第二章 控制系统的数学模型习题及答案

第二章 控制系统的数学模型习题及答案

2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。其中电压)(tur和位移)(tx为输入量；电压)(tuc和位移)(ty为输出量；R（电阻），C（电容），k（弹性系数），和f（阻尼系数），均为常数。

解：

（a）应用复数阻抗概念可写出

)()(11)(11sUsIcsRcsRsUcr （1）

2)()(RsUcsI （2）

联立式（1）、（2），可解得： CsRRRRCsRRsUsUrc212112)1()()(

微分方程为: rrccuCRdtduuRCRRRdtdu121211

（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有

)()(111dtdydtdxfxxk （1）

对B点有

ykdtdydtdxf21)( （2）

联立式（1）、（2）可得：

dtdxkkkykkfkkdtdy2112121)(

2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

解：

(a) 取A、B两点分别进行受力分析，

如图解所示。对A点有

)()()(1122yyfyxfyxk (1)

对B点有

1111)(ykyyf (2)

对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量1y，整理后得

)()(sXsY = 21212121221212212121()1()1ffffsskkkkfffffsskkkkk21221221221211221221kks)kfkfkf(sffkks)kfkf(sff

(b) 由图可写出

sCRsUc221)(

=

sCRsCRsCRsUr111112111)(

整理得

)()(sUsUrc = 1)(1)(21221122121221122121sCRCRCRsCCRRsCRCRsCCRR

比较两系统的传递函数，如果设112211221,1,,,RkRkCfCf则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。

2-3 求下图所示各有源网络的传递函数)()(sUsUrc。 解： (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出12)()(RRsUsUrc

(b)

sCR)sCR1)(sCR1(sC1RsC1RsC1R)s(U)s(U212211111122rc

(c) )1(11)()(212122CsRRRRCsRCsRsUsUrc

2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 tteetc221)(，试求系统的单位脉冲响应和传递函数。

解

t2te4edt)t(dc)t(k

)2s)(1s(23s1s12s4)]t(k[L)s(

2-5 系统传递函数2s3s2)s(R)s(C2，试求初始条件为1)0(c、0)0(c时系统在输入)t(1)t(r作用下的输出)t(c。

解： 得时，由)t(2r)t(2c)t(c3)t(c0)0(c,1)0(c

)s(2R)s(2C)0(3c)s(3sC)0(c)0(sc)s(Cs2

代入初始条件得：2s21s4s1)2s)(1s(s3ss2)s(C2

2tt2e4e1)t(c 2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数)s(Q)s(Qrc。

解： 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数

68.0s)K42.018.1(s)K7.09.0(s)6.0s(7.0)s(Q)s(Q23rc

2-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)s(R)s(C。

解： 系统结构图如下：

利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为

84321743215436324321GGGGGGGGGGGGGGGG1GGGG)s(R)s(C

2-8 试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数)s(R)s(C。

解： （a）

)()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111sXsGsCsGsGsCsXsXsXsGsXsGsXsCsGsGsGsRsGsX

所以：

43213243214321GGGGGGGGGG1GGGG)s(R)s(C

（b）

所以： HG1GG)s(R)s(C221

（c）

所以：

3213221321GGGGGGG1GGG)s(R)s(C

2-9 试用梅逊增益公式求下图中各系统的闭环传递函数。

解： （a）图中有1条前向通路，4个回路

1GGGGP143211，

)LLLL(1HGGLHGGGGLHGGGLHGGL43212434443213332121321，，，，

243443213321132432111HGGHGGGGHGGGHGG1GGGGP)s(R)s(C

（b）图中有4条前向通路，5个回路

，，，，1242321211GGPGPGGPGP

，，，，，2151242321211GGLGGLGLGGLGL

，，)LLLL(1143214321 44332211PPPP)s(R)s(C

2121212121122211122211GG3GG1GGGG2GGGGGGGG1GGGGGG

（c）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

，，，，1234213211L1GGP1GGGP

，，，3232321211HGLHGLHGGL

，21321LL)LLL(1

213213223121121343212211HHGGGHGHGHGG1)HGG1(GGGGGPP)s(R)s(C

2-10 已知系统的结构图如下，图中)(sR为输入信号，)(sN为干扰信号，试求总输出C(s)。

解：（a）令0)s(N，求 )s(R)s(C。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。

，，，，HG1L1GGP1GGP2123121211

，，，31321221GGLGGLHGL

，31321LL)LLL(1

则有 HGGGGGGGHG1)HG1(GGGGPP)s(R)s(C32131212231212211

令0)s(R，求 )s(N)s(C。有3条前向通路，回路不变。

，，，，1GGGPL11P22142111

，，133143L1GGGP，31321LL)LLL(1

HGGGGGGGHG1)HG1(GGGGGGHG1PPP)s(N)s(C3213121223142142332211HGGGGGGGHG1)]HG(1GGGGGGHG1)[s(N)]HG1(GGGR(s)[G)s(C321312122314214223121（b）令0)s(N0)s(N21，，求 )s(R)s(C。图中有1条前向通路，1个回路。

，，，，1111L12s)1s(K2L12sKsP

则有 )1K(2s)1K2(KsP)s(R)s(C11

令0)s(N0)s(R2，，求 )s(N)s(C1。图中有1条前向通路，回路不变。

，，1sP11则有 )1K(2s)1K2()2s(sP)s(N)s(C111

令0)s(N0)s(R1，，求 )s(N)s(C2。图中有1条前向通路，回路不变。

12sK2P11，则有 )1K(2s)1K2(K2P)s(N)s(C112

1)2(k1)s(2k)s(2kN)s(N)2s(sksR(s))s(C21

（c）令0)s(N，求 )s(R)s(C。图中有3条前向通路，2个回路。

，，，，，，1GGGP1GGP1GGP3421324321421

，，，)LL(1GGLGGL21432421

则有

43424214342332211GGGG1GGGGGGGPPP)s(R)s(C

令0)s(R，求 )s(N)s(C。有1条前向通路，回路不变。

，，1GP141 则有

4342411GGGG1GP)s(N)s(C

434244214342GGGG1G)s(N]GGGGGGG)[s(R)s(C

2-11 )s(RHGHGHHHGGGHGHG1GHHHGG)HG1(G)s(Y33113213213311112334331