差比型数列的裂项求和法

差比型数列的裂项求和法

差比型数列的求和是数列的重点内容之一，也就是形如B n=a n b n，其中{a n}为等差数列，{b n}为等比数列。现在已知B n=a n b n，求B n的前n项和S n。

因为a n为等差数列，所以可以设a n=dn+e，b n=b1p n。则B n=(dn+e)b1p n.现在学夫子要告诉你的是，Bn可以配成下面的形式：

一旦能配成此形,则S n=f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+……+f(n)-f(n-1)=f(n)-f(0),这样就不必涉及到复杂的运算了，直接到位。那么，问题就是如何配成裂项的形式了。我们先要注意的是f(n)的结构与a n的结构是一样的，都是一次多项式与指数函数的乘积，记住这一点，我们就有了明确的目标。下一步就是确定里面的两个参数r和s的值了。

将配成后的B n展开，与题目给出的式子对照，对应系数相等即可求出r和s。这也是我们经常在配凑法里确定参数的方法。

实际上可以看出来，这个方程组很简单的，第一个就直接求出r，带入第二个就求出s，这样就配出了我们的差比型，不过计算后可以发现，要想能够顺利解出r和s，必须要保证p≠1.所以这是一种特殊的情况，不过当p=1的时候，也就没那么复杂，直接等差数列求和公式搞定。不过对于平时的做题，我们完全可以采用偷懒的方法解出r和s。那就是特殊值法，还是以一道题作为例子吧！

例:已知a n=3n(2n+1),求a n的前n项和S n.

设a n=f(n)-f(n-1),f(n)=3n(rn+s).

a1=f(1)-f(0)=3(r+s)-s=2s+3r=9

a2=f(2)-f(1)=9(2r+s)-3(r+s)=15r+6s=45

联立方程求得r=3,s=0,所以a n=f(n)-f(n-1),f(n)=3n(3n)

从而S n=f(n)-f(0)=3n(3n)

经检验，此结论和我们用错位相减法得出的结果是一样的，并且不用检验n=1的时候。因为这是自然成立的。此解法相对于错位相减法来说，唯一的不足就是一开始有点“霸王硬上弓”的味道，但是计算过程却显得简单许多。

最后我还想借此谈谈对裂项求和本质的看法。

我们通过裂项求和，就是想把一个a n分解成an=f(n)-f(n-k)的形式，然后相加后就消除许多中间项。而在我们的数列中有现成的例子：a n=S n-S n-1，所以，如果你成功滴将an分解成a n=f(n)-f(n-1)的形式，那么S n和f(n)之间就只相差一个常数而已，你可以设S n=f(n)-k，然后取n=1即可求出k。实际上我们知道这个k就是f(0).

对于数列求和问题，建议你看一下下面两篇文章，里面提到了一些常用的方法及需要注意的问题最后来几道题大家自己练习一下吧，彻底掌握这种方法：