高中数学 3.3 几何概型学案 苏教版必修3

1 3.3 几何概型

学习目标 重点难点

1．知道几何概型与古典概型的区别．

2．理解几何概型的定义及其特点．

3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率. 重点：会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．

难点：理解几何概型的定义及其特点.

1．几何概型

设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．

预习交流1

几何概型的概率计算与构成事件的区域形状、位置有关吗？

提示：几何概型的概率只与它的测度(长度、面积、体积等)有关，而与构成事件的区域形状、位置无关．

2．几何概型的计算公式及特点

(1)几何概型的特点：①在每次试验中，不同的试验结果有无穷多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．

(2)几何概型的概率计算公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)＝d的测度D的测度(d⊆D)．

预习交流2

(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，x2≤14的概率为__________．

(2)如图的矩形，长为2米，宽为1米．在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．据此可以估计出图中阴影部分的面积为__________．

(3)如图所示，有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏时规定：当指针指向B区域时，甲获胜；否则，乙获胜．在两种情形下甲获胜的概率分别为__________．

提示：(1)12 (2)2325 (3)12，35

2

一、长度型几何概型

一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看见下列两种情况的概率各是多少？

(1)红灯；

(2)黄灯．

思路分析：解答本题的关键是将基本事件的全部及事件A所包含的基本事件转化为相应区间的长度．

解：到达路口的每一时刻都是一个基本事件，且是等可能的，基本事件有无穷多个，所以这是几何概型问题．总的时间长度为30＋5＋40＝75秒，设看到红灯为事件A，看到黄灯为事件B，

(1)出现红灯的概率为：

P(A)＝构成事件A的时间长度总的时间长度＝3075＝25.

(2)出现黄灯的概率为：

P(B)＝构成事件B的时间长度总的时间长度＝575＝115.

1．两根电线杆相距100 m，若电线遭受雷击，且雷击点距电线杆距离为10 m之内时，电线杆上的输电设备将受损，则遭受雷击时设备受损的概率为__________．

答案：15

解析：距电线杆10 m的线段有两处，左右各一段，遭受电击的线段长为20 m．故所求概率为20100＝15.

2．一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，求某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率．

解：如图所示，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，则△ABC的周长为3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则++3+2+11++122DEFGMNPABCCAAB.

3．取一根长度为3 m的树干，把它锯成两段，那么锯得两段的长都不小于1 m的概率有多大？

解：从每一个位置锯断都是一个基本事件，锯断位置可以是长度为3 m的树干上的任意一点，基本事件有无限多个，是几何概型问题．如图所示，记“锯得两段树干长都不小于1

m”为事件A，把树干三等分，于是当锯断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于树干长的13，于是事件A发生的概率P(A)＝构成事件A的树干长度总的树干长度＝13.

(1)几何概型概率计算的基本步骤是：①判断是否为几何概型．尤其要注意判断等可能性；②计算所有基本事件的“测度”与事件A所包含的基本事件对应的区域的“测度”(如长度、面积、体积、角度等)；③代入几何概型的概率计算公式进行计算． 3 (2)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d.在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．

二、面积型几何概型

取一个边长为2a的正方形及其内切圆、外接圆，随机向外接圆内丢一粒豆子，求豆子落入图内4个白色区域的概率．

思路分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入外接圆内任一点都是机会均等的，于是豆子落入图内4个白色区域的概率应等于4个白色区域的面积和与外接圆面积的比．

解：记“豆子落入4个白色区域”为事件A，则由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入外接圆内任一点都是机会均等的，于是豆子落入图内4个白色区域的概率应等于4个白色区域的面积和与外接圆面积的比．即

P(A)＝4个白色区域的面积和外接圆的面积

＝正方形的面积－内切圆的面积外接圆的面积＝4a2－πa2π(2a)2＝4－π2π.

1．如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架蕴藏着石油．假如某投资公司在此海域里随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是__________．

答案：11 250

解析：由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率等于贮藏石油的海域面积与整个海域面积之比，即P＝4050 000＝11 250.

2．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为__________．

答案：π16

解析：D区域：2,2xy形成面积为42的正方形区域，E区域：x2+y2≤1形成面积为π的圆形区域．如图所示．

记P(A)为事件“落入E中”的概率，则P(A)=π16.

3．如图，矩形花园ABCD中，AB为4米，BC为6米，一只小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率是多少？ 4

解：矩形面积为：4×6=24(米2)，阴影部分面积为：12×4×6=12(米2)，P(小鸟落在阴影区)= 121=242.

(1)几何概型要求每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的测度(长度、面积、体积)为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．

(2)解与面积有关的几何概型问题的关键是：

①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；

②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．

三、体积型几何概型

已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，求使得VP－ABC＜12VS－ABC的概率．

思路分析：解答本题时可先找出满足条件的点P的位置，再用几何概型求概率．

解：∵VP－ABC=13S△ABC·h，

VS－ABC=13S△ABC·3，

∴当32h时，

VP－ABC＜12VS－ABC，

即点P的位置应该在中截面的下方(不妨设中截面为面A′B′C′)，据比例的性质可知

31128SABCSABCVV，

根据几何概型的概率计算公式，所以所求概率为78SABCSABCSABCVVV.

1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD 5 的体积小于16的概率为__________．

答案：12

解析：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1.

设M－ABCD的高为h，

则13×SABCD×h＜16，

又SABCD=1，

∴h＜12，即点M在正方体的下半部分，

∴所求概率1122VPV正方体正方体.

2．有一杯1升的水，其中漂浮有1个被核污染的微生物，用一个小杯从这杯水中随意取出0.1升，求这一小杯水中含有这个微生物的概率．

解：总的基本事件为杯中水的体积，事件A包含的基本事件为取出水的体积，所以小杯水中含有这个微生物的概率为

P(A)＝构成事件A的水的体积总的水的体积＝0.11＝110.

3．如图，在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．

解：在AB上取AC′=AC，

则∠ACC′=180452=67.5°.

设A={在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM＜AC}．

则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，∴P(A)=67.53=904.

(1)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．

(2)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么我们就要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出构成事件A的区域体积及试验的全部结果构成的区域体积．

(3)解决此类问题的关键是事件A在区域角度、区域体积内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的，从而可以用几何概型的概率公式求解．

1．(2012湖北高考改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径 6 作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是__________．

答案：1－2π

解析：设OA=OB＝2R，连接AB，如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S阴影＝14π(2R)2－12×(2R)2＝(π－2)R2，S扇＝πR2，故所求的概率是(π－2)R2πR2＝1－2π.

2．面积为S的△ABC中，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为__________．

答案：12

3．在边长为2的正方体内任取一点，则该点在正方体的内切球内的概率为__________．

答案：π6

解析：记“该点落入内切球内”的事件为A，则P(A)＝内切球体积正方体体积＝4π3·1323＝π6.

4．在长为4米的绳子上任取一点剪开，则使两段绳子的长度一段大于3米，一段小于1米的概率是__________．

答案：12

解析：如图，显然当剪断点在AB或CD上时满足条件“一段大于3米，一段小于1米”，∴P(“一段大于3米，一段小于1米”)＝AB＋CDAD＝24＝12.

5．在区间(0,3)内随机地取一个数，则这个数大于2的概率为多少？

解：几何区域D为区间长度，所以这个数大于2的概率为大于2的区间长度与总区间长度之比，即P＝3－23＝13.