样本来自正态总体),(2σμN ,μ未知,要检验100:20=σH ,则采用统计量为( ).A.22)1(σS n - B. 100)1(2S n - C. n X 100μ- D. 1002nS7、设总体分布为),(2σμN ,若μ已知,则要检验100:20≥σH ,应采用统计量( ).A.nS X /μ- B.22)1(σSn - C.100)(21∑=-ni iXμ D.100)(21∑=-ni iX X二、填空题1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进 行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H 为 .2．设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知.对于检验00:μμ=H ，01:μμ=H ， 取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .第六章 样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2.（C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.（D ）对于答案D,由于~(0,1),1,2,,i X N i n μσ-=，且相互独立，根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.(C) 注：1~(1)X t n -才是正确的.5.(D)6C) 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的{}{}12121211P X P X -≤=-≤-(({}2121121P X =-≤-=Φ- 7.(A) ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑8.(A) 9.(B) 解：由题意可知122~(0,20)X X N +，345~(0,12)X X X N ++，6789~(0,16)X X X X N +++，且相互独立，因此()()()()22212345678922~3201216X X X X X X X X X χ++++++++，即111,,201216a b c === 10(A) 解：()99211~(0,9)9~0,1ii i i XN X N ==⇒∑∑，()92219~9i i Y χ=∑由t()9t 二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2.代表性和独立性 3.μ，2nσ4. 0.15.26.2(1)n χ-第七章 参数估计一、选择题1.答案： D.[解] 因为)()(222X E X E -=σ，∑===n i i X n A X E 12221)(ˆ，∑===n i i X n A X E 111)(ˆ， 所以，∑=-=-=ni i X X n X E X E 12222)(1)(ˆ)(ˆˆσ. 2.答案： A.[解]因为似然函数n i in X a a L )max (11)(≤=，当i i X a max =时，)(a L 最大， 所以，a 的最大似然估计为},,,max{21n X X X . 3 答案 A .[解]似然函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∏=2212)(21exp 21),(μσσπσμi ni x L ， 由0ln ,0ln 2=∂∂=∂∂L L σμ，得22A =∧σ. 4. 答案 C.[解]在上面第5题中用μ取代X 即可.5答案 B.6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.∏iix p );(θ，∏iix f );(θ；. 341, 0.2828； [解] （1） p 的矩估计值28/1681===∑=i iXX ，令X p X E =-=43)(，得p 的矩估计为 4/14/)3(ˆ=-=X p. （2）似然函数为4281)]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i42)21()1(4p p p --=)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++=令 0218126])(ln [=----='pp p p L ， 0314122=+-⇒p p 12/)137(±=⇒p . 由 2/10<<p ，故12/)137(+=p 舍去 所以p 的极大似然估计值为 .2828.012/)137(ˆ=-=p4、 1.71，0.00138；[解] 由矩估计有：nXX E X X Eii∑==22)(ˆ,)(ˆ，又因为22)]([)()(X E X E X D -=，所以71.1575.165.17.175.17.1)(ˆ=++++==X X E且00138.0)(1)(ˆ12=-=∑=n i i X X n X D .5、XX --=112ˆλ, ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ；[解] （1）λ的矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰λλλλλλλx dx x x X E 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX X --=⇒=++112ˆ21λλλ （2）λ的最大似然估计为：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得：∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ.6、μ；[解]μμ===∑=nn X E n X E n i i 1)(1)(.7、)1(2-n n π；[解]注意到n X X X ,,,21 的相互独立性，()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121 21)(,0)(σnn X X D X X E i i -=-=-所以，)1,0(~2σnn N X X i --， dz enn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=σπnn 122-=因为：⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n i i X X E k X X k E 11||||σσπ=-=nn kn122 所以，)1(2-=n n k π.8、. [992.16，1007.84]；[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：05.0,40,1000=α==S X ，96.1025.0=Zμ的95%的置信区间是：]84.1007,16.992[],[025.0025.0=+-Z nSX Z n S X . 9、22((1),(1))X n X n αα--+-； [解]这是2σ为未知的情形，所以)1(~/--n t nS X μ.10、 [14.869，15.131]；[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x ，代入计算可得：]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-， 化间得：]131.15,869.14[. 11、 [14.754，15.146]；[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X 696.105.0025.0===αn Z 代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯- 所以为：]146.15,754.14[ 12、. [0.15，0.31]； [解] 由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得： 2222)1(αχσS n -≥，22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：[)11()1(222αχS n -，)11()1(2212αχ--S n ] ， 将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0].第八章 假设检验一、选择题1.C 、2.B 、3.B 、4.C 、5.B 、6.B 、7.C 、8.B 二、填空题 1.100=μ 2. 1.176概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作AA 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ （4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki n i ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rrm m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。

抽样分布练习题
抽样分布是统计学中一个重要的概念，它是指从总体中抽取样
本并计算样本统计量的分布。

通过对抽样分布的理解和应用，我们
可以进行各种统计推断和假设检验。

以下是几个关于抽样分布的练
习题，希望能帮助大家理解和掌握这一概念。

1. 抽样分布的定义是什么？请简要解释。

2. 在一个总体中，平均值为μ，标准差为σ的情况下，从该总体
中随机抽取样本大小为n，计算平均值。

当n趋近于∞时，这个样
本平均值的抽样分布是什么？
3. 如果从一个服从正态分布的总体中抽取样本大小为n，计算
平均值，这个样本平均值的抽样分布是什么？
4. 抽样分布和总体分布之间有什么关系？请解释。

5. 如何通过样本均值的抽样分布来进行统计推断？
6. 抽样方法对于抽样分布的形状和性质有何影响？请举例说明。

7. 在进行假设检验时，抽样分布起到了什么作用？请解释。

8. 为了确定一个样本平均值的抽样分布，我们应该进行几次抽样？为什么？
9. 抽样分布的中心位置和变异性如何影响统计推断的结果？
10. 抽样分布理论适用于哪些统计推断方法？请列举几个例子。

11. 你了解的抽样分布的相关公式有哪些？请简要介绍。

12. 抽样分布在质量控制和市场研究等领域有什么应用？请举例说明。

以上是关于抽样分布的练习题，希望通过这些练习题，大家能够更好地理解和应用抽样分布的概念，并在统计推断和假设检验中能够灵活运用。

抽样分布是统计学中非常重要的一个概念，对于数据分析和研究具有重要的指导意义。

希望大家能够通过不断练习和实践，掌握和运用好抽样分布的知识。