01练-冲刺2020年高考数学小题狂刷卷(浙江专用)(解析版)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
21.[2018·成都七中一诊] 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+1)是偶函数,且当 x∈[0,1]
时,f(x)=x(3-2x),则 f(321)= ( )
A.12
B.-12
C.-1
D.1
22.[2018·成都一模] 已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,若 f(2)=-2,则满足 f(x-1)≥-2 的 x 的
.
������3,������ ≥ 1,
5.[2017·全国卷Ⅲ]
设函数
f(x)={���2������+���,������1>,������
≤ 0,
0,则满足
f(x)+f(������-
12)>1
的
x
的取值范围是
cos π������ ,0 < ������ ห้องสมุดไป่ตู้ 2,
6.[2018·江苏卷]
函数
)
A.f(x)是偶函数不是奇函数
B.f(x)是奇函数不是偶函数
C.f(x)既是偶函数又是奇函数
D.f(x)既不是偶函数也不是奇函数
20.[2018·杭州学军中学三模] 已知函数 f(x)=x3+log2(x+√������2 + 1),a,b∈R,则“f(a)+f(b)>0”是
“a+b>0”的( )
A.2
B.4
C.8
D.16
18.[2018·河南中原名校联考] 设函数 f(x)={1������-2������+������,���2���������≤+0���,���,������ > 0,若 f[f(1)]=1,则 a=(

2020高考数学小题专题练（六套）浙江专用小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式1．已知集合M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．[－4，2) B ．(1，4] C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >12＋4x ，x ≤1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4B ．－2C ．2D ．13．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[1，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，1]∪[5，＋∞)5．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．46．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，2]8．函数f (x )＝(x ＋1)ln(|x －1|)的大致图象是( )9．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，54 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－5411．若2a ＝3b ＝6，则4－a＝________；1a ＋1b＝________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值为________．13．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为________，最大值为________．14．已知p ：0<x <2，q ：x <a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 15．设函数f (x )＝|x 2＋a |＋|x ＋b |(a ，b ∈R )，当x ∈[－2，2]时，记f (x )的最大值为M (a ，b )，则M (a ，b )的最小值为________．16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )在区间(0，1)内有两个零点，则3a ＋b 的取值范围是____________．17.已知函数f ′(x )和g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系中的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)小题专题练(一)1．解析：选B.集合N ＝{x |x 2－2x －8≤0}＝{x |－2≤x ≤4}， 集合M ＝{x |x ＞1}， 所以M ∩N ＝{x |1＜x ≤4}． 故选B.2．解析：选B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋412＝2＋2＝4，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (4)＝log 124＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－2.3．解析：选C.法一：当a ＞b ≥0时，a ＞b ⇔a 2＞b 2⇔a |a |＞b |b |，当a ，b 一正一负时，a ＞b ⇔a ＞0＞b ⇔a |a |＞0＞b |b |，当0≥a ＞b 时，0≥a ＞b ⇔a 2＜b 2⇔－a |a |＜－b |b |⇔a |a |＞b |b |，所以a ＞b ⇔a |a |＞b |b |，故选C.法二：构造函数f (x )＝x |x |，易知为奇函数且为增函数，所以当a ＞b 时，f (a )＝a |a |＞b |b |＝f (b )，所以选C.4．解析：选C.因为不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空等价于|x ＋3|＋|x －2|的最小值小于或等于a ，由于不等式|x ＋3|＋|x －2|≥5在x ∈R 上恒成立，所以a ≥5.选C.5．解析：选A.法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.6．解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.7．解析：选B.由f (x )在(－∞，1]上单调递减得t ≥1，由对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，得f (x )max －f (x )min ≤2，即f (0)－f (t )≤2，t 2≤2，因此1≤t ≤2， 选B.8．解析：选C.根据函数表达式，当x >2时，函数值大于0，可排除A 选项，当x <－1时，函数值小于0，故可排除B 和D 选项，进而得到C 正确．故答案为C. 9．解析：选C.因为f (x )为偶函数，所以当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]， 所以f (－x )＝x 2，即f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)， 所以f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是以2为周期的周期函数，据此在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的图象，如图所示，数形结合可得两图象有3个交点，故方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上有三个根．故选C.10．解析：选A.因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－（x －1）（x －3）4x 2， 易知，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以g (x )在区间[1，2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立， 只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且12≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.11．解析：由题可得a ＝log 26，b ＝log 36，所以4－a＝4－log 26＝122log 26＝12log 262＝162＝136， 1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.答案：136112．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝f (9－6)＝f (3)＝log 24＝2，当x ≤0时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝－1， 所以函数的最小值为f (－1)＝1－2＝－1； 当x ＞0时，函数是增函数，x ＝0时f (0)＝0，所以x ＞0时，f (x )＞0，综上函数的最小值为－1，故答案为2，－1. 答案：2 －1 13.解析：画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，最大值为2－（－1）0－（－1）＝3，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43，最大值为4. 答案：43414．解析：据充分不必要条件的概念，可知只需A ＝{x |0<x <2}是集合B ＝{x |x <a }的真子集即可，结合数轴可知只需a ≥2即可．答案：[2，＋∞)15．解析：去绝对值，f (x )＝±(x 2＋a )±(x ＋b )，利用二次函数的性质可得，f (x )在[－2，2]的最大值为f (－2)，f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12中之一，所以可得M (a ，b )≥f (－2)＝|4＋a |＋|－2＋b |，M (a ，b )≥f (2)＝|4＋a |＋|2＋b |， M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋b ，M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋b ，上面四个式子相加可得4M (a ，b )≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫|4＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－b |＋|b ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－b≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋12 ＝252，即有M (a ，b )≥258， 可得M (a ，b )的最小值为258，故答案为258.答案：25816．(－5，0)17．解析：由题意知f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，则可设f (x )＝12x 2＋a ，g (x )＝13x 3＋b ，其中a ，b ∈R .(1)因为f (1)＝1，所以12×12＋a ＝1，所以a ＝12，所以f (－1)＝12×(－1)2＋12＝1.(2)因为h (x )＝f (x )－g (x )，所以h (x )＝12x 2＋a －13x 3－b ，所以h (－1)＝56＋(a －b )，h (0)＝a －b ，h (1)＝16＋(a －b )，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)小题专题练(二) 三角函数与平面向量1．若角α的终边过点P (－1，m )，且|sin α|＝255，则点P 位于( )A ．第一象限或第二象限B ．第三象限或第四象限C ．第二象限或第三象限D ．第二象限或第四象限2．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为43．设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0 B. 2 C ．2D ．2 24．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．45.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.636．若函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(|φ|<π)满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，a 为常数，a ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π6的值为( )A.32B ．±1C ．0 D.127.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6B.7π12C.76π D.73π8．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π6 B.π12 C.π4D.π39．已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A.3π4 B.4π3 C.5π3D.3π210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 311．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝________． 12．已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为____________．13．已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则a ·b ＝________，|a ＋2b |＝________．14．设a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，若tan A tan Btan A ＋tan B ＝1 008tan C ，且a 2＋b 2＝mc 2，则m ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为13(a 2＋c 2－b 2)，且∠C为钝角，则tan B ＝________；c a的取值范围是________．16．已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________；最大值是________．17．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA →＋OB →＝OC →，则a 的值为________．小题专题练(二)1．解析：选C.因为角α的终边过点P (－1，m )，所以OP ＝1＋m 2，所以|sin α|＝255＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 1＋m 2，解得m ＝±2，所以点P 的坐标为(－1，2)或(－1，－2)，即点P 位于第二象限或第三象限．2．解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 3．解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.4．解析：选D.因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.5．解析：选C.依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 6．解析：选C.由f (a ＋x )＝f (a －x )知，直线x ＝a 为函数f (x )图象的对称轴，所以f (a )＝sin(3a ＋φ)＝±1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π6＝sin(3a ＋φ＋π2)＝cos(3a ＋φ)＝0.7．解析：选C.由题中图象知T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2.又知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－A ，由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝712π，所以A ·ω＝76π.故选C. 8．解析：选 A.由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，选A.9．解析：选C.由函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象可得，当x ＝π6和x ＝2π3时，函数分别取得最大值和最小值，由正弦函数图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3.故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，故选C. 10．解析：选C.因为c 2＝(a －b )2＋6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.11．解析：因为α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12 ＝sin ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎦⎥⎤α＋π6－π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－ 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.答案：1725012.解析：方程g (x )＝0同解于f (x )＝m ，在平面直角坐标系中画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解．答案：[3，2)13．解析：因为〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， 所以a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案：1 2 314．解析：由tan A tan B tan A ＋tan B ＝1 008tan C 得1tan A ＋1tan B ＝11 008×1tan C ，即cos Asin A ＋cos B sin B ＝11 008×cos C sin C ，sin 2C sin A sin B ＝cos C 1 008，根据正、余弦定理得c 2ab ＝11 008×a 2＋b 2－c22ab，即a 2＋b 2－c 2c 2＝2 016，a 2＋b 2c2＝2 017，所以m ＝2 017.答案：2 01715．解析：因为S ＝12ac sin B ＝13(a 2＋c 2－b 2)所以34sin B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B 即tan B ＝43，因为∠C 为钝角，所以sin B ＝45，cos B ＝35.由正弦定理知c a ＝sin C sin A ＝sin （A ＋B ）sin A ＝cos B ＋sin B cos A sin A ＝35＋451tan A.因为∠C 为钝角，所以A ＋B ＜π2，即A ＜π2－B .所以cot A ＞cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝tan B ＝43. 所以c a ＞35＋45×43＝53，即c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 答案：43⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 16．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →| 取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5. 答案：0 2 517．解析：因为A ，B ，C 均为圆x 2＋y 2＝2上的点， 故|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2， 因为OA →＋OB →＝OC →， 所以(OA →＋OB →)2＝OC →2， 即OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝OC →2， 即4＋4cos ∠AOB ＝2， 故∠AOB ＝120°.则圆心O 到直线AB 的距离d ＝2·cos 60°＝22＝|a |2，即|a |＝1，即a ＝±1. 答案：±1小题专题练(三) 数 列1．无穷等比数列{a n }中，“a 1>a 2”是“数列{a n }为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( ) A.12 B.1716C ．2D ．173．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－124．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋ (2)a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )A.110B.15C.111D.2115.如图，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f (x )＝x ＋1x(x >0)的图象上，若点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．212C ．216D ．2206．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n .若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值为( ) A ．10B.92C.72D.12＋2 2 7．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 8．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n ＞0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有( )A ．S n ≤2n 2＋3 B ．S n ≥n 2＋4n C ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．2110．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________，S 7＝________． 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 4＝________，S 5＝________．13．已知等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .设{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若n 2(T n ＋1)＝2n S n ，n ∈N *，则d ＝________，q ＝________．14．已知数列{a n }满足(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1，则a n ＝________；若b n ＝n ＋22n ＋2a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 3＝________．15．对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋12n －32，其前n 项和为S n ，则对任意m ，n ∈N *(m <n ), S n －S m 的最大值为________．17．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ，n ∈N *,b n ＝2an，若任意n∈N*，k>T n恒成立，则k的最小值是________．（2an－1）（2an＋1－1）小题专题练(三)1．解析：选B.数列{a n }递减⇒a n <a n －1.反之不成立，例如a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1，此数列是摆动数列．故选B.2．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B. 3．解析：选D.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，解得a 1＝－12.4．解析：选C.因为2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，所以2a 1＋22a 2＋…＋2n －1a n －1＝n －1(n ≥2)，两式相减得2na n ＝1(n ≥2)，a 1＝12也满足上式，故a n ＝12n ，故1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝111，故选C.5．解析：选C.由题意得|A n D n |＝|B n C n |＝n ＋1n，设点D n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，n ＋1n ，则有x ＋1x＝n ＋1n ，得x ＝1n(x ＝n 舍去)，即A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，0，则|A n B n|＝n －1n，所以矩形的周长为a n ＝2(|A n B n |＋|B n C n |)＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.6．解析：选B.由已知得S n ＋8a n＝na 1＋n （n －1）d 2＋8a 1＋（n －1）d＝n 2＋8n ＋12≥2n 2·8n ＋12＝92，当且仅当n ＝4时“＝”成立．7．解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 8．解析：选D.因为a n ＞0，所以a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1.因为a n a n ＋1＝n ＋1，所以{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝（2＋n ＋1）n 2＝（n ＋3）n 2，所以数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和S n ≥2×（n ＋3）n 2＝(n ＋3)n ＝n 2＋3n .9．解析：选C.因为a 9＋3a 11<0，所以由等差数列的性质可得a 9＋3a 11＝a 9＋a 11＋2a 11＝a 9＋a 11＋a 10＋a 12＝2(a 11＋a 10)<0，又a 10·a 11<0，所以a 10和a 11异号， 又因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是递减的等差数列，所以a 10>0，a 11<0， 所以S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19×2a 102＝19a 10>0，所以S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，所以S n 取得最小正值时n 等于19. 10．解析：选B.由条件得1a n ＋1－1＝1a n （a n －1）＝1a n －1－1a n ，即有1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝1a 1－1－1a 2 017－1＝3－1a 2 017－1.又a n ＋1－a n ＝(a n －1)2≥0，则a n ＋1≥a n ≥…≥a 1>1，当n ≥2时，从而有(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝(a n －1)2－(a n －1－1)2＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1－2)≥0，则a n ＋1－a n ≥a n －a n －1≥…≥a 2－a 1＝19，则a 2 017＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a 2017－a 2 016)≥43＋2 0169＝22513，得a 2 017－1≥22413>1，即有0<1a 2 017－1<1，则m ∈(2，3)，故选B.11．解析：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－2，d ＝－1，所以a 1＝a 3－2d ＝7，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋(n －1)×(－1)＝8－n ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×7＋21×(－1)＝28. 答案：8－n 2812．解析：法一：由a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)，所以数列{a n＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，故a n ＋1＝2n，即a n ＝2n－1，所以a 4＝15，S n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，S 5＝57.法二：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，可猜想a n ＝2n－1，验证可知满足题意，故S n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，所以S 5＝57.答案：15 57 13．2 214．解析：法一：由a n ＋1a n ＝n n ＋2可得，a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×…×n －1n ＋1，得a n ＝2n （n ＋1）.b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 法二：由(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1易得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，…，猜想a n ＝2n （n ＋1），易证结论成立．故b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 答案：2n （n ＋1） 316415．解析：令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2，…a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)·b 1＋（n －1）（n －2）2＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋（n －1）（n －2）2，分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0， 解得a 1＝2312，a 2＝100.答案：10016．解析：由a n ＝－n 2＋12n －32＝0，得n ＝4或n ＝8，即a 4＝a 8＝0.又函数f (x )＝－x 2＋12x －32的图象开口向下，所以数列的前3项均为负数，当n >8时，数列中的项均为负数．在m <n 的情况下，S n －S m 的最大值为S 7－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＝－52＋12×5－32－62＋12×6－32－72＋12×7－32＝10.答案：1017．解析：当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1，解得a 1＝3或a 1＝0.由a n >0得，a 1＝3. 由6S n ＝a 2n ＋3a n ，得6S n ＋1＝a 2n ＋1＋3a n ＋1.两式相减得6a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋3a n ＋1－3a n .所以(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝3.即数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . 所以b n ＝2an（2an －1）（2an ＋1－1）＝8n（8n －1）（8n ＋1－1） ＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1. 所以T n ＝17(18－1－182－1＋182－1－183－1＋…＋18n －1－18n ＋1－1)＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18n ＋1－1<149. 要使任意n ∈N *，k >T n 恒成立，只需k ≥149，所以k 的最小值为149.答案：149小题专题练(四) 立体几何1．下列命题中，正确的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D ．棱台各侧棱的延长线交于一点2．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．23.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱BB 1的中点，若用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )4．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．4∶3B ．2∶1C ．5∶3D ．3∶25．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73B.8－π3 C.83D.7－π37．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝4，点D 在棱BB 1上，若BD ＝3，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )A.235B.23913C.54D.438．已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α9．如图甲所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )A．29 cm B．30 cmC．32 cm D．48 cm10．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝ 2.设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为( )A．1 B. 2C.33D.3211．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，几何体中最长棱的长是________．第11题图第12题图12．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P­ABC的正视图与侧视图的面积的比为________，三棱锥P­ABC的体积是________．13．已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．14．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为________．15．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，∠ABE ＝20°，∠CDF ＝30°.将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．第15题图 第16题图16．如图，在四边形ABCD 中，CD ⊥BD ，∠ABD ＝π3，AB ＝BD ＝4，CD ＝2，现将△BCD 沿BD 折起，当二面角A ­BD ­C 的大小处于[π6，5π6]的过程时，线段AC 长度的最小值是________，最大值是________．17．已知△ABC 在平面α内，∠ACB ＝90°，点P ∉α，PA ＝PB ＝PC ＝7，AB ＝10，AC ＝6，则点P 到平面α的距离等于________，PC 与平面PAB 所成角的正弦值为________．小题专题练(四)1．解析：选D.直棱柱的侧棱与底面垂直，底面形状不定，故选项A ，C 都不够准确；选项B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故B 不正确．2．解析：选D.由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3．解析：选C.如图，取DD 1的中点F ，连接AF ，FC 1，则过点A ，E ，C 1的平面即为面AEC 1F ，所以剩余几何体的侧视图为选项C.4．解析：选 A.圆锥的侧面积＝π×12×120360＝π3，圆锥的底面半径＝2π×1×120360÷2π＝13，圆锥的底面积＝π·19＝π9，圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝4π9，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为4∶3.5．解析：选A.由于cos 〈m ，n 〉＝－12，所以〈m ，n 〉＝120°.所以直线l 与α所成的角为30°.6．解析：选B.由三视图得，该几何体是从四棱锥P ­ABCD 中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底面是以2为边长的正方形，高是2，圆锥的底面半径是1，高是2，则所求几何体的体积V ＝13×2×2×2－12×13π×12×2＝8－π3.7.解析：选B.如图，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →＝4×23×32＝12＝5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹角)，所以cos θ＝235，sin θ＝135，tan θ＝396，又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ，所以所求角的正切值为23913. 8．解析：选A.由l ，m ，n 为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A 中，若m ⊥α，m ⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A 正确；在B 中，若l ⊥m ，l ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则l 与α相交、平行或l ⊂α，故B 错误；在C 中，若α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则m 与β相交，故C 错误；在D 中，若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α或n ⊂α，故D 错误．故选A.9．解析：选A.设这个简单几何体的总高度为h ，图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x ，图丙简单几何体上面没有充满水的高度为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧πx ＝9πy ，x ＋20＝y ＋28⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以h ＝29.10.解析：选A.将长方体中含有ABD 1的平面取出，过点A 作AM ⊥BD 1，延长AM ，使MP ＝AM ，则P 是A 关于BD 1的对称点，如图所示，过P 作PE ⊥BC 1，垂足为E ，依题意AB ＝1，AD 1＝3，BD 1＝2，∠ABD 1＝60°，∠BAM ＝30°，∠PBE ＝30°，PE ＝12，BE ＝32，所以PC 1＝1，故选A.11．解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中的三棱锥M ­A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，所以VM ­A 1B 1N ＝13×12×2×2×2＝43.又A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N ＝22＋12＝5，A 1M ＝22＋（23）2＝2103，B 1M ＝22＋（43）2＝2133，MN ＝22＋22＋（13）2＝733，所以该几何体中最长棱的长是733.答案：4373312．解析：作三棱锥P ­ABC 的正视图时，点A 的正投影是D ，点P 的正投影在C 1D 1上，因此三棱锥P ­ABC 正视图的面积S 正＝12×12＝12，作三棱锥P ­ABC 的侧视图时，点A 的正投影是B ，点P 的正投影在C 1B 1上，因此三棱锥P ­ABC 的侧视图的面积S 侧＝12×12＝12，故S 正∶S 侧＝1∶1，三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝16.答案：1∶1 1613．解析：设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8.答案：214．解析：如图所示，在线段DD 1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝13，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝23，故NT ＝2－13－23＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ， 同理在AA 1上靠近A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝13，连接BQ ′，TQ ′，则有BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN 共面， 即Q ′与Q 重合，故AQ ＝13.答案：1315．解析：AB 不动，因为AB ∥CD ，故无论直线DF 运动到哪里，其与CD 的夹角不变，与AB 的夹角也不变为30°.若DF 不动，AB 转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB 转动到BF 的另一侧且与原始位置共面时，若DF 不动，可计算出两者的夹角是10°，若DF 转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为70°，取到最大值．因此，本题正确答案是70°.答案：70° 16.解析：设二面角A ­BD ­C 的平面角为α，如图，取BD 的中点E ，连接AE ，则AE ＝2 3.因为AC →＝AE →＋ED →＋DC →，所以AC →2＝AE →2＋ED →2＋DC →2＋2AE →·ED →＋2ED →·DC →＋2AE →·DC →＝12＋4＋4＋0＋0＋2×23×2×cos(π－α)＝20－83cos α，因为α∈[π6，5π6]，所以cos α∈[－32，32]，所以AC →2∈[8，32]，故线段AC 长度的取值范围是[22，42]．答案：2 2 4 2 17.解析：如图所示，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，因为PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，又△ABC 为直角三角形，所以AD ＝CD ，又PA ＝PC ，所以△APD ≌△CPD ，所以∠CDP ＝∠ADP ＝90°，所以PD ⊥DC .又AB ∩DC ＝D ，则PD ⊥α，PD 为点P 到平面α的距离，又PA ＝7，AB ＝10，所以AD ＝5，PD ＝PA 2－AD 2＝2 6.法一：设点C 到平面PAB 的距离为d ，PC 与平面PAB 所成角的大小为θ，由V P ­ABC ＝V C ­PAB得13PD ·S △ABC ＝13d ·S △PAB ，即13×26×12×6×8＝13d ×12×10×26，所以d ＝245.故sin θ＝d PC ＝2435. 法二：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接PE ，因为PD ⊥α，PD ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面PAB ＝AB ，所以CE ⊥平面PAB ，则∠CPE 为PC 与平面PAB 所成的角，在Rt △ABC 中，易得CE ＝245，所以sin ∠CPE ＝CE PC ＝2435.答案：2 62435小题专题练(五) 解析几何1．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33．已知A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线l ：x ＋2y －4＝0，点P (x 0，y 0)在直线l 上，若存在圆C 上的点Q ，使得∠OPQ ＝45°(O 为坐标原点)，则x 0的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，65B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，85C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，85 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65 7．已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为( )A ．22－2 B.56 C ．3－322D ．23－28．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是抛物线C 的准线与椭圆E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．129．双曲线C 1：x 2m 2－y 2b 2＝1(m ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.12 B ．1 C. 2D ．210．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 11．抛物线y 2＝2x 的焦点坐标是________，准线方程是______________．12．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝2，圆心C 在曲线y ＝1x(x ∈[1，2])上，则ab ＝________，直线l ：x ＋2y ＝0被圆C 所截得的弦长的取值范围是________．13．已知抛物线C ：x 2＝ay (a ＞0)上一点P (2a ，4a )到焦点F 的距离为17，则实数a 的值为________，直线PF 的一般方程为________．14．已知椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________．15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为________．16．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是________．17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 22－y 22＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为________．小题专题练(五)1．解析：选C.直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件a (a －2)＝3，解得a ＝－1或a ＝3，当a ＝3时，两直线重合，所以解得a ＝－1，故选C.2．解析：选 B.由题意及双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6.所以 |PF 2|＝9.3．解析：选C.由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －6m－2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.4．解析：选B.将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．5．解析：选A.由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.6．解析：选B.因为直线与圆有公共点，故由题设|OP |sin 45°≤2，即x 20＋y 20≤4，又y 0＝4－x 02，所以4x 20＋x 20－8x 0＋16≤4×4，即5x 20－8x 0≤0，所以0≤x 0≤85，故选B.7．解析：选A.设直线的倾斜角为θ，根据焦半径的计算知，|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，所以|AF |－2|BF |＝21－cos θ－(1＋cos θ)＝1＋cos 2θ1－cos θ，令t ＝1－cos θ∈(0，2)，则|AF |－2|BF |＝2－2t ＋t 2t ＝t ＋2t －2≥22－2，当且仅当t ＝2t，即t ＝2∈(0，2)取等号，故选A.8．解析：选B.抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以椭圆中c ＝2，又c a ＝12，所以 a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1.因为抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以 x A＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.9．解析：选D.依题意，双曲线C 1中c 2＝m 2＋b 2，椭圆C 2中c 2＝a 2－b 2， 所以a 2－b 2＝m 2＋b 2，即m 2＝a 2－2b 2，所以1e 21＋1e 22＝a 2－2b 2c 2＋a 2c 2＝2a 2－2b 2c 2＝2（a 2－b 2）c 2＝2.。

高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔 〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔 〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种； 〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种； 〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔 〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称 解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。

2020年高考临考押题卷（五）数学（浙江卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．若集合{}2230A x x x =--≤，{2xB x =≥，则A B =I （ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3【答案】A【解析】由题意13{|}A x x =-≤≤，1{|}2B x x =≥， ∴1{|3}2A B x x =≤≤I ．2．已知P 在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线上，则该双曲线的离心率为( )A B ．2C D【答案】D【解析】由双曲线方程为22221x y a b-=(0,0)a b >>，则双曲线的渐近线方程为by x a=±，又P 在双曲线的渐近线上，b =，即22222a b c a ==-， 即223a c =，即3==ce a， 3．已知变量x ，y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．11【答案】D【解析】作出可行域如图所示，122zy x =-+，易知截距与z 成正比的关系，平移直线12y x =-，当直线过(1,5)A 时，截距最大，此时max 12511z =+⨯=. 故选：D4．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的边长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（ ）A ．322B ．40322+C ．1043D ．72【答案】B【解析】22222+=.故几何体的表面积为222662422403222+++⨯⨯=+. 5．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 6．函数()sin 2f x x x x =-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得()()sin 2sin2()f x x x x x x x f x -=----=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，排除C 、D 选项；当πx =时，()2πππ2ππ0f sin =-=>，因此排除B ，故选A ．7．设随机变量X 的概率分布表如下图，则(21)P X -==（ ）X1 2 3 4P1614m13A ．12B ．2C ．12 D ．6【答案】C【解析】由21X -=，可得3x =或1x =. 再由分布列性质可得111116434m ⎛⎫=-++=⎪⎝⎭ 则()()115(21)136412P X P X P X -===+==+=. 8．设,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//m n ，//n β，则//αβ B ．若//m α，m n ⊥，n β⊥，则//αβ C ．若m α⊥，//m n ，//n β， 则αβ⊥ D ．若//m α，m n ⊥，//n β， 则//αβ 【答案】C【解析】如图，,αβ相交，故A 错误如图，,αβ相交，故B 错误D.如图，,αβ相交，故D 错误9．函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e -=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.10．已知数列{}n a 满足：12a =，()()2110,*n n n a S S n N +-∈=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意的n 均有()()()12111n S S S kn ++⋯+≥恒成立，则k 的最大整数值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】当1n ≥时，由条件()()2110,*n n n a S S n N +-∈=+，可得21(1)n n n nS S S S +--=-，整理得221(21)n n n n n S S S S S +-=--+，化简得：121n n n S S S +=-， 从而111n n nS S S +--=-， 故111111n n S S +-=--，由于1111S =-， 所以数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列， 则11n n S =-， 整理得1n n S n+=， 依题只须()()()12111()n minS S S k n+++≤L ，令()()()()12111n S S S f n n+++=L ，则()()()()()121123111n f n n S n n f n n n ++++==>++，所以()f n 为单调递增数列， 故()11()131nin S f n f +===， ∴3max k =， 二、填空题11．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的取值为_______． 【答案】-10【解析】如图建立直角坐标系，由题意得()11,0e =u r，213,2e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u r ，则()1222,3e e +=u u r u r ，12132,222e k ke k ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r r ，所以()()1212121212122cos 2,2222e ke e ke e ke e e e e e e ++++=⋅++⋅u u r u u r u u r u u ru u u r u r u r u r ur u r r u u r 2223544522cos67241343222kk k k k k k π+++===⋅++⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即25402219100kk k ⎧+<⎪⎨⎪+-=⎩，解得10k =-.故答案为：10-.12．已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线:4l y x b =+截抛物线C 所得的弦长为17，设点A为抛物线C 上的动点，点(2,6),B 过点A 作抛物线C 的准线1l 的垂线，垂足为,D 则AB AD +的最小值为__________. 【答案】10【解析】2:2(0)C y px p =>焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线过焦点，故2b p =-，设交点的横坐标分别为12,x x ，2242y px y x p⎧=⎨=-⎩，故22161840x xp p -+=，故1298x x p +=，故1217178x x p p ++==，故8p =，故216y x =. AB AD AB AF BF +=+≤=，当BAF 共线时等号成立.13．已知0a >，函数()([1,2])af x x x x=-∈的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1MN ≤恒成立，则a 的最大值是______.【答案】6+.【解析】因为()([1,2])af x x x x =-∈，0a >， 所以(1,1),(2,2)2aA aB --，所以直线l 的方程为(1)(1)12ay x a =+-+-，设(,)a M t t t -，所以(,(1)(1)1)2aN t t a +-+-，因为1MN ≤恒成立，所以(1)(1)1()12a a t a t t+-+---≤恒成立，所以23212t t at-+≤， 因为2()32g t t t =-+在[1,2]t ∈时小于等于0恒成立，所以23212t t a t-+-≤，①当1t =或2t =时，01≤显然成立； ②当(1,2)t ∈时，2222323t a t t t t --≤=-++-，所以由基本不等式得6a ≤=，此时t =，所以a的最大值为6+，14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A=60°，则sin B=___________，c =___________．【答案】73 【解析】由正弦定理得a sinAb sinB =,所以π,37sinB sin ==由余弦定理得22222,742,3a b c bccosA c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.15．动直线:(12)(1)3(1)0,()l m x m y m m R ++--+=∈与圆22:2440C x y x y +-+-=交于点A B 、，则动直线l 必过定点______；当弦AB 最短时，直线l 的方程为______. 【答案】(2,1)- 10x y +-=【解析】将直线:(12)(1)3(1)0,()l m x m y m m R ++--+=∈，变形可得()2330x y m x y +-+--=，所以直线所过定点满足23030x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 必过定点(2,1)A -；圆22:2440C x y x y +-+-=，化为标准方程可得()()22129x y -++=，设圆心为()1,2C -，当直线与AC 垂直时，解得圆的弦长最短，因为直线AC 的斜率为()12121AC k ---==-，所以直线l 的斜率为1l k =-，因为过定点(2,1)A -，所以由点斜式可得()21y x =---，化简可得10x y +-=；16．()91ax +的二项展开式中系数最大的是第三项，且a N +∈，则a =______，展开式中二项式系数最大的是第______项.【答案】3或4 3和4【解析】由题意()91ax +的二项展开式的通项公式为()9991991rrr r r r r T C ax C a x ---+=⋅=⋅⋅，由第三项的系数最大可得2923939929219199C a C a C a C a ----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩即3684369a a ≥⎧⎨≥⎩，解得2149a ≤≤，又a N +∈，所以3a =或4； 展开式中二项式系数最大的是49C 和59C ，即为第3项和第4项.17．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．【答案】2394【解析】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，则(6,0),(2,0),B E 设(,)P x y ， 由3BP PE ＝得2222(6)3[(2)]x y x y -+=-+， 所以22+12x y =，所以若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为3（2）设点(,,)P x y z ，由3BP PE ＝得222222(6)3[(2)z ]x y z x y -++=-++，所以222++12x y z =，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C 所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC =-=-u u u r u u u u r 设平面1B CF 的法向量为000(,,)n x y z =r ，所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x y n n B C y z ⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩u u u v v v u u u v v ， 由题得(6,3,z)CP x y =--u u u r ，所以点P 到平面1B CF的距离为||||CP n h n ⋅==u u u r r r 因为2222222(++)(111)(),66x y z x y z x y z ++≥++∴-≤++≤，所以min h ==，所以点M 到平面1B CF由题得1B CF ∆=所以三棱锥1M B CF -的体积的最小值为21934. 三、解答题18．设函数2()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期．（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）设,,A B C 为ABC V 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且C 为锐角，求sin A ． 【解析】() 1函数()2π11cos2x 1f x cos 2x sin x cos2x 3222-⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭， 故它的最小正周期为2ππ2=． ()2对于函数()1f x 2=+，令ππ2k π2x 2k π22-≤≤+，求得ππk πx k π44-≤≤+， 可得它的减区间为ππk π,k π44⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．()3ABC V 中，若1cosB 3=，222sinB 1cos B 3∴=-=． 若C 311f sinC 224⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，3sinC ∴=，C Q 为锐角，πC 3∴=． ()ππ22113223sinA sin B C sinBcoscosBsin 3323+∴=+=+=⋅+⋅=． 19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1333DC DD AD AB ====，AD DC ⊥，//AB DC ，E 为DC 上一点，且1DE =.（1）求证：1//D E 平面1A BD ；（2）求二面角1B A D E --的正弦值.【解析】（1）证明：由题意可知，∵//AB DC ，且33DC AB ==，1DE = ∴//AB DE ，AB DE =，故四边形ABED 为平行四边形，∴11////BE AD A D ，11BE AD A D ==，∴四边形11A D EB 为平行四边形，∴11//D E A B ，∵1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，∴1//D E 平面1A BD .（2）由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，且AD DC ⊥，则1,,DA DC DD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()()()()11,0,3,1,1,0,0,0,0,0,1,0B A D E 1B A D E -- 设面1BA D 的法向量为()111,,n x y z =r ，又()()11,1,0,1,0,3DB DA ==u u u r u u u u r 则11111030n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令11z =，可得()3,3,1n =-r ； 设面1EA D 的法向量为()222,,m x y z =u r ，又()()10,1,0,1,0,3DE DA ==u u u r u u u u r 则2122030m DE y m DA x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令21z =，可得()3,0,1m =-u r ， 设二面角1B A D E --的平面角的大小为θ，由图可知θ为锐角， 则10cos 9919119n m n mθ⋅===++⋅+⋅r u r r u r 210319sin 119θ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 二面角1B A D E --319. 20．已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和为n S ，()2n n n S a λ=+（λ为常数）对于任意的*n N ∈恒成立． （1）若11a =，求λ的值；（2）证明：数列{}n a 是等差数列；（3）若22a =，关于m 的不等式21m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【解析】（1）当1n =时，()11112S a a λ=+=，112a a λ∴=+，解得：11a λ==； （2）由（1）知：()()()11221n n n n S n a S n a λλ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩，()1121n n n a n a na λ++∴=+-+，*n N ∈，()()1112121n n n nn n a n a na a na n a λλ++-⎧=+-+⎪∴⎨=--+⎪⎩，则()()11122121n n n n n a a n a na n a ++--=+-+-， ()()()111121n n n n a n a n a +-∴-+-=-，又2n ≥，*n N ∈，10n ∴->，∴112n n n a a a +-+=对任意2n ≥，*n N ∈成立，∴数列{}n a 是等差数列；（3）由（2）可知：21m S m m -<+，即()11212m m ma d m m -+-<+， 即()()12212m m m m m λλ-+--<+，()2312m m m λ⋅∴--<+， 令22t λ-=，题目条件转化为满足不等式()31t m m m -<+的正整数解只有两个， 若1m =符合，则22t <，即1t <；若2m =符合，则23t <， 1.5t <；若3m =符合，则t 为任意实数，即除3m =以外只能有1个m 符合要求.当4m ≥，*m N ∈时，()31tm m m -<+，解得：()13m t m m +<-， 令15x m =+≥，则()()()1143145m x m m x x x x+==----+， 令()45f x x x =-+，则()222441x f x x x-'=-=， 当5x ≥时，()0f x '>恒成立，()f x ∴在[)5,+∞上单调递增，()()min455f x f ∴==，()max 1534m m m ⎡⎤+∴=⎢⎥-⎣⎦， ∴当54t ≤时，至少存在2m =、3、4满足不等式，不符合要求； 当5342t <<时，对于任意4m ≥，*m N ∈都不满足不等式，1m =也不满足， 此时只有2m =、3满足； 当32t ≥时，只有3m =符合； 故5342t <<，即523422λ-<<，解得：112λ-<<-或952λ<<；∴λ的取值范围是191,,522⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U.21．如图,椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，椭圆C上一点P与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为12，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点2F的直线l交椭圆22221x ya b+=于,A B两点,问在x轴上是否存在定点P,使得PA PB⋅u u u v u u u v为定值？证明你的结论.【解析】（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.故椭圆的方程为.（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,,则,,可得.设点,那么, 若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,,当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得, 此时,,,, 综上,在轴上存在定点,使得为定值. 22．已知函数()sin x f x e x =．（e 是自然对数的底数）（1）求()f x 的单调递减区间；（2）记()()g x f x ax =-，若0<<3a ，试讨论()g x 在()0,π上的零点个数．（参考数据：2 4.8e π≈）【解析】（1）()sin x f x e x =，定义域为R ． ()()πsin cos 2sin 4x x f x e x x e x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭． 由()0f x '<解得πsin 04x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得()3π7π2π2π44k x k k Z +<<+∈． ∴()f x 的单调递减区间为()3π7π2π,2π44k k k Z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭． （2）由已知()sin x g x e x ax =-，∴()()sin cos x g x ex x a '=+-．令()()h x g x '=，则()2cos x h x e x '=． ∵()0,πx ∈，∴当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>； 当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， ∴()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 即()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． ∵()01g a '=-，()ππ0g e a '=--<． ①当10a -≥，即01a <≤时，()00g '≥，∴π02g ⎛⎫'> ⎪⎝⎭．∴0π,π2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=， ∴当()00,x x ∈时，()0g x '>；当()0,πx x ∈时，()0g x '<， ∴()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减． ∵()00g =，∴()00g x >．又∵()ππ0g a =-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0,π上仅有一个零点． ②若13a <<时，()010g a '=-<，又∵()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又π2π02g e a ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， ∴1π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，()20g x '=， 且当()10,x x ∈、()2,πx x ∈时，()0g x '<；当()12,x x x ∈时，()0g x '>． ∴()g x 在()10,x 和()2,πx 上单调递减，在()12,x x 上单调递增． ∵()00g =，∴()10g x <． ∵ππ22ππ3π0222g e a e ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >． 又∵()ππ0g a =-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12,x x 和()2,πx 内各有一个零点，即此时()g x 在()0,π上有两个零点．综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0,π上仅有一个零点； 当13a <<时，()g x 在()0,π上有两个零点．。