线性代数习题二答案

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1. 241110331032350382AB，

110020130350011361BC，

2410204222323032011091AC.

2.由32AXB可得

341231010283211153312111125211222234221171157115222XAB.

3. 由22422243ababcdcd可得，

24222423ababcdcd

解方程组可得0,2,1,2abcd.

4.设ijmnAa，当kAO时，由零矩阵定义，有0ijka,则0k或0ija，

即0k或AO.

5．（1）323122382031237243181141142184011437813203515112581051137402.

（2）1311113213804220142232701371021310.

（3）13121110132101312111013210321023222120264203332313039630.

（4）1132211322151.

（5）210112113121121111120101321101

325.

（6）111211222211121122221212111aabxxxyaabyaxaybaxaybbxbycybbc

111211222212axaybxaxaybybxbyc

2212111222222cbxbyaxaxyay.

6．21010101121A，

3210101021131AAA，

因此，我们猜测101nAn，下面用归纳法证明：

当1n时成立；

假设当1n时成立，则

110101010111111nnAAAnnn，

因此101nAn.

7．（1）设cossinsincosA，

则2cos2sin2sin2cos2A，3cos3sin3sin3cos3A，

因此，我们猜测cossinsincosnnnAnn，下面用归纳法证明：

当1n时成立；

假设当1n时成立，则

1cos1sin1cossinsin1cos1sincosnnnnAAAnn

cos1cossin1sincos1sinsin1cossin1coscos1sinsin1sincos1cosnnnnnnnn

cossinsincosnnnn，

因此cossinsincosnnnAnn.

（2）设142032043A，则2100010001A，

所以2100010001kA，21142032043kA，

即122111012111022121nnnnnnnA.

（3）设1111111111111111A，则

241111111140001111111104004111111110040111111110004AE，

所以244kkAE，2111111111411111111kkA.

（4）

1112233111121311112233112233212223313233()()()()TTTTTTTTnTnnnTnabababababababababababababababababab

8, （1）设矩阵11122122xxBxx与矩阵A可交换，

则112112222122xxxxABxx，111112212122xxxBAxxx，

由ABBA得

210x，1122xx.

（2）设矩阵111213212223313233xxxBxxxxxx与矩阵A可交换，

则212223313233000xxxABxxx，111221223132000xxBAxxxx，

由ABBA得

2131320xxx，112233xxx，1223xx

9. 设矩阵

111213212223313233xxxBxxxxxx与矩阵A可交换，

则111213212223313233axaxaxABbxbxbxcxcxcx，111213212223313233axbxcxBAaxbxcxaxbxcx，

由ABBA得

2131321213230xxxxxx，

即与A可交换的矩阵必为对角距阵.

10. 因为ATA 所以

(PTAP)TPT(PTA)TPTATPPTAP，

从而PTAP是对称矩阵.

11. 证明

充分性 因为ATA BTB 且ABBA 所以

(AB)T(BA)TATBTAB

即AB是对称矩阵

必要性 因为ATA BTB 且(AB)TAB 所以

AB(AB)TBTATBA.

12.（1）因为ABBA，

所以222222ABAABBABAABB，得证.

（2）因为ABBA，

所以右边2222AABBABAB左边，得证.

（3）因为ABBA，

所以1pppABABABABABABABABABABABABABAB

1222ppAABABABABABABBABABABABAB

23223311ppppppAABABABABBAABABABABBAABBAB；

如果ABBA，则上述等式不成立.

13, 1001A

14, 充分性：因为2BE，

所以22111222442ABEBEBEBA；

必要性：因为2AA，

所以22111222442ABEBEBBE，

整理得2BE.

15, 因为A是反对称矩阵，B是对称矩阵，

所以TAA，TBB，

（1）22TTTAAAAAA，

即2A是对称矩阵.

（2）TTTTTTTABBAABBABAABBAABABBA，

即ABBA是对称矩阵.

（3）充分性：因为ABBA，

所以TTTABBABABAAB，

即A是反对称矩阵；

必要性：因为A是反对称矩阵，

所以TTTABBABABAAB，

即ABBA.

16,

设111211112222121121111121nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaAaaaaaaaa，

则2A主对角线上的元素分别为22221112111nnaaaa，22221222212nnaaaa，…，2222121nnnnnnaaaa，又因为2AO，

所以

222211121110nnaaaa，222212222120nnaaaa，…，

22221210nnnnnnaaaa，

解得11121222320nnnnaaaaaaa，

即AO.

17.设

111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa，则112111222212mmTnnmnaaaaaaAaaa，

222111212222122222212nTnmmmnaaaaaaAAaaa

因为TAAO，

则222111210naaa，222212220naaa，…，222120mmmnaaa，

所以1112121222120nnmmmnaaaaaaaaa，

上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案

第一章行列式

1.1 计算以下排列的逆序数，判别其奇偶性。

（1） 365247；（2） 5216743；（3） 7654321；（4） 12)1(⋅−⋅Lnn

；

（5） 24)22()2()12(531⋅−⋅⋅−⋅⋅LLnnn。

1.2 选择与，使下列排列（1）成为奇排列；使（2）成为偶排列。 ik

（1） 75132⋅⋅⋅⋅⋅⋅ki

；（2） 76532⋅⋅⋅⋅⋅⋅ki

。

1.3 写出把排列 1356742 变换成排列 4132567 的对换。

1.4 分别写出4级行列式和5级行列式中所有带有负号且包含因子的项。

2312aa

1.5 按定义计算下列行列式的值。

（1）

121051103

−−

，（2）

4030021001011002

−

，（3）

000100002000010

LLLLLLLLL

nn−。

1.6 按定义写出行列式

xxxxx

111123111212

−

中与的系数。 4

1.7 按定义说明级行列式

λλλ

−−−

nnnnann

aaaaaaaaa

LLLLLLL

22222111211

是一个关于 λ

的

次多项式。n

1.8 计算下列行列式的值。

（1）

3621

−；（2） |2|−

；（3）

biaibbia

−+

；上海财经大学

《线性代数》分章节习题及答案（4）

λλ

−−−

1132

；（5）

θθθθ

sincoscossin

−；（6）

θθθθ

sin0cos010cos0sin

−；

（7）

691051203

−

；（8）

142151322

−−−−

；（9）

5142022000120003

−−−

；

（10）

2000130021403121

；（11）

5142122000120023

−−

；（12）

3242402052121303

−−−

；

（13）

1012002110052014

−−−−

；（14）

dcba

000000000000

。

1.9 利用行变换把下列行列式化至上三角行列式，进而计算出行列式的值。

《线性代数》同济大学第四版课后答案

《线性代数》同济⼤学第四版课后答案

线性代数同济⼤学第四版课后答案习题⼀

习题⼀1-5 SslO(3)

1 1 1 a

b c a2 b2 c2

^c^+cc^+ab^-ac^-bc^-cb2 -(a-b)(b-c)(c-a).

(4)

X v X+ V

解v x+ V X

■

:v+v * V

⼆MvH") i+i:论+i ')+(.r+v) VX-1'34-C T+I)3-.T32

解逆序数为4: 4h 43, 42. 32，3

解逆序数为5: 3 2.3 L 42. 4 1,2 L4

L利⽤对⾓线法则计算下列三阶⾏列式:

2 0 1

-18 3

(1) 1

(1)

■

⽅

沪=3.n (.Y+>)-i^3- 3.T2

=-2(.?+V^

⼯按⾃然数从⼩到⼤为标准次序.求下列各排列的逆序数：(1)1 23 4

(2)4 13 2

(3)34 2 1

(4)24 1 3

(5)1 3 …(2沪1) 2 4 …O);

(6)1 3 ?… (⼒—1) (2?z) (2n-2)…* ⼯

（1）

解逆序数为0

解逆序数为3: 2 1.4 1.4 3-(5)

解逆序数为观驴：32(1 个)

5 2,5 4(2 个)

7 2, 7 4. 7 6(3 个)

(”1)2, 011)4, (”1)6,…为(”1)(”2) (n-1 个)

(6)

解逆序数为乃(『Li):32(1 个)

5 2,5 4(2 ^t) (2n-1)2, (2n-l)4, (”1)6,…、(2/L1)(2/L2)(n-l

个)42(1 个)

6 2,6 4(2 个)

(5)2, (2M)4, (2n)6,…,(2n)(2n-2) (n-1个)

3.写出四阶⾏列式中含有因⼦GU723的项.

解含因⼦①畑的项的⼀般形式为(-])%的冰X町

其中帀是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因⼦a^a23的项分别是(-1 )衍1似23他刃44⼆(⼀1 )^11^32^44=-^!凶曲的轴(⼀1 )%1攸曲琢也⼫(T )%1⼝滋34偽⼫&1也刃曲42?

（完整版）数值线性代数答案

习题1

１．求下三⾓阵的逆矩阵的详细算法。

[解] 设下三⾓矩阵L的逆矩阵为T

我们可以使⽤待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：注意到

我们只需运⽤算法1·1·1，逐⼀求解⽅程

便可求得

[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：

算法（求解下三⾓矩阵L的逆矩阵T，前代法）

３．证明：如果是⼀个Gauss变换，则也是⼀个Gauss变换。

[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下⾯我们只需证明它是Gauss 变换的逆矩阵。事实上注意到，则显然有从⽽有

４．确定⼀个Gauss变换L，使

[解] ⽐较⽐较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第⼆⾏加上第⼀⾏的2倍；使向量的第三⾏加上第⼀⾏的2倍。于是Gauss变换如下

５．证明：如果有三⾓分解，并且是⾮奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯⼀的。

[证明]设，其中都是单位下三⾓阵，都是上三⾓阵。因为A⾮奇异的，于是

注意到，单位下三⾓阵的逆仍是单位下三⾓阵，两个单位下三⾓阵的乘积仍是单位下三⾓阵；上三⾓阵的逆仍是上三⾓阵，两个上三⾓阵的乘积仍是上三⾓阵。因此，上述等将是⼀个单

位下三⾓阵与⼀个上三⾓阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，从⽽

即A的LU分解是唯⼀的。

17．证明定理1·3·1中的下三⾓阵L是唯⼀的。

[证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主⼦式均⾮零，因此A⾮奇异。为证明L的唯⼀性，不妨设有和使那么注意到：和是下三⾓阵，和为上三⾓阵，故它们的逆矩阵也分别是下三⾓阵和上三⾓阵。因此，只能是对⾓阵，即从⽽于是得知

19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主⼦阵正好是A的i阶顺序主⼦阵的Cholesky因⼦。

[证明] 将A和L作如下分块

其中：为矩阵A和L的i阶顺序主⼦阵。。显然

故有。即是的Colicky分解。

23．设

⽤平⽅根法证明A是正定的，并给出⽅程组的解。

《线性代数》课后习题答案

第一章行列式

习题1.1

1. 证明：（1）首先证明)3(Q是数域。

因为)3(QQ，所以)3(Q中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Qbaba，我们有

3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211baabbbaabababbaabababbaababa。

因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以

)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211QbaabbbaababaQbbaababaQbbaababa。

如果0322ba，则必有22,ba不同时为零，从而0322ba。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以

)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Qbabaabbabbaababababababa。

综上所述，我们有)3(Q是数域。

（2）类似可证明)(pQ是数域，这儿p是一个素数。

（3）下面证明：若qp,为互异素数，则)()(qQpQ。

（反证法）如果)()(qQpQ，则qbapQba,，从而有

qabqbapp2)()(222。

由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有02qab。

所以有0a或0b。

如果0a，则2qbp，这与qp,是互异素数矛盾。如果0b，则有ap，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。

所以假设不成立，从而有)()(qQpQ。

同样可得)()(pQqQ。

（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q和之间存在无穷多个不同的数域。

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