全称量词引入规则

谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。

基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。

以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。

在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。

绪论单元测试1.A:错B:对答案:B2.Boole中的语句不能粘贴到Fitch中。

（）A:对B:错答案:B第一章测试1.要打开Tarski’s World，点击文件Tarski’s World.exe。

A:对B:错答案:A2.在Tarski’s World中，要打开事先保存的世界文件和语句文件，可以点击File菜单中的Open命令。

A:对B:错答案:A3.在Tarski’s World中，要保存一份世界文件，最安全的命令是Save World 。

A:对B:错答案:B4.在棋盘上放置一个模块，点击工具栏中的（）。

A:New按钮B:Play Game按钮C:Verify按钮D:打印按钮答案:A5.要删除一个世界文件的方法之一是（）。

A:在File菜单中，点击Clear命令B:点击Play Game按钮C:Verify按钮D:点击New按钮答案:A6.当你在语句窗口中，输入的是一个合式公式时，靠近语句标号的左边显示（）。

A:FB:+C:*D:T答案:B7.在Tarski’s World中，模块的大小有（）这几种情况。

A:中B:大C:较小D:小答案:ABD8.在Tarski’s World中，模块的形状有（）这几种情况。

A:立方体B:圆C:十二面球体D:锥体答案:ACD9.在Tarski’s World中，一个模块的名字可以有（）。

A:三个B:一个C:四个D:两个答案:ABCD10.Tarski’s World不允许给一个模块命名多个名字。

A:对B:错答案:B第二章测试1.要打开Fitch，点击文件Fitch.exe.A:对B:错答案:A2.在Fitch中，要打开Fitch练习文件夹中的文件，可以使用File菜单中的Open命令。

A:错B:对答案:B3.在Fitch中，要保存一份已完成的证明，用Save As命令。

A:对B:错答案:A4.在Fitch的一个证明过程中，要在一行的前面增加一行，点击Proof菜单中的（）。

《离散数学》符号表∀ 全称量词（任意量词）∃ 存在量词├ 断定符（公式在L 中可证）╞ 满足符（公式在E 上有效，公式在E 上可满足）┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”（“与”）运算∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的B A ⇔ 命题A 与B 等价关系B A ⇒ 命题A 与B 的蕴涵关系*A 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当V 命题的“不可兼或”运算（ “异或门” ）↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）□ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于（∉不属于）A μ（·） 集合A 的特征函数P （A ） 集合A 的幂集A 集合A 的点数nA A A ⨯⨯⨯ （n A ） 集合A 的笛卡儿积R R R =2 )(1R R R n n -= 关系R 的“复合”0ℵ 阿列夫零ℵ 阿列夫⊇ 包含⊃ 真包含∪集合的并运算 ∩集合的交运算 - （～）集合的差运算 ⊕集合的对称差运算 m + m同余加 m ⨯ m同余乘 〡限制 R x ][集合关于关系R 的等价类 A /R集合A 上关于R 的商集 )(A R π集合A 关于关系R 的划分 )(A R π集合A 关于划分π的关系 ][a元素a 产生的循环群 R a ][元素a 形成的R 等价类 r C由相容关系r 产生的最大相容类 I环，理想 )/(n Z模n 的同余类集合 )(mod k b a ≡a 与b 模k 相等 )(R r关系R 的自反闭包 )(R s关系R 的对称闭包+R ，)(R t 关系R 的传递闭包*R ，)(R rt 关系R 的自反、传递闭包.i H 矩阵H 的第i 个行向量j H . 矩阵H 的第j 个列向量CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）A I ，0R 恒等关系A 集合A 的补集X X 所有X 到自身的映射X Y 所有从集合X 到集合Y 的函数)(][A A K 集合A 的势（基数）R 关系r 相容关系 R 否关系R 补关系1-R （c R ） 逆关系S R 关系R 与关系S 的复合n nR R R R ,关系R 的n 次幂 r rB B B 222,⨯⨯ 布尔代数2B 的r 次幂 r B 2 含有r 2个元素的布尔代数domf 函数f 的定义域（前域）ranf 函数f 的值域Y X f →： （Y X f −→−） f 是X 到Y 的函数 ),(y x GCD y x ,最大公约数),(y x LCM y x ,的最小公倍数e 幺元θ 零元1-a 元素a 的逆元)(Ha aH H 关于a 的左（右）陪集)(f Ker 同态映射f 的核（或称f 的同态核）A ，B ，C 合式公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 二项式系数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p n n n n ,,,21 多项式系数[1，n] 1到n 的整数集合)1()1(][+--=k x x x x k)1()1(][-++=k x x x x kk nC 组合数 ),(v u d 点u 与点v 间的距离)(v d 点v 的度数)(v d + 点v 的出度)(v d - 点v 的入度),(E V G = 点集为V ，边集为E 的图G 图G 的补图G G '≅ 图G 与图G '同构*G 平面图G 的对偶图W(G) 图G 的连通分支数)(G κ 图G 的点连通度)(G λ 图G 的边连通度)(G δ图G 的最小点度 )(G ∆图G 的最大点度 A(G)图G 的邻接矩阵 P(G)图G 的可达矩阵 M(G)图G 的关联矩阵 n Kn 阶完全图 m n K ,完全二分图 C复数集 N自然数集（包含0在内） +N正自然数集 P素数集 Q有理数集 +Q正有理数集 -Q负有理数集 R实数集 Z整数集 m Z]}[,,]2[,]1{[m Set集范畴 Top拓扑空间范畴 Ab交换群范畴 Grp群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

第3节全称量词与存在量词知识梳理1.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.2.全称命题和特称命题1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.3.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题.()(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题.()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.()(4)“长方形的对角线相等”是特称命题.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R，x2－ax＋1≥03.命题“对于函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题(填“真”或“假”).答案真解析当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数.4.(多选题)(2021·济南调研)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A.∃x0∈R，x20－x0＋14＜0B.所有的正方形都是矩形C.∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案AC解析由条件可知：原命题应为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.5.(2020·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.6.若命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，－1]解析命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1].考点一含有一个量词的命题的否定1.已知命题p：“∃x0∈R，e x0－x0－1≤0”，则綈p为()A.∃x0∈R，e x0－x0－1≥0B.∃x0∈R，e x0－x0－1＞0C.∀x∈R，e x－x－1＞0D.∀x∈R，e x－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，e x－x－1＞0”，故选C.2.(2021·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.3.(2021·山东重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则綈p为()A.∀f(x)∈A，|f(x)|∉BB.∀f(x)∉A，|f(x)|∉BC.∃f(x)∈A，|f(x)|∉BD.∃f(x)∉A，|f(x)|∉B答案C解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论.∴綈p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.4.若命题p的否定是“对所有正数x，x＞x＋1”，则命题p是________________.答案∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1感悟升华 否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.考点二 全称命题、特称命题的真假判断【例1】 (1)(多选题)(2021·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是( ) A.∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0B.∃x 0∈(0，1)，log 12x 0＞log 13x 0C.∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12xD.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜log 13x(2)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x ，使x 2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x ，使1x ＞2 答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立，故A 是假命题；对于B ，当x ＝12时，有1＝log 1212＝log 1313＞log 1312成立，故B 是真命题；对于C ，当0＜x ＜12时，log 12x ＞1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，故C 是假命题；对于D ，∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1＜log 13x ，故D 是真命题.(2)A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x ＜0，不满足1x ＞2，所以D 是假命题.感悟升华 判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练1】 (1)(多选题)下列命题中是真命题的有( ) A.∀x ∈R ，2x －1＞0 B.∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C.∃x 0∈R ，lg x 0＜1 D.∃x 0∈R ，tan x 0＝2(2)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ) A.∀x ∈R ，f (－x )≠f (x ) B.∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x ) C.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0) D.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 (1)ACD (2)C解析 (1)当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 为假命题，其余都是真命题，故选ACD. (2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例2】 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为________.(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)(－∞，－2] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析 (1)由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2. (2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14.感悟升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.【训练2】 (1)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________.(2)(2020·潍坊调研)若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈ [－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)1 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，得1≤tan x ＋2≤2＋ 3.∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1.∴实数m 的最大值为1.(2)由于函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集.函数f (x )的值域是[－1，3]，因为a ＞0，所以函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.A 级 基础巩固一、选择题1.命题p ：“∀x >1，x 2－1>0”，则綈p 为( ) A.∀x >1，x 2－1≤0 B.∀x ≤1，x 2－1≤0 C.∃x 0>1，x 20－1≤0D.∃x 0≤1，x 20－1≤0答案C解析命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为：∃x0>1，x20－1≤0.2.(多选题)(2020·重庆质检)下列命题中是真命题的有()A.∃x0∈R，log2x0＝0B.∃x0∈R，cos x0＝1C.∀x∈R，x2＞0D.∀x∈R，2x＞0答案ABD解析因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题；02＝0，选项C为假命题；2x＞0，选项D为真命题.3.下列命题是真命题的为()A.所有的素数都是奇数B.∀x∈R，x2＋1≥0C.对于每一个无理数x，x2是有理数D.∀x∈Z，1x∉Z答案B解析对于A，2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C假；对于D，1∈Z，但11＝1∈Z，D假，故选B.4.已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是()A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0答案C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0，故选C.5.(多选题)(2021·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有()A.任意x∈R，3x>0B.存在x∈R，x2＋x＋1≤0C.任意x ∈R ，sin x <2xD.存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1 答案 AD解析 ∀x ∈R ，3x >0恒成立，A 是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴B 是假命题.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π＝1>2－32π，知C 是假命题.取x ＝－12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，则D 为真.6.已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4)答案 D解析 因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题.则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.7.已知函数f (x )＝x 12，则( ) A.∃x 0∈R ，f (x 0)＜0 B.∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0 C.∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0D.∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)＞f (x 2) 答案 B解析 幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C 错误；D 选项中当x 1＝0，结论不成立.8.(2020·江南十校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A.p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B.p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C.p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin x <1，tan x >1.此时sin x －tan x <0，故命题p 为真命题.由于命题p 为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题， 则綈p 为：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0. 二、填空题9.命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0”的否定是________. 答案 ∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤010.下列命题中的假命题是________(填序号).①∃x 0∈R ，lg x 0＝1；②∃x 0∈R ，sin x 0＝0；③∀x ∈R ，x 3＞0；④∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2. 答案 ③解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x ＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x ＜0时，x 3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2，则④为真命题.11.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.12.能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.答案 f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2)解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).B 级 能力提升13.命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *，且f (n 0)≤n 0”的否定形式是( ) A.∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B.∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 B解析 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *且f (n 0)≤n 0”的否定形式是“∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n ”. 14.(多选题)(2021·青岛质检)下列说法正确的是( ) A.“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件B.定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最大值为30C.命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x ＞2”D.“所有的分数都是有理数”的否定是“有的分数不是有理数” 答案 ABD解析 由x ＝π4，得tan x ＝1，但由tan x ＝1不一定推出x ＝π4，可知“x ＝π4”是 “tan x ＝1”的充分不必要条件，所以A 正确；若定义在[a ，b ]上的函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 是偶函数，则⎩⎨⎧a ＋5＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝5，则f (x )＝x 2＋5，其在[－5，5]上的最大值为30，所以B 正确；显然C 错误，D 正确.15.若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________.答案 (－∞，22]解析 若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题， 即“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ＞2x 0＋1x 0成立”是假命题， 则“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 成立”是真命题， x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，当x 0＝22时，2x 0＋1x 0取最小值22， 故实数λ的取值范围为(－∞，22].16.已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.。

第5章一阶逻辑等值演算与推理主要内容1. 等值式与基本的等值式①在有限个体域中消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式2. 基本规则①置换规则②换名规则③代替规则3. 前束范式4. 推理理论①推理的形式结构②推理正确③构造证明④新的推理规则全称量词消去规则，记为UI全称量词引入规则，记为UG存在量词消去规则，记为EI存在量词引入规则，记为EG学习要求1. 深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。

2. 熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。

3. 准确地求出给定公式的前束范式（形式可不唯一）。

4. 正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。

5. 对于给定的推理，正确地构造出它的证明。

5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B是等值的。

记做A B，称A B是等值式。

谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。

下面主要讨论关于量词的等值式。

一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。

例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。

又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。

第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x) (5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。