人教A版数学高二选修2-1学案1.1第2课时四种命题及四种命题间的相互关系

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精心校对完整版 第2课时

四种命题及四种命题间的相互关系

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P4～P8的内容，回答下列问题．

观察教材P4“思考”中的4个命题：

(1)这4个命题的条件和结论各是什么？

提示：命题(1)的条件：f(x)是正弦函数，结论：f(x)是周期函数；命题(2)的条件：f(x)是周期函数，结论：f(x)是正弦函数；命题(3)的条件：f(x)不是正弦函数，结论：f(x)不是周期函数；命题(4)的条件：f(x)不是周期函数，结论：f(x)不是正弦函数．

(2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间有什么关系？

提示：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题(3)的条件的否定和结论的否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条件的否定．

(3)根据上述四种命题的概念，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

提示：命题(2)(3)互为逆否命题；命题(2)(4)互为否命题；命题(3)(4)互为逆命题．

2．归纳总结，核心必记

(1)四种命题的概念

①互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

②互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

(2)四种命题结构

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精心校对完整版 (3)四种命题间的相互关系

(4)四种命题的真假性

一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题

真 真 真 真

真 假 假

真

假

真 真 假

假 假 假 假

由于逆命题和否命题也互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

[问题思考]

(1)命题“若a≠0，则ab≠0”的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？

提示：逆命题：若ab≠0，则a≠0；否命题：若a＝0，则ab＝0；逆否命题：若ab＝0，则a＝0．

(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？

提示：不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式．

(3)如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？

提示：一定为真命题，因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．

(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？

提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4．

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点．

(1)四种命题的概念是：

；

(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？

； 高中数学-打印版

精心校对完整版 (3)四种命题的真假性有什么关系？

．

讲一讲

1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：

(1)若x>－2，则x＋3>0;

(2)两条对角线相等的四边形是矩形．

[尝试解答] (1)逆命题：若x＋3>0，则x>－2；

否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；

逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2.

(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．

逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；

否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；

逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．

写出一个命题的其他三种命题的步骤

(1)分析命题的条件和结论；

(2)将命题写成“若p，则q”的形式；

(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．

[注意] 如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

练一练

1．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：

(1)正数的平方根不等于0；

(2)若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0.

解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；

否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；

逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数． 高中数学-打印版

精心校对完整版 (2)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0(x，y∈R)；

否命题：若x2＋y2≠0(x，y∈R)，则x，y不全为0；

逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0(x，y∈R)．

[思考1] 若原命题为真，则它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？

名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的逆命题、否命题的真假性．

[思考2] 若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？

名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性．

讲一讲

2．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；

(2)相等的两个角的正弦值相等；

(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3;

(4)若x∈A，则x∈A∩B.

[尝试解答] (1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.真命题；

否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B，真命题；

逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.真命题．

(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；

否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；

逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题． (3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；

否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；

逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．

(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；

否命题：若x∉A，则x∉A∩B.真命题；

逆否命题：若x∉A∩B，则x∉A.假命题．

判断一个命题的真假，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，尤其是当命题本身不易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．

练一练

2．有下列四个命题： 高中数学-打印版

精心校对完整版 (1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；

(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

(4)“对顶角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：选B (1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．

3．在命题“若a>－3，则a>－6”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．

解析：容易判断，命题“若a>－3，则a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若a≤－3，则a≤－6”，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题．

答案：2

[思考] 我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？

名师指津：可以通过证明它的逆否命题为真命题来解决．

讲一讲

3．(1)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．

(2)(链接教材P7－例4)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

[尝试解答] (1)法一：原命题的逆否命题：

“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．”

真假判断如下：

因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

若a<1，则4a－7<0.

即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集． 高中数学-打印版

精心校对完整版 故原命题的逆否命题为真．

法二：先判断原命题的真假．

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

所以a≥1.所以原命题成立．

又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(2)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

∵当a＋b<0时，a<－b，b<－a，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

练一练

4．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．

由于m＋n>2，则m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2，

所以m2＋n2≠2.

故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲2.

(2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题，见讲3.

3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．