山东省枣庄市2021届新高考第二次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线()2
:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，
(1,2)Q ，若
111||||4
AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设直线AB 的方程为2
p y kx =+
，代入22x py =得：22
20x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()
2||21AB p k =+，同理可得2
1
||2(1)CD p k =+
，再利用111||||4
AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】
根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2
p
，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2
p y kx =+
，代入22x py =得：22
20x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2
A B x x p =-，
所以(
)2
||21AB p k
=+.
又直线CD 的方程为12p y x k =-
+，同理21||2(1)CD p k
=+， 所以22111111
1||||2(1)24
2(1)AB C p k p k
D p +=+==
++，
所以24p =.故2
4x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.
所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.
2．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象
限，若弦AB 的长为25
4
，则AF BF =（ ） A ．2或
1
2
B ．3或
13
C ．4或
14
D ．5或
15
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】
设直线的倾斜角为θ，则22
2425
cos cos 4
p AB θθ=
==， 所以216cos 25θ=，2
219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4
θ=±，
所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为3
14
y x =+，
联立243
1
4x y
y x ?=?
?=+??，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，
4AF BF =或1
4
.选C. 【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.
3．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
由两直线垂直求得则0a =或3a =，再根据充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】
由题意，“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直” 则(1)2(2)0a a a ++?-=，解得0a =或3a =，
所以“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 4．将函数()sin 3y x ?=+的图象沿x 轴向左平移9
π
个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=?”
是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出?的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】
将函数()sin 3y x ?=+的图象沿x 轴向左平移
9
π
个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππ????????
=++=++ ? ?????????
，
若函数()y f x =为偶函数，则()3
2
k k Z π
π
?π+=+
∈，解得()6
k k Z π
?π=+∈，
当0k =时，6
π=?. 因此，“6
π
=?”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.
5．已知集合A ＝{y|y =
}，B ＝{x|y ＝lg （x ﹣2x 2
）}，则?R （A∩B ）＝（ ）
A ．[0，1
2） B ．（﹣∞，0）∪[1
2
，+∞） C ．（0，1
2
）
D ．（﹣∞，0]∪[
1
2
，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】
求函数的值域得集合A ，求定义域得集合B ，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【详解】 集合A ＝
{y|y =
}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）
； B ＝{x|y ＝lg （x ﹣2x 2）}＝{x|x ﹣2x 2＞0}＝{x|0＜x 1
2＜}＝（0，
12
）， ∴A∩B ＝（0，
12
）， ∴?R （A∩B ）＝（﹣∞，0]∪[1
2
，+∞）. 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.
6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）
（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112
n
n ?
?- ?-???=--，解出即可得出． 【详解】
由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1
113,122n n n n a b --??=?=? ???
据题意得：131212212112
n
n ?
?- ?-???=--， 解得2n ＝12，
∴n 122
lg lg =
=23
2lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为9
8
，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30
C ．31
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】
设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98
， 即有a 4+a 7=
94
， 即16q 3+16q 6，=9
4
，
解得q=1
2
（负值舍去），
则有S 5=
(
)
5
111a q q
--=
511612112
?
??- ?
??-=1． 故选C ． 【点睛】
本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 8．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x
时，函数()f x =
若
111,,223??????
==-=- ? ? ???????
a f
b f
c f ，则,,a b c 大小关系是（ ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】A
【解析】 【分析】
由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论. 【详解】
对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-， 因为函数()f x 关于点(1,0)对称，
当1x ≥时，()f x =
所以()f x 在定义域R 上是单调增函数. 因为111232-
<-<，所以111232??????-<-< ? ? ???????
f f f ， b c a <<.
故选:A. 【点睛】
本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题.. 9．已知命题p ：,x R ?∈使1
sin 2
x x <
成立． 则p ?为（ ） A ．,x R ?∈1
sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ?∈1
sin 2x x <
均成立 C ．,x R ?∈使1
sin 2
x x ≥成立
D ．,x R ?∈使1
sin 2
x x 成立 【答案】A 【解析】
试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ?,sin 2
x x x ?∈≥R ． 考点：全称命题.
10．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22?列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:
得到正确结论是( )
A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 【答案】B 【解析】 【分析】
通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【详解】
解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.
11．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）
A ．
16
37
B ．
949
C ．
937
D ．
311
【答案】C 【解析】 【分析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】
因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，
五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ??+++=， 所以此点取自朱方的概率为9
37
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 12．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1
B ．结余最高的月份是7月份
C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D 【解析】
由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；
1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；
前6个月的平均收入为1
(406030305060)456
+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02
x
f x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 【答案】,2π??
-+∞????
【解析】 【分析】
构造函数()()cos 2
x
g x f x =-
，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】
依题意，()()()cos cos 22
x x
f x f x --
=--+
， 令()()cos 2
x
g x f x =-
，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '??''=-=+
?，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022
x x
f x f x f x f x πππ+++≤?+-
+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ?++≤?+≤-=-，即x x π+≥-，故2
x π
≥-
，则x 的取值范围
为,2π??
-
+∞????
. 故答案为：,2π??-+∞????
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
14．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()
3
,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：
①22
3a =；②313
a =；③
4
1
65
27
i i a ==
∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】
先利用导数求得曲线3
y x =在点(
)
3
,n n a a 处的切线方程，由此求得1n a +与n a 的递推关系式，进而证得数列
{}n a 是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.
【详解】
∵2'3y x =，∴曲线3
y x =在点()
3
,n n a a 处的切线方程为()32
3n n n y a a x a -=-，
则()3
2
13n n n n a a a a +-=-.
∵0n a ≠，∴12
3
n n a a +=
， 则{}n a 是首项为1，公比为2
3
的等比数列，
从而223a =，349a =，4
412165322713
i i a =??- ???=
=-
∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】
本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前
n 项和公式，属于基础题.
15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()0,5，点B 是直线l ：1
2
y x =
上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l
所截得的弦长为B 的坐标__________． 【答案】()6,3 【解析】 【分析】
依题意画图,设0001,
,02B x x x ??
> ???
,根据圆的直径AB 所对的圆周角为直角,
可得AC =
通过勾股定理得AB =再利用两点间的距离公式即可求出06x =,进而得出B 点坐标.
【详解】
解:依题意画图,设0001,
,02B x x x ??
> ???
以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为BC ,
且BC =又因为AB 为圆的直径,则AB 所对的圆周角90ACB ∠=, 则AC CB ⊥, 则AC 为点()0,5A 到直线l ：12
y x =的距离. 所以
AC =
=
则
AB ==
=又因为点B 在直线l ：1
2
y x =
上, 设001,2B x
x ?? ??
?,则AB ==解得06x =,则()6,3B .
故答案为: ()6,3
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系,考查了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题. 16．在23
(
)n x x
+的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于_______． 【答案】15 【解析】 【分析】
利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项. 【详解】
因为23n
x x ??+ ???
的二项展开式中，所有项的系数之和为4n =1024, n=5, 故5
23x x ??+ ???
的展开式的通项公式为T r+1=C ·
35-r 5102r x -,令51002r -=,解得r=4,可得常数项为T 5=C ·3=15,故填15. 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．设函数(
)2
()11x
f x e
e
kx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线
2(2)0e x y +-=平行.
（1）求k 的值；
（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立. 【答案】（1）1k =（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求导得到222
(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得答案.
（2）变形得到-2
(1)1ln x
e e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，求导得到函数单调区间得到
22()()1h x h e e --≤=+，2()(0)(1)F x F e ->=+，得到证明.
【详解】
（1）2
()(1)x
f x e e k -'=++，222
(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得1k =.
（2）()()f x g x >得-2(1)1ln x e e x x x ++->-，变形得-2(1)1ln x
e e x x x +>--，
令函数()1ln h x x x x =--，()2ln h x x '=--，令2ln 0x --=解得2x e -=， 当2
(0,)x e -∈时()0h x '>，2
(,)x e -∈+∞时()0h x '<.
∴函数()h x 在2(0,)e -上单调递增，在2(,)e -+∞上单调递减，∴22()()1h x h e e --≤=+，
而函数-2
()(1)x
F x e e =+在区间(0,)+∞上单调递增，∴2
()(0)(1)F x F e ->=+，
∴2()(0)(1)()1ln F x F e h x x x x ->=+≥=--，即2(1)1ln x e e x x x -+>--，
即2(1)1ln x
e e x x x -+-+>-，∴()()
f x
g x >恒成立.
【点睛】
本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力. 18．已知函数()ln a f x x a x =+-，11||()2x a a a x
g x x e
--+=+?，()a R ∈ （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 在定义域内有且仅有一个零点，且此时()()f x g x m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，0a >时，()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞上递增．（2）
(,1]-∞-．
【解析】 【分析】
（1）求出导函数()f x '
，分类讨论，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；
（2）由(1)0f =，利用（1）首先得0a ≤或1a =，求出()()f x g x -的最小值即可得结论． 【详解】
（1）函数定义域是(0,)+∞，
221()a x a f x x x x
-'=
-=，
当0a ≤时，()0f x '>，()f x 单调递增；
0a >时，令()0f x '=得x a =，0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，x a >时，()0f x '>，()f x 递
增，
综上所述，0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，0a >时，()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞上递增． （2）易知(1)0f =，由函数单调性，若()f x 有唯一零点，则0a ≤或1a =．
当0a ≤时，1()a g x x -=
，1
()()ln f x g x x a x
-=+-， 从而只需0a =时，()()f x g x m -≥恒成立，即1
ln m x x
≤+， 令1
()ln h x x x
=+
，22111()x h x x x x -'=-=，()h x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，
∴min ()(1)1h x h ==，从而1m ． 1a =时，1
()x x g x e -=
，1
()ln 1f x x x
=+
-， 令11()()()ln 1x x t x f x g x x x e -=-=+
--，由21211111()(1)()x x x x t x x x e x e
----'=-=-+，知()t x 在(0,1)递减，在(1,)+∞上递增，min ()(1)1t x t ==-，∴1m ≤-． 综上所述，m 的取值范围是(,1]-∞-． 【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．这又可通过导数求解．
19．已知()0,2P -，点,A B 分别为椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一
点,Q ABP ?为等腰直角三角形，且:3:2PQ QB =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设过点P 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，总使得MON ∠为锐角，求直线l 斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）2
14x y +=；（Ⅱ）2,2??-? ? ?????
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意可知：由3
2
PQ QB =
，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线2y kx =-，代入椭圆方程，由韦达定理，由>0?，由MON ∠为锐角，则0OM ON >，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围． 【详解】
解：（Ⅰ）根据题意ABP ?是等腰直角三角形 2a ∴=，
()20B ∴,，
设()
,Q Q Q x y 由:3:2PQ QB = 得3
2
PQ QB =
则65
45Q Q x y ?=???
?=-??
代入椭圆方程得21b =
∴椭圆E 的方程为2
14
x y +=
（Ⅱ）根据题意，直线l 的斜率存在，可设方程为2y kx =- 设()()1122,,M x y N x y
由22
214
y kx x y =-???+=??得()
221416120k x kx +-+= 由直线l 与椭圆E 有两个不同的交点则>0? 即()(
)2
2
16412140k k --??+>
得2
34
k >
又122
12216141214k x x k x x k ?
+=??+?
?=
?+?
∠MON 为锐角则cos 0MON ∠> 121200OM ON x x y y ∴?> ∴+>
()()()()2121212121212221240x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++>
即(
)2
22121612401414k
k
k k k +-+>++
24k ∴< ②
由①②得
22k <<
或22
k -<<-
故直线l
斜率可取值范围是2,2??
-? ? ?????
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12
PF F △
O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.
【答案】（1）22143x y +=；
（2）当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
的距离为定值7
. 【解析】 【分析】
（1）12PF F △的面积最大时，P
是短轴端点，由此可得bc =222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；
（2）在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元（y ）后应用韦达定理得
1212,x x x x +，注意>0?，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ?
面积最大，所以
122c b bc ??==
2221
2bc c a a b c
?=?
?=??=+??
，解得21
a b c =??=??=? 所以椭圆方程为22
143
x y +=．
（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+
，原点到此直线的距离为d =22
21m
d k =+， 由2214
3y kx m
x y =+???+=??，得222(34)84120k x kmx m +++-=，
2222644(34)(412)0k m k m ?=-+->，2243m k <+，
所以122834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k
-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
222222
2
222
4128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k
--+=+?-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2
212(1)7m k =+，22
21217m d k ==+
，7
d = 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2
127x =
，7
d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
的距离为定值7
. 【点睛】
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式． 21．已知函数()ln 2ln 35f x x x x x =-+-，22()ln x a a
g x x x x
-=+
+. （1）求证：()f x 在区间(1,)+∞上有且仅有一个零点0x ，且037,24x ??
∈
???
； （2）若当1x ≥时，不等式()0g x ≥恒成立，求证：494
a <. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用求导数，判断()f x 在区间(1,)+∞上的单调性，然后再证37(),()24
f f 异号，即可证明结论；
（2）当1x ≥时，不等式()0g x ≥恒成立，分离参数只需1x >时，2(ln 2)
1
x x a x +≤-恒成立，
设2(ln 2)
()1
x x h x x +=-（1x >），需min 49()4a h x ≤<，根据（1）中的结论先求出min ()h x ，再构造函数结
合导数法，证明min 49
()4
h x <即可. 【详解】
（1）22
()1ln 3ln 4f x x x x x
'=+-
+=-+， 令()()f x m x '=，则2
12
()0m x x x '=
+>， 所以()()m x f x '=在区间(1,)+∞上是增函数，
则()(1)2f x f ''>=，所以()f x 在区间(1,)+∞上是增函数. 又因为3131ln 02222f ??=--<
???
， 717117ln 1ln 0444444f ??
??=-+=-> ? ???
??，
所以()f x 在区间(1,)+∞上有且仅有一个零点0x ，且037,24x ??
∈
???
. （2）由题意，22()ln 0x a a
g x x x x
-=+
+≥在区间[)1,+∞上恒成立， 即2
(1)(ln 2)x a x x -≤+在区间[
)1,+∞上恒成立， 当1x =时，a ∈R ；
当1x >时，2(ln 2)
1x x a x +≤-恒成立，
设2(ln 2)
()1
x x h x x +=-（1x >），
所以2
2
[(2)ln 35]()
()(1)(1)x x x x x f x h x x x -+-?'=
=--. 由（1）可知，37,24m ??
?∈
???
，使()0f m =， 所以，当(1,)x m ∈时，()0h x '<，当(,)x m ∈+∞时，()0h x '>， 由此()h x 在区间(1,)m 上单调递减，在区间(,)m +∞上单调递增，
所以2min
(ln 2)
()()1
m m h x h m m +==
-.
又因为()(2)ln 350f m m m m =-+-=，
所以53ln 2m m m -=-，从而2
min ()()2m h x h m m
==-，
所以22m a m ≤-.令2
()2m h m m
=-，37,24m ??∈ ???，
则22
4()0(2)m m
h m m -+'=
>-， 所以()h m 在区间37,24??
???
上是增函数， 所以749
()44h m h ??<= ???
，故49()4a h m ≤<. 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 22．已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-a
g x x x x
，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.
（1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值
（3
）证明
()*
1
1
ln(21)2
=>
+∈n
k n n N
【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）
由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()2
20000ln 20x x x x a --+=，联立解方程
组可得结果；（3）由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+
ln x >，取*21,21k x k N k +=
∈-
ln(21)ln(21)k k >+--
，而=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.
【详解】
（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '
=--，
令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x
-=
，由()'0h x =，可得1x =，
可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：
()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；
（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x
'
=-
-， 由已知得()'0g x =，即2
0002ln 0x x x a --=，①
由()02g x =可得，()2
2
0000ln 20x x x x a --+=，②
联立①②，消去a ，可得()2
0002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2
()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)
'()2x x x t x x x x
--=-
-=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增， 注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，
01,1x a ∴==；
（3）证明：由（1）知()2
2ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，
故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，222
2ln 1()1
()0x x x f x g x x x '
---==>，
可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，
因此，当1x >时，()()12g x g >=，即2
1(ln )2x x
x +->，亦即2
2(ln )x >，
0,ln 0x
>>ln x >，取*21
,21k x k N k +=∈-，
ln(21)ln(21)
k k >+--=，
故
11
(ln(21)ln(21))ln(21)n
k n
k k k π==>+--=+∑
1
1
ln(21)()2
n
i x n N *=∴>+∈.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 23．已知函数()x f x e =.
（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若对任意的m ∈R ，当0x >
时，都有2
12()1m f x x ??
+>- ???
恒成立，求最大的整数k .
（参考数据：
1.78≈）
【答案】（1）y ex =（2）2 【解析】 【分析】
（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程. （2）对m 分成，0,0m m =≠两种情况进行分类讨论.当0m ≠时
，将不等式
212()1m f x x ??+>- ???
转化为2112()f x x m
-+>，构造函数1()2()h x f x x =+，利用导数求得()h x 的最小值（设为a
）的取值范围，由2
1
a m
->
的得210am -+>在m ∈R 上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得k 的取值范围. 【详解】
（1）已知函数()x
f x e =，则(1,(1))f 处即为(1,)e ， 又()x
f x e '=，(1)k f e '==，
可知函数()x
f x e =过点(1,(1))f 的切线为(1)-=-y e e x ，即y ex =.
（2）注意到0x >，
不等式2
12()1m f x x ??
+
>- ???
中，