线性代数模拟题二答案

1 线性代数 试题 班级 姓名 学号 第 1 页 线性代数模拟题（二）答案

题目 一 二 三 四 五 六 总分数

分数

评卷人

一、 判断题（正确画“ √ ”，错误画“×”）（每题2分，共10分）

（ √ ） 1. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵。

（ × ） 2. 若向量组的秩为r，则向量组中任意1r个向量线性无关。

（ √ ） 3. 任意两个行列式都可以相乘。

（ × ） 4. 设A，B是n阶方阵，则222ABAB。

（ × ） 5. 若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。

二、 填空题（每空3分，共30分）

1．已知4阶行列式1124307115392680D，则11121314539MMMM的值为 0 ，其中Mij为D的第i行第j列元素的余子式。

2．已知3阶矩阵A的行列式2A，则12A 4 ，*A 4 。

3．已知4元齐次线性方程组0Ax的通解为1210011001xkk，则0Ax的系数矩阵A的秩为 2 ，0Ax的一个基础解系为1001,1001。

4．已知非齐次线性方程组的增广矩阵为B=221002101100001010001kkkk，则当k0时方程组无解；当k1时方程组有无穷解。

5．可逆矩阵的列向量组的线性相关性为 线性无关 。

6．已知101010011A的3个特征值为123,,，则123 1 ，A的3个特征值的乘积为123 -1 。 2 三、 计算题（本题共2小题，每题10分，共20分）

1. 已知矩阵201021,112101AB，1221C。

（1）试指出下列运算哪个有定义（即运算可以进行），哪个没有定义：（3分）

,2,ABBCC（表示矩阵C的行列式）；

（2）求矩阵2TBA。（4分）

（3）求矩阵C的逆矩阵。（3分）

解：1）运算C有定义；„„„„„„„„„（1分）

运算,2ABBC没有定义。„„„„„„„„„（2分）

（2）210422,01,20212TBA„„„„„„„„„（2分）

21042282012026212TBA。„„„„„„„„„（2分）

（3）12521C，*1221C，„„„„„„„„„（2分）

所以*1121215CCC。„„„„„„„„„（1分）

2．已知矩阵11111011212324435175A，记矩阵A的5个列向量分别为12345,,,,。

（1）求矩阵A的秩；（6分）

（2）求矩阵A的列向量组12345,,,,的秩和一个最大无关组。（4分）

解：（1）利用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵：

1111111111011210112101022001010224200000A„„„„„„„„„（4分）

从而矩阵的秩为3。„„„„„„„„„（2分）

（2）矩阵A的列向量组12345,,,,的秩为3，„„„„„„„„„（2分）

矩阵A的列向量组12345,,,,一个最大无关组为123,,。„„„„„（2分） 3 线性代数 试题 班级 姓名 学号 第 2 页 四、 计算题（本题共2小题，每题10分，共20分）

1. 已知实二次型123(,,)fxxx的矩阵为200032023A。

（1）写出123(,,)fxxx的一般形式；（2分）

（2）求矩阵A的特征值；（4分）

（3）判定二次型123(,,)fxxx是否是正定的，说明理由。（4分）

解：

1）123(,,)fxxx的一般形式为：22212312323(,,)2334fxxxxxxxx。

„„„„„„„„„„（2分）

2）200||032(2)(1)(5)023AE，„„„„„„„„（3分）

所以矩阵A的特征值为1232,1,5。„„„„„„„„（1分）

3）方法一：（特征值判别法）

由于A的特征值为1232,1,5，均大于零。„„„„„„„（2分）

从而A是正定的，故二次型是正定的。„„„„„„„„„„（2分）

方法二：（顺序主子式判别法）

矩阵A的各阶顺序主子式为：20020220;60;03210003023，

„„„„„„„（2分）

所以矩阵A是正定的，故二次型是正定的。„„„„„„„„„„（2分） 4 2. 已知非齐次线性方程组如下：

124123412341234212412253620xxxxxxxxxxxxxxx。

（1）写出方程组的增广矩阵B；（2分）

（2）用初等行变换将矩阵B化为行最简形矩阵；（4分）

（3）求该非齐次线性方程组的通解和一个特解。（4分）

解：

1） 方程组的增广矩阵为12011241111221536120B。„„„„„„„„„（2分）

2） 对增广矩阵B做初等行变换，化为行最简形矩阵：

1201112011001130011300226000000011300000B。„„„„„（4分）

3） 与原方程组同解的方程组为：

12434213xxxxx，„„„„„„„„„（1分）

于是可得方程组的通解为

12121234211100,,013010xxkkkkRxx。„„„„„（2分）

方程组的一个特解为1030。„„„„„„„„„„„„„（1分） 5 线性代数 试题 班级 姓名 学号 第 3 页 五、 计算题（本题10分）

已知矩阵001111100A的三个特征值为1231,1。

（1）求A的全部特征向量；（7分）

（2）求可逆矩阵P使得1100010001PAP。（3分）

解：（1）当121时，()0AEx，即123101010101010xxx。„„„（1分）

从而有123101000000000xxx，所以12121230110,,01xxkkkkRx。„„„（2分）

故A的属于121的全部特征向量为12121230110,,001xxkkkkx不同时为。

„„„„„„„„„„„（1分）

当31时，()0AEx，即123101012101010xxx。„„„„„„„（1分）

从而有123101001100000xxx，所以1233311,1xxkkRx。„„„„„„„（1分）

故A的属于31的全部特征向量为3111k，30k。„„„„„„„„（1分）

（2）以A的三个线性无关的特征向量0111,01011，构造矩阵P，即011101011P可得1100010001PAP„„„„„„„„„„„„„（3分） 6 六、 综合题（本题共2小题，每题5分，共10分）

1. 已知12310522,1,6,10286aaab。

证明：向量b能由向量组123,,aaa线性表示。

证：对矩阵123105221610286Baaab进行初等行变换化为阶梯形矩阵：105210520143014302860000B。„„„„„（3分）

显然123123(,,)(,,,)RaaaRaaab，所以向量b能由向量组123,,aaa线性表示。

„„„„„（2分）

注：此问题可转化后证明：b能由123,,aaa线性表示112233xaxaxab有解。

2. 两种常见的早餐麦片A和B每份食用量包含的热量（卡路里）、蛋白质（克）、碳水化合物（克）与脂肪（克）如下表所示：

营养素 每份食物营养素含量

麦片A 麦片B

热量（卡路里） 110 130

蛋白质（克） 4 3

碳水化合物（克） 20 18

脂肪（克） 2 5

现欲将上述两种麦片混合得到混合物C，要求C含热量295卡路里，9克蛋白质，48克碳水化合物和8克脂肪。

1）试建立这个问题的向量方程；（3分）

2）写出与向量方程等价的矩阵方程。（2分）

解：（答案不唯一，可以有其他表示形式）

向量方程：12110130295439201848258xx；„„„„„（3分）

矩阵方程：12110130295439201848258xx。„„„„„（2分）