第二章数学模型作业与习题解答
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第二章数学模型作业与习题解答
2-1试建立图2-55所示各系统的动态方程，并说明这些动态方程之间有什么特点。图中电压 U 和位移X1为输入量，电压U2和位移X2为输出量；k、k1和k2为弹性系数；f为阻尼器的阻尼 系数。
题解2 -1(a)
U2(s) s _ RCs U1 (s) s 1 RCs 1 RCk
-o-^XAA
解:
U2 1 — 1 匚.idt U"它 u
u2 = iR = i U2
R
丄
RC U2 {ay
id) (/)
Q- -Q 3
题2 -1(c)图及题解2 -1(c)图
R C 3(s) "(s) 竽 Uc(s)
R2
U2(s) _ R2(RQS 1)
lh(s) R1 R2 R2R1CS
(R R2)U2 RR2CU2 二 RRQCUJ Ru
1^1 R2 1 ul2 u2 =u1 U|
RC题2 -1(b)图及题解 2-1(b)图
X1(s) _ fs + k -
j £ Ls+1 k
A *
—II— c s k X2(s) fs _
R2 R2
Ui(S) 書)•亠-
R CS R| CS ■ 1
R +丄 CS
题2 -1(d)图及题解2 -1(d)图
fX2 k1x2 k2x2 =k1x1 fX1
U2G)= R2 CS
U1(S) R R2 CSki
屜(s) _ fs k1 一 s + 1 匕 +k2 ^k1
X (S) fs k「k2 k1 k2 S 1
题2 -1(e)图及题解2-1(e)图 ------------ rd4
—
fl 1c=
U2(s) R2 (R1CS +1)
RI R2 R1R2CS
(d) 0
R2CS 1
(R1 ROCS 1 £
-o- 2
(/) /l/l/l/
帀 花 也■—1
题2 -1(f)图及题解2—1(f)图
k2 X2 风厂sf+k2
k2x2 +&X2 =匕为 +k2x3
k2 k2)x2 -k2 - x2 = k1x1 sf +k2
(k1 k2)sf k1 k2
sf +k2
x2 _ k( (sf k2)
x (k| k2)sf k1k2 k2s 1
jfs 1 krk2
2-2.图2-56所示水箱中，Q1和Q2分别为水箱的进水流量和用水流量， 被控量为实际水面高度
H。试求出该系统的动态方程。假设水箱横截面面积为 C，流阻为R。
图2-訂习题2-3團 图2-苗 习题2-21图 2
1 解：H = g -Q2)dt C L
Q2 =a Ha――系数，取决于管道流出侧的阻力，消去中间变量 Q2，可得
C dH a . H： =Qi dt
假定系统初始处在稳定点上，这时有： Q10 =Q20 =Q0, H =H0，当信号在该点附近小范
Q2 =Q0 LQ2
H =H0 H
Qi 二 Qo g
H =R：Q
dt
有时可将厶符号去掉，即CRdH H =RQ dt
H (s) R
Q^s) CRs 1
2-3求图2-57信号x(t)的象函数X(s)。
解：
X (s) = 2 s s
(b) X(s)= o X(t)e4sdt
to 4s
0 td (e )
0 e抿dt 戶 s 4s to
0
S ts I od(e ) 围变化时，可以认为输出 R与输入H的关系是线性的,
LQ2 dQ2
dH H =Ho
*0
1
dQ2 dH
H^o
Q仝0 2Ho
Qo _________ 流阻
1 lt e±s 二toe
1
—2 (1 ~'t°s)e s
2-4.用拉氏变换求解下列微分方程(假设初始条件为零)
1. Tx(t) x(t) = r(t)
其中 r(t)分别为：-(t) , 1(t)和 t • 1(t)。
2. x(t) x(t) x(t)=、⑴
3. x(t) 2x(t) x(t) =1(t)
解：
1.Tx(t) x(t)寸(t)
1
T
s 1
T
1 -t
X(t)〒T
X(t) =1 _e T
1 r(t)珂 1(t) , R(s) 2 s1
s 」e」s s t0
(c) 0 x(t)= 4 4 h〒(t - 4
宀)
X(s) T^(1-2e 厂 eJs)
T s 1
~2 _to s
X(s) = 1
Ts -1 R(s)
r(t) =1(t)
X(s)二 s(Ts 1) 1 R(s) = s
1 s -s
_ T s s 1 s(s T)s
1
x(s)£i s2(s 1 1
s —s -TT . s(s T-)
J.t
x(t) =t _T(1_eT )
2-5. 一齿轮系如图2-58所示。乙、乙、Z3 A ==
和乙分别为齿轮的齿数；Ji、J2和J3分别表示
传动轴上的转动惯量； y、①和二3为各转轴的
角位移；Mm是电动机输出转矩。 试列写折算到
电机轴上的齿轮系的运动方程。 4
解: M1 Z1
M3
M4
d r2
d r2
dl M2 Z2
Z3
M m 一 M1
M4 = J3
Mm =M1
ZL(Z1 乙(Z4 M1 知2皿 Z2
Z1^1
Z2
dt
d r2
dt
dt
Jid^
dt Z2 M2
M4 J2 dt Z3
J1
1 dt 弓
Z2
dt Z1
弓(M3 J
Z 2 2 dt dt
dt dt
咤號吨）2号
dt
「(纠孕2」2(?)2 Ji］彗二 Mm
Z 2 Z 4 Z 2 dt
2-6系统的微分方程组如下：
Xi ⑴二 r(t) -c(t) ni(t)
X2(t) =KiXi(t)
X3 (t) = X2 (t) - X5 (t)
T-dX4 = X3(t) dt
X5(t) =X4(t) - 心门2。)
其中Ko*、a、T均为大于零的常数。试建立系统的结构图，并求传递函数鵲、
C(s)
N2(S)
解:
求 令叫(s) =0,N2(s) =0 R(s)
消去中间变量，得
C(s) _ KoKi
R(s) _ s(s i)(Ts i) KoKi
求 UTT 令 R(s) "NG) =0 Ni(s)
消去中间变量得
C(s) _ K°Ki
Ni (s) s(s i)(Ts i) KoKi K°X5(t) d2c dc
C(s)
Ni(s)
为⑴=r(t) -c(t) ni(t)
X2 = Ki Xi
X3 二 X2 _X5
dX4 _ T X3 dt
X5 7 - K2n2
K0X5 d2c dc
----- 十 ------
dt2 dt Xi(s^R(s)-C(s) Ni(s)
X2(s)二 KiXi(s)
X3G)必⑸必⑸
X4 iX3 Ts
X5 =X4 -K2N2(S)
C(s) =4X5 s +s
