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第十一章 交变应力

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第十一章 交变应力

第十一章 交变应力

A
t
z
y r sin t
A点的弯曲正应力为
s s2
O s1
M y M r s sin t I I
s 随时间 t 按正弦曲线变化
s3
s1
t
s4
(Alternating Stress)
三、疲劳破坏（Fatigue failure）
材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为疲劳破坏
1.疲劳破坏的特点
下的 应力—疲劳寿命曲线,即 S-N曲线.
(Alternating Stress)
当最大应力降低至某一 smax 值后,S-N 曲线趋一水平,表示 材料可经历无限次应力循环 smax，1 smax，2 而不发生破坏,相应的最大应 力值 smax 称为材料的疲劳极 限或耐劳极限.用 sr 表示.
1 2
§11-4 影响构件持久极限的因素
一、构件外形的影响 二、构件尺寸的影响 三、构件表面状态的影响
§11–1 交变应力与疲劳失效
一、交变应力（Alternating stress )
构件内一点处的应力随时间作周期性变化,这种应力称为交 变应力.
F
A
s
Ｏ
t
(Alternating Stress) 二、产生的原因
1.载荷做周期性变化 2.载荷不变,构件点的位置随时间做周期性的变化
例题1 一简支梁在梁中间部分固接一电动机,由于电动机的重力 作用产生静弯曲变形,当电动机工作时,由于转子的偏心而引起离 心惯性力.由于离心惯性力的垂直分量随时间作周期性的变化,梁 产生交变应力.
(Alternating Stress)
F
F F a Fa
F
a
第一根试件 第二根试件
第11章 交变应力

第11章 交变应力


阶梯轴如图，材料为铬镍合金钢， 例2 阶梯轴如图，材料为铬镍合金钢，σb=920MPa，σ–1= 420MPa ， ，
τ–1= 250MPa ，分别求出弯曲和扭转时的有效应力集中系数和尺
寸系数。 寸系数。 解：1.弯曲时的有效应力集中系数和尺寸系数 弯曲时的有效应力集中系数和尺寸系数 f40
D 50 = =1.25 d 40
2 = 2
=549MPa
σ min 537 r= = =0.957 σ max 561
§11–3 持久极限及影响因素 11–
疲劳极限)： 一、材料持久极限(疲劳极限 ： 材料持久极限 疲劳极限 循环应力只要不超过某个“最大限度” 构件就可以经历无数 循环应力只要不超过某个“最大限度”,构件就可以经历无数 次循环而不发生疲劳破坏，这个限度值称为“疲劳极限”，用 次循环而不发生疲劳破坏，这个限度值称为“疲劳极限”
t
（a）脉动循环：如齿轮 脉动循环：
σ max = 2σ m = 2σ a
σ min = 0
r=0
σ σ max
σm
σa
t
（b）静应力：如拉压杆 静应力：
σ max = σ min = σ m σa = 0
r = +1
σ
σa = 0 σ max = σ min = σ m t
发动机连杆大头螺钉工作时最大拉力F 例1 发动机连杆大头螺钉工作时最大拉力 max =58.3kN，最小拉 ， 力Fmin =55.8kN ，螺纹内径为 d=11.5mm，试求 σa 、σm 和 r。 ， 。 解：
2、破坏时，不论是脆性材料和塑性材料，均无明显的塑性变形， 破坏时，不论是脆性材料和塑性材料，均无明显的塑性变形， 且为突然断裂，通常称疲劳破坏。 且为突然断裂，通常称疲劳破坏。 3、疲劳破坏的断口，可分为光滑区及晶粒粗糙区。在光滑区可 疲劳破坏的断口，可分为光滑区及晶粒粗糙区。 见到微裂纹的起始点（疲劳源）， ），周围为中心逐渐向四周扩 见到微裂纹的起始点（疲劳源），周围为中心逐渐向四周扩 展的弧形线。 展的弧形线。
第十一章交变应力

第十一章交变应力


脆性断裂
宏观裂纹扩展
宏观裂纹
第十一章 交变应力
§11.1 交变应力与疲劳失效 §11.2 交变应力的循环特征、应力幅平均应力 §11.3 持久极限 §11.4 影响持久极限的因素
§11.5 对称循环下构件的疲劳强度计算
§11.6 持久极限曲线
§11.10 提高构件疲劳强度的措施
交变应力
应力循环
一个应力循环中的最大应力和最小 应力分别用σmax和σmin来表示
§11.6 持久极限曲线
§11.10 提高构件疲劳强度的措施
措施

设计过程要尽量避免或减少产生应 力集中的因素，即缓解应力集中
措施

提高表面加工的质量，即降低表面粗糙度
磨削、抛光、喷丸、等离子处理
采用表面热处理和表面强化，即增加表层 强度
表面高频淬火、渗碳、氮化
第十一章 交变应力
§11.1 交变应力与疲劳失效 §11.2 交变应力的循环特征、应力幅平均应力 §11.3 持久极限 §11.4 影响持久极限的因素
§11.5 对称循环下构件的疲劳强度计算
§11.6 持久极限曲线
§11.10 提高构件疲劳强度的措施
概述
生活经验
用力拉一根铁丝很难拉断，反复地弯这根铁丝却能将 它折断!
§11.10 提高构件疲劳强度的措施
安全因数法
设计准则
n n
n － 零件的工作安全因数
[n] － 规定安全因数
对称循环
交变正应力下
n
1
K f
n

交变切应力下
a
n
n
1
K f

a
非对称循环
交变正应力下 n
材料力学C11_交变应力

材料力学C11_交变应力

M 70 50 M
对称循环，r=-1 ②查图表求各影响系数，计算构件持久限。 求K：
D r 1.4 ; 0.15 ; b 600MPa 查图 d d 求 ：查图得 0.79
r=7.5
K 1.4
求 ：表面精车， =0.94 0 1 0.79 0.94 1 250 69.8MPa 1 1
第11章 交变应力
11.1 交变应力与疲劳失效 11.2 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力 11.3 持久极限 11.4 影响持久极限的因素 11.5* 对称循环下构件的疲劳强度计算 11.6* 持久极限曲线 11.7* 不对称循环下构件的疲劳强度计算 11.8* 弯扭组合交变应力的强度计算 11.9* 变幅交变应力 11.10 提高构件疲劳强度的措施 11.* 习题**
2 max min 应力幅(~ Amplitude)： a 2 min 循环特征、 r max /应力比(~ ratio)：
5特征量仅2个独立，如m+a 或max+r
不稳定
max m min max m min a
t t
a
对称循环(symmetric reversed
加工方法 磨 削 车 削 粗 车 未加工的表面 轴表面粗糙度 Ra／m 0.4～0.2 3.2～0.8 1.25～6.3
b／MPa
400 1 0.95 0.85 0.75 800 1 0.90 0.80 0.65 1200 1 0.80 0.65 0.45
下降明显
b高者
表面越差，下降越多 b越高，影响越显著
m， ra
K
1
a rm m
a rm
11交变应力

11交变应力


温度不变 3 21
312
初始弹性应变不变 T1T2 T3
T3 T2 T1
初应力越大，松弛旳初速率越大 温度越高，松弛旳初速率越大
四、冲击荷载下材料力学性能 ·冲击韧度·转变温度
温度降低，b增大，构造反而还发生低温脆断，原因何在？ 温度降低，b增大，但材料旳冲击韧性下降，且抗断裂能
力基本不变，所以，构造易发生低温脆断。
PP
P P
折铁丝
二、疲劳破坏旳发展过程: 材料在交变应力下旳破坏，习惯上称为疲劳破坏。
1.亚构造和显微构造发生变化，从而永久损伤形核。 2.产生微观裂纹。
3.微观裂纹长大并合并， 形成“主导”裂纹。
4.宏观主导裂纹稳定扩展。
5.构造失稳或完全断裂。
三、疲劳破坏旳特点:
1. 工作 jx 。
2.断裂发生要经过一定旳循环次数。
构件旳工作阶段不能超出稳定阶段！
破坏
阶段 E
不稳定 阶段
B A
稳定阶段
加速阶段 D
C
0
t O
材料旳蠕变曲线
4 3
2 1
温度不变 4 3 21
应力越高蠕变越快
T4 T3 T2
T1 应力不变 T1T2T3T4
温度越高蠕变越快
三、应力松弛： 在一定旳高温下，构件上旳总变形量不变时，弹性变形
会随时间旳增长而转变为塑性变形，从而使构件内旳应力变 小。这种现象称为应力松弛。
§11–4 构件持久限及其计算
一、构件持久限—r 0
r0 与 r 旳关系：
0 r
K
r
1. K —有效应力集中系数：
K
无应力集中的光滑试件的持久限
同尺寸有应力集中的试件的持久限
第十一章 交变应力

第十一章 交变应力

第十一章
交变应力
大纲要求
一.了解交变应力、疲劳失效、持久极限等概念。 了解交变应力、疲劳失效、持久极限等概念。 熟悉交变应力的循环特征、应力幅和平均应力的计算. 二.熟悉交变应力的循环特征、应力幅和平均应力的计算. 了解材料的持久极限的测定。 三.了解材料的持久极限的测定。 熟悉影响构件的持久极限的主要因素。 四.熟悉影响构件的持久极限的主要因素。 掌握对称循环下构件的疲劳强度计算。 五.掌握对称循环下构件的疲劳强度计算。
3.直接用材料的持久极限表示为： 3.直接用材料的持久极限表示为： 直接用材料的持久极限表示为
σ −1 kσ σ max ε σβ
≥ n 对于对称循环的扭
转交变应力有： 转交变应力有：
τ −1 kτ τ max ε τβ
≥n
§11.6 持久极限曲线
一.由S-N曲线到持久极限曲线 1.由不同循环特征 r 的S-N曲线得到对应的持久极限σr ； 1.由不同循环特征 2.求出与 σr 对应的应力幅 σa与平均应力 σm ; 2.求出与 3.在 σm – σa 坐标系中，每一个循环特征 r 的持久极限 σr 3.在 坐标系中， 这些点组成持久极限曲线。 对应着一个点 (σm ，σa ) ，这些点组成持久极限曲线。
四.工作环境的影响 在腐蚀的介质中，在高温环境中，持久极限会降低. 在腐蚀的介质中，在高温环境中，持久极限会降低. 五.构件的持久极限 1.材料的持久极限：光滑小试件的持久极限叫“材料的持 1.材料的持久极限：光滑小试件的持久极限叫“ 材料的持久极限 久极限” 久极限”。 2.构件的持久极限：具体构件的持久极限一般要受前三个 2.构件的持久极限： 构件的持久极限 因素的影响，一般都小于材料的持久极限。所以，构件 因素的影响，一般都小于材料的持久极限。所以， 的持久极限是： 的持久极限是：
第十一章交变应力

第十一章交变应力

~ 1 ~
疲劳破坏特点：（1）长时间；（2）低应力；（3）突然性。

应力循环：应力每重复变化一次,称为一个应力循环。

循环特征：最小应力和最大应力的比值称为循环特征。

平均应力：最大应力和最小应力代数和的一半,称为交变应力的平均应力
.
应力幅：最大应力和最小应力的差值的二分之一,称为交变应力的 应力幅
.
对称循环：在交变应力下最大应力与最小应力等值且反号.
;;。

脉动循环：或时的应力循环称为脉动循环。

, 或 ,
持久极限：循环应力只要不超过某个“最大限度”,构件就可以经历无数次循环而不发生疲劳破坏,这个限度值称为“疲劳极限”,用σr 表示.
σ-N 曲线：当最大应力降低至某一值后,σ－N 曲线趋一水平,表示材料经历无限次应力循环而不发生疲劳破坏,相应的最大应力值σmax 称为材料的疲劳极限或持久极限，用σr 表示。

对于铝合金等有色金属，σ－N 曲线通常没有明显的水平部分，一般规定疲劳寿命N 0=108时的最大应力值为条件疲劳极限,用0N r σ表示。

~ 2 ~
（1（，n τ。

交变应力

交变应力


结果分析： 结果分析：
σmax
1.同一循环特性， σmax越大，循环次数越少； 越大，循环次数越少； 1.同一循环特性， 同一循环特性 反之亦然。 反之亦然。 2.曲线有一水平渐进线。 2.曲线有一水平渐进线。→应力只要不超过该 曲线有一水平渐进线 循环次数可以无穷多(循环次数无限构件也 值，循环次数可以无穷多 循环次数无限构件也 不发生疲劳破坏)。 不发生疲劳破坏 。 持久极限（疲劳极限） 持久极限（疲劳极限）
εσ =
(σ−1)ε
光滑大试件的持久极限 光滑小试件的持久极限
σ−1
εσ <1
τmax
α1
τmax
相同最大切应力情况下， 相同最大切应力情况下，
α1 <α2
α2
沿着横截面半径， 沿着横截面半径，大试件应力衰减比小试件 缓慢， 缓慢，因而大试件截面上高应力区比小试件 所以形成疲劳裂纹的机会也更多。 大。所以形成疲劳裂纹的机会也更多。持久 极限降低。 极限降低。 （表11.1） 11.1）
显然，构件应力必须小于持久极限，考虑安全系数： 显然，构件应力必须小于持久极限，考虑安全系数： 许用应力 强度条件
σ−1 = n =K n σ
0 σ−1 εσ β σ−1
0 σ−1 = n ≥ n 规定安全系数 σmax ≤ σ−1 or σmax σ
工作安全系数
例
3.2
某减速器第一轴如图。 某减速器第一轴如图。键槽为端铣
σmax,1 σmax,2
σ－ 1 N1 N2 应力－ 应力－寿命曲线
N
σ−1
循环基数：试验不可能无限期进行，实践中规定一个循环次数 循环基数：试验不可能无限期进行，实践中规定一个循环次数N0对应的 应力为持久极限，如果试样在N 没有发生疲劳破坏，则认为超过N 应力为持久极限，如果试样在 0没有发生疲劳破坏，则认为超过 0也不 会疲劳破坏。如钢和铸铁等黑色金属材料，循环基数N 会疲劳破坏。如钢和铸铁等黑色金属材料，循环基数 0 ＝107。
材料力学 交变应力

材料力学 交变应力


的 应力幅
s max
用sa 表示
sa
smaxsmin
2
O
s min
4.平均应力
sa sa
t
最大应力和最小应力代数和的一半,称为交变应力的
平均应力.
用sm表示.
smsmax2smin
二、交变应力的分类
1.对称循环
在交变应力下若最大应力与最小应力等值而反号.
smin= - smax或 min= - max
限；
表示光滑小试样的持久极
限。
显然，有：
s 1, 1
右边表 格给出了在 弯,扭的对称 应力循环时 的尺寸因数.
表11-1 尺寸因数
直径 d(mm)
s
碳钢
合金钢
>20 ～30
0.91
>30 ～40
0.88
0.83 0.77
>40 ～50
0.84
0.73
>50 ～60
0.81
0.70
>60 ～70
0.78
r smin 1
s
smax
r = -1 时的交变应力,称为 O
对称循环交变应力.
smax
smin
t
sa smax sm0
2.非对称循环
r1时的交变应力,称为非对称循环 交变应力.
（1）若 非对称循环交变应力中的最小应力等于零（ smin=0）
s
r s min 0 s max
smax
O
s三、疲劳破坏
材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为疲劳破坏
1.疲劳破坏的特点
（1）交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度 极限值,有时甚至低于材料的屈服极限.
第十一章 交变应力

第十一章 交变应力


σ min r= σ max
r = -1 ：对称循环 ； O r = 0 ：脉动循环 ； r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或 压压循环。 压压循环。
幅
∆σ
(3)平均应力 (3)平均应力
σm
1 ∆σ = (σ max − σ min ) 2 1 σ m = (σ max + σ min ) 2
上式表明，车轴每旋转一圈，A点处的材料即经历 一次由拉伸到压缩的应力循环，该处不断反复受力。
又如，齿轮上的每个齿，自开始啮合到脱开，齿根 上的应力自零增大到最大值，然后又逐渐减为零；齿轮 不停转动，每个齿则反复受力。
在交变应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂 的现象称为疲劳断裂，简称疲劳。
在交变应力作用下，裂纹两表面时而正向错动，时而反向错 动，直至临界状态。
第11章 11章
交变应力
交变应力（循环应力）：随时间循环变化的应力。 如图随车轮一起转动的火车轮轴，当车轴以角速度 ω 旋转：
横截面边缘任一点A处的弯曲正应力为：
My A MR σA = = sin ωt Iz Iz
横截面边缘任一点A处的弯曲正应力为：
My A MR σA = = sin ωt Iz Iz
交变应力的基本参量 随着时间的变化， 随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间 作周期性变化，应力每重复变化一次的过程称为一个应力循 作周期性变化，应力每重复变化一次的过程称为一个应力循 环。
σ
一个应力循环
σ max σ min
O t
∆σ
通常用以下参数描述循环应力的特征
σ
一个应力循环
(1)应力比 (1)应力比 r
图示非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 σm 上叠加一个应力幅为 图示非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 上叠加一个应力幅为 非对称循环应力可以看作是在一个 的对称循环应力组合构成。 ∆σ 的对称循环应力组合构成。 组合构成
工程力学课件 第11章 动载荷、冲击载荷、交变应力简介

工程力学课件 第11章 动载荷、冲击载荷、交变应力简介

1.1.1 电路பைடு நூலகம்组成
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析

第十一章 动荷载 交变应力

FNd Fd A2 D 2 2 4
qd
qd
Fd d m m n n FNd FNd (c)
D d 2
于是，横截面上的正应力 d 为
FNd 2 D 2 d A 4
材料力学教学课件 2019年4月2日星期二
11
第11章
动荷载 · 交变荷载
例题：直径 d=100mm 的圆轴，一端有重量 P=0.6kN 、 直径 D=400mm 的飞轮，以均匀转速 n=1000r/min 旋 转（图 a)。现因在轴的另一端施加了掣动的外力偶矩 Me ，而在 t=0.01s 内停车。若轴的质量与飞轮相比很 小而可以略去不计，试求轴内最大动切应力d,max 。 解：飞轮的惯性力矩为
则
Δd Kd Δst
(e)
将上式两边乘以 E/l 后得
d Kd st
(1)
当 h0 时，相当于P 骤加在杆件上，这时
Kd 2
对于实际情况，以上计算是偏于安全的。
材料力学教学课件 2019年4月2日星期二
24
第11章
动荷载 · 交变荷载
D 例题：钢吊索AC的下端挂一重量为P=20kN C 的重物(图a)，并以等速度 v=1m/s 下降。 当吊索长度为 l=20m 时，滑轮D突然被卡 (a) A 住。试求吊索受到的冲击荷载 Fd 及冲击 Δd 应力 d 。已知吊索内钢丝的横截面面积 Fd A=414mm2，材料的弹性模量E=170GPa， D C 滑轮的重量可略去不计。若在上述情况下 ，在吊索与重物之间安置一个刚度系数 k=300kN/m 的弹簧，则吊索受到的冲击荷 (b) A Δst 载又是多少？ l P
解出 d 的两个根，取其中大于 st 的那个根，即得
2h Δd Δst (1 1 ) Δst 2h 引用记号 K d (1 1 ) Δst

11交变应力讲解

即裂纹萌生的过程。
裂纹尖端一般处于三向拉伸应力状态，不易出现塑性变形。
（4）、裂纹扩展
已形成的宏观裂纹在交变应力的作用下逐渐扩展， 扩展是缓慢的并且是不连续的。因应力水平的高低时 而持续，时而停滞，裂纹两侧时压、时离，似相互研 磨，形成光滑区。
（5）、脆断
随裂纹的扩展，构件截面逐步削弱， 应力增大。当削弱到一定极限时，应 力增大到一定程度，在突变的外因 （超载、冲击或振动）下突然断裂， 断口出现粗糙区。
第十一章 交变应力
§11–1 概述 §11–2 交变应力的几个名词术语 §11–3 材料持久限及其测定 §11–4 构件持久限及其计算 §11–5 对称循环下构件的疲劳强度计算
动荷的分类及其研究方法
⑴ 构件做匀加速运动（如圆周运动） ——加上惯性力 机械结构中常用
⑵ 加速度周期变化——用振动理论 ⑶ 加速度剧变（如冲击 Δt=0.01s）
•疲劳破坏产生的过程可概括为：
裂纹形成 裂纹扩展 断裂
四、疲劳破坏的发展过程: 1.亚结构和显微结构发生变化，从而永久损伤形核。 2.产生微观裂纹。 3.微观裂纹长大并合并，
形成“主导”裂纹。 4.宏观主导裂纹稳定扩展。 5.结构失稳或完全断裂。
目录
疲劳失效的解释
材料的疲劳失效是在交变应力作用下，材料中裂 纹的形成和逐渐发展的结果 而裂纹尖端处于严重的应力集中是导致疲劳失效的主要原因。
疲劳破坏案例1
1979年，美国DE-10型飞机失事，死亡270人，原因螺旋桨 转轴发生疲劳破坏，该型号飞机停飞一年，全面检修，是 设计问题。
疲劳破坏案例2
1981年初，欧洲北海油田“基尔兰”号平台覆灭，死亡 123人，原因疲劳破坏，横梁在海浪的交变应力作用下， 横梁承孔边裂缝，当时大风掀起7米巨浪，10105吨的浮台 沉没于大海之中

材料力学-第十一章交变应力


在一定的循环特征 r 下：
max , N ; max , N
疲劳极限或有限寿命持久极限：
材料在规定的应力循环次数N下，不发生疲劳破环的最
大应力值，记作

N r
(
N r
)
。
无限寿命疲劳极限或持久极限 r ：
当

m
a
不超过某一极限值，材料可以经受“无数次”应力
x
循环而不发生破坏，此极限值称为无限寿命疲劳极限或持久极限。
r 1
（2）脉动循环：如齿轮
max 2 m 2 a min 0
r 0

max
a
m in
t
max m
a t
材料力学 2019/10/30
8
（3）静应力：如拉压杆
max min m
a 0
r 1
（4）非对称循环：
max min 0
甚至小于屈服极限 s 。
2、破坏时，不论是脆性材料和塑性材料，均无明显的塑性变形， 且为突然断裂，通常称疲劳破坏。
3、疲劳破坏的断口，可分为光滑区及晶粒粗糙区。在光滑区可 见到微裂纹的起始点（疲劳源），周围为中心逐渐向四周扩 展的弧形线。
材料力学 2019/10/30
3
材料力学 2019/10/30
劳极限），疲劳曲线不出现水平渐近线。
步骤：
max

min

M W

Pa/ 2
1 d 3

16Pa
d 3
32
材料力学 2019/10/30
11
材料力学 2019/10/30
12
步骤：

刘鸿文版材料力学课件全套


e
Mel EI
M e 2l 2EI
M 2l 2EI
横力弯曲：V
l
M 2 (x) dx 2E I ( x)
13-3 变形能的普遍表达式
F3
1
F2
F1
2 3
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F3 3
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的 总和。
M (x)
M (x)
N ( x)
目录
疲劳极限
将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行r = -1 的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历 的应力循环次数N 各不相同。
以 为纵坐标，以N 为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应 力—寿命曲线即S-N 曲线如图（以40Cr钢为例）
注：由于在r =-1时，max = /2，故S-N 曲线纵坐标也可以采用max 。
M e L2 2EI
A
( A ) F
( A ) Me
FL2 2EI
MeL EI
V
W
1 2
FwA
1 2
M
e
A
F 2 L3 6EI
MeF2 2EI
M
2 e
L
2EI
§13-4 互等定理
F1
F2
1
2
F1
11
21
F2
12
22
ij
荷载作用点
•位移发生点
F1
11
21
F2
12
22
先作用 F1，后作用 F2，外力所作的功：
1F 2
Fl EA

第十一章交变应力

第十一章交变应力§ 11.1 交变应力与疲劳失效§ 11.2 交变应力的循环特征应力幅和平均应力§ 11.3 持久极限（疲劳极限）§ 11.4 影响持久极限的因素§ 11.5 对称循环下构件的疲劳强度计算§ 11.6 持久极限曲线§ 11.7 非对称循环下构件的疲劳强度计算§ 11.8 弯扭组合交变应力的强度计算§ 11.1 交变应力与疲劳失效1.交变载荷：随时间作周期性变化的载荷。

2.变交应力：机器零部件受到交变载荷或由于本身的旋转而产生的随时间周期性变化的应力称为交变应力。

3.疲劳失效：当物件长期在交变应力下工作时，往往在应力低于屈服极限或强度极限的情况而突然发生断裂，即是塑性材料在断裂前也无明显的塑性变形，这种现象称为疲劳失效。

4. 发展简史：疲劳失效现象出现始于19 世纪初叶，产业革命以后，随着蒸汽机车和机动运载工具的发展，以及机械设备的广泛应用，运动的部件破坏经常发生。

破坏往往发生在零部件的截面尺寸突变处，破坏的名义应力不高，低于材料的抗拉强度和屈服点。

破坏的原因一时使工程师们摸不着头脑。

1829年，法国人Albert.W.A （艾伯特）用矿山卷扬机焊链条进行疲劳实验，疲劳破坏事故阐明。

1939年法国工程师poncelet J.V在巴黎大学讲课时首先使用“疲劳”这一术语，来描述材料在循环载荷作用下承载能力逐渐耗尽以致最后突然断裂的现象。

5.抗疲劳设计的重要性绝大多数机器零件都是在交变载荷下工作，这些零部件疲劳失效是主要的破坏形式。

例如转轴有50%或90%都是疲劳破坏。

其它如连杆、齿轮的轮点、涡轮机的叶片，轧钢机的机架，曲轴，连接螺栓、弹簧压力容器、焊接结构等许多机器零部件，疲劳破坏占绝大部分。

因此抗疲劳设计广泛应用于各种专业机械设计中，特别是航空、航天、原子能、汽车、拖拉机、动力机械、化工机械、重型机械等抗疲劳设计更为重要。

交变应力-疲劳


例：试求图示梁的变形能，并利用功能原 理求C截面的挠度。
解：
U
l
M 2 (x) dx
2E I
a
Pb l
x1
2
0 2EI
dx1
b
0
Pa l x2 2E I
2
dx2
P2b2 2EI l 2
a3 3
P2a2 2EI l 2
b3 3
P2a2b2 6EI l
W
1 2
P wC
由U W，得：
wC
据150多年来的统计，金属部件中有80％以上的损坏是由于 疲劳而引起的。在人们的日常生活中，也同样会发生金属疲 劳带来危害的现象。一辆正在马路上行走的自行车突然前叉 折断，造成车翻人伤的后果。炒菜时铝铲折断、挖地时铁锨 断裂、刨地时铁镐从中一分为二等现象更是屡见不鲜。
金属疲劳造成的事故
第十二章 交变应力
一、轴向拉伸和压缩
U
W
1 2
P l
1 2
P
Pl EA
P
P2l FN 2l
2EA 2EA
P
U FN 2 (x) dx
l 2EA(x)
l l
二、扭转
m
m
U
W
1 m
2
1 ml m
2 GIp
m2l 2G I p
T 2l 2G I p
T 2 (x)
U
dx
l 2G I p (x)
三、弯曲
0 1 n
K
1
n
构件的强度条件 max [ 1]
第十二章 能量法
§12-1 概 述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生 变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能， 简称变形能。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移 上所做的功，即
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15
外形突变影响的描述 有效应力集中系数 对称循环时的有效应力集中系数为：
k
( 1)d ( 1)k
对扭转:
k
( 1)d ( 1)k
其中，(-1)d , (-1)d , 表示无应力集中的光滑试样的持久极限； (-1)k , (-1)k , 表示有应力集中的相同尺寸的试样的持久极限。
显然，有： k 1, k 1 值越大说明应力
经强化处理后， 1。
（2）不同的表面加工质量，对高强度钢持久极限的影响更 为明显，所以对高强度钢要有较高的表面加工质量，才 能发挥高强度的作用。
总结：综合考虑：构件的外形的影响；构件尺寸的影响；构件 表面质量的影响三方面的因素，构件在对称循环下的持 久极限应该是：
0 1
d
K
1
式中： 1 ——光滑小试件的持久极限
件测定的材料的持久极限 1 还不能代表实际构件的持久极限。
下面介绍影响构件持极限的几种主要因素：
一、构件外形的影响：
构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩 等，都将引起应力集中。在应力集中的局部区域更易形成疲劳 裂纹，使构件的持久极限显著降低。由于这种应力集中是以应 力集中系数表示的，故构件外形对持久极限的影响可通过应力 集中系数来反映。
尺寸有关，而且与材料的极限强度 ,亦即与材 料的性质有关。一 般说来，静载抗拉强度越高,有效应力集中系数越大，即对应力 17 集中也就越敏感。
有台阶圆轴的
K
k
（II）
图 （b)
M
b 900MPa
r
M
d
D
1.1 D 1.2 d
r d18
K
(c)
T
T
D 1.1 d
r 19d
K
(d)
T
T
1.1 D 1.2 d
§11.9 变幅交变应力
§11.10 提高构件疲劳强度的措施
1
F
F
a
§11. 1 交变应力与疲劳失效
交变应力 构件内随时间作周期性变化的应力。
大家考虑一下我们的日常
F 所见，即可发现，工程中的许
多载荷是随时间而发生变化的，
而其中有相当一部分载荷是随
时间作周期性变化的。例如火
车的轮轴。
F
y
k
a
z
t
持久极限 是疲劳强度设计的依据。 持久极限由疲劳试验确定
一、实验：
把一级相同的试件从高到低加上一定载荷使其承受交变应 力，直至其破坏为止，并记下每个试件在破坏前的应力循环次 数N。 结果：当r一定时： (1) 如果 max r ,试件经过无数次循环而不发生疲劳破坏,
其中 r 为持久极限。 (2) 如果 max r，发现，试件经过N次循环就会发生疲劳
循环特征 r——最小应力与最大应力的
比值
r min max
（11.1）
8
σmax
σ max σ min
σm σa
平均应力与应力幅度
一个应力循环
最大应力和最小应力的代数平 均值称为“平均应力”
用σm表示，即：
m
max
min
2
最大应力和最小应力的带数差之
半，称为“应力幅度”用σa表示，即：
集中的影响越大
k、k 的确定
16
k、k 的确定 查曲线或表格 由理论应力集中系数估算
K
有台阶圆轴的 k （I） ( 图11.8 a )
b 900MPa
M
r
M
d
D
D 1.1 d
b 600MPa
r 13-6从关这于些有曲效线应中力可集看中出系：数有与效试应件力尺集寸中，系外数形不的仅关与系构见件图的13形-1至状d，，
注：除上述三方面的主要因素影响外，腐蚀介质和高温也会影响
持久极限。如遇此种因素，在上述公式中还须加入相关系数24
。
目录
四、 构件的持久极限
综合以上三种因素，在对称循环下，就可由光 滑小试样的持久极限得到构件的持久极限：
0 1
k
1
对剪应力的对称循环，有：
0 1
k
1
25
§13.5 对称循环下构件的疲劳强度计算
式中： 1
或
1
e
1
——尺寸系数
——对称循环下，光滑小试件的持久极限
1
e
——对称循环下，光滑大试件的持久极限
显然，有： 1, 1、 的确定22三、构件表面质量的影响： 构件表面的加工质量对持久极限也有影响，例如当表面存在刀
痕时，刀痕的根部将出现应力集中，因而降低了持久极限，反之， 构件表面经强化方法提高后，其持久极限也就得到提高。
31
讨论：
B
A
C
(1) A点： m 0 ，r 1
表明纵坐标轴上的各点代
1
表对称循环， A 1 a
B
(2) B点： a 0 ，r 1
O
m
表明横坐标轴上的各点代表静应力，
b
B b
(3) 曲线 B‘ AC’ B 与坐标轴在 m ~ a 坐标平面中围成一个
区域，区域内的各点，由于其对应的应力循环中的 max r
口相似。 4.因交变应力产生破坏时，最大应力值一般低于静载荷作用下
材料的抗拉(压)强度极限σb，有时甚至低于屈服极限σs 5.材料的破坏为脆性断裂，一般没有显著的塑性变形，即使是
塑性材料也是如此。在构件破坏的断口上，明显地存在着两 个区域：光滑区和颗粒粗糙区。 6.材料发生破坏前，应力随时间变化经过多次重复，其循环次 数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数愈少。
二、交变应力所造成的危害：
机械零件的破坏80100是由交变应力造成的，且危害性很大。如 如列车轮轴的疲劳破坏会引起列车出轨。汽轮机任一叶片的疲劳破 坏将打断整圈叶片，且破坏前无明显征兆，故常常令人防不胜防。
4
三、疲劳破坏构件的特征：
1.断面呈现光滑区和粗糙区两部分。 2.光滑区有明显的裂纹源。 3.粗糙区域与脆性材料（铸铁）构件在静载下脆性破坏的断
7
§11. 2 交变应力的循环特征，应力幅和平均应力
按正弦规律变化的交变应力 如图所示。
一个应力循环
σa
对称循环σ-t 动态曲线
σm
σmax
σ min
在交变应力中，应力每重复变化一次称为一个“应力循环”。
应力重复变化的次数称为“应力循环次数”，用N表示。
应力的极大值称为最大应力，用σmax表示；
应力的极小值称为最小应力，用σmin表示。
Fa
2
F
t
电机偏心转子引起梁的振动
t
静平衡位置
t
3
y d sin t
2
M Fa
M y Fad sin t
Iz 2Iz
一、定义：
交变应力：构件中点的应力状态随时间而作周期性变化的 应力。
疲劳破坏：在交变应力下，虽然最大应力小于屈服极限， 长期重复之后，也会突然断裂。即使是塑性较好的材料，断裂 前也没有明显的塑性变形。这种破坏现象习惯上称为疲劳破坏。
表面质量对持久极限的影响可通过下面的质量系数 来表
示。
1
1
d
——表面质量系数
式中： 1d ——表面磨光试件的持久极限
1 ——其他加工情况的构件的持久极限
当表面质量低于磨光试样时，有： 1
的确定
查表
不同表面粗糙度的表面质量系数
23
注：（1）当构件表面质量低于磨光的试件时， 1 ；而表面
使构件截面严重削弱，最后沿严重削弱了的截面发生突然脆性
断裂。从上述解释与疲劳破坏断面的特征较吻合，故较有说服
力。
6
目录
疲劳失效的机理 交变应力
晶格位错
位错聚集
滑移带
微观裂纹
宏观裂纹
宏观裂纹扩展，形成断口的光滑区
突然断裂，形成断口的颗粒状粗糙区
因疲劳破坏是在没有明显征兆的情况下突然发生的，极易造成 严重事故。据统计，机械零件，尤其是高速运转的构件的破坏， 大部分属于疲劳破坏。
a 交变应力的特殊情况
max
min
2
r=0 脉冲循环
σmax=σmin=σ
r=1 静应力
9
对称循环: max 与 min 大小相等，符号相反的应力循环。
对于对称循环 有：r 1 m 0 a max
除对称循环以外的循环， 都称为不对称循环。
脉动循环: min =0 ( 或 max =0)的循环，称为脉动循环。
第十一章 交变应力
本章内容:
§11.1 交变应力与疲劳失效
§11.2 交变应力的循环特征，应力幅和平均应力
§11.3 持久极限
§11.4 影响持久极限的因素
§11.5 对称循环下构件的疲劳强度计算
§11.6 持久极限曲线
§11.7 不对称循环下构件的疲劳强度计算
§11.8 弯扭组合交变应力的强度计算
系。对于任意一应力循环，根据其 a 、 m 值，就可以在可以 在坐标系中确定一个对应力C。因 max m a ，即一点的 纵横坐标之和就是该点所代表的应力循环的最大应力, 由原点 向C点作一射线，其斜率应为：
tg a 1 r m 1 r
可见循环特性r相同的所有应力 循环都在同一射线上。可 以推想：在每条由原点出发的射线上，都有一个由持久极限确 定的临界点，将这些点连接起来所得到的曲线就是持久极限曲 线，如下图中的 BACB 曲线。
r 20d
K
(e)
T
T
1.2 D 2 d
r
可以看出：
d
D/d 越大， k 就越大；材料的强度越大
(b 越大), k 就越大；
圆角半径越大， k 就越小。