2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题(解析版)
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第 1 页 共 14 页 2021-2022学年江苏省南通市重点中学高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．设x、yR，向量,1,1ax，1,,1by，3,6,3c且ac，//bc，则ab（ ）
A．22 B．23 C．4 D．3
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x、y的值，求出向量ab的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为ac，则3630acx，解得1x，则1,1,1a，
因为//bc，则136y，解得2y，即1,2,1b，
所以，2,1,2ab，因此，4143ab.
故选：D.
2．3245AC（ ）
A．9 B．12 C．14 D．4
【答案】C
【分析】利用排列数公式可组合数公式可求得结果.
【详解】324554AC432142.
故选：C.
3．对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（ ）
A B C
A．22种 B．18种 C．12种 D．6种
【答案】C
【分析】根据染色的规则排列组合即可.
【详解】先给A选色，有13C 种方法；
再给B选色，有12C 种方法； 第 2 页 共 14 页 再给C选色，有12C 种方法；
共有111322CCC12 种方法；
故选：C.
4．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，0mm为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为modabm．若0122202020CC2C2a202020C2，mod10ab，则b的值可以是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】B
【分析】利用二项式定理可得10101a，再利用二项式定理展开即可得解.
【详解】因为0122202020CC2C2a202020C2
201010129101
0101928910101010C10C10C10C1011(mod10),
四个选项中，只有2021b时，除以10余数是1．
故选：B．
5．已知空间中三点1,0,0A，2,1,1B，012C，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．63 B．62 C．33 D．32
【答案】A
【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解．
【详解】依题意得1,1,2,1,1,1ACAB
则点C到直线AB的距离为
2216266333ACABdACAB
故选：A
6．如图所示，空间四边形OABC中，OAa，OBb，OCc，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则MN等于（ ） 第 3 页 共 14 页
A．111222abc
B．111222abc C．122121abc D．111222abc
【答案】A
【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：11111()22222MNONOMOBOCOAabc，
故选：A
7．已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过2次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ）
A．115 B．215 C．415 D．1415
【答案】A
【分析】把6个产品编号，用列举法写出两次测试的所有可能，计数后由概率公式计算可得．
【详解】2个次品编号为1，2，4个合格品编号为abcd,,,，不考虑前后顺序时两次测试的可能情形是：12,1,1,1,1,2,2,2,2,,,,,,abcdabcdabacadbcbdcd共15种，考虑前后顺序时两次测试的可能情形有30种，其中12，21这两种情形表示经过2次测试恰好将2个次品全部找出，
因此概率为213015P．
故选：A．
8．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率 第 4 页 共 14 页 C．事件B不发生条件下事件A发生的既率 D．事件A､B同时发生的概率
【答案】A
【分析】根据题意结合条件概率的公式，推出阴影部分的面积，可得其含义，即得答案.
【详解】由题意可知：
阴影部分面积为：(|)()(|)(1())()(|)()PABPBPABPBPABPABPB
()()()PABPABPA ,
故选：A
二、多选题
9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：mnmnnCC
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11rrrnnnCCC
C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：0122nnnnnnCCCC
D．由“11111，211121，3111331”猜想51115101051
【答案】ABC
【分析】根据杨辉三角的性质结合二项式定理即可判断.
【详解】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；
5505142332415555555111011010101010161051CCCCCC，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查杨辉三角的性质和二项式定理，属于基础题.
10．已知空间向量(2,1,1)a，(3,4,5)b，则下列结论正确的是（ ）
A．(2)//aba B．5||3||ab 第 5 页 共 14 页 C．(56)aab D．a与b夹角的余弦值为36
【答案】BC
【分析】根据空间向量平行的坐标表示，模的坐标运算，垂直的坐标表示，数量积的定义计算后判断．
【详解】解：因为2(1,2,7)ab，(2,1,1)a，而121211，故A不正确；
因为||6a，||52b，所以5||3||ab，故B正确：
因为2(56)565(411)6(645)0aabaab，故C正确；
又5ab，53cos,6652ab，故D不正确．
故选：BC.
11．下列说法中，正确的选项是（ ）．
A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列． B．A121mnnnnnm．
C．若组合式CCxmnn，则xm成立． D．222232341CCCCCnn．
【答案】BD
【分析】根据排列的而定义判断A;根据排列数公式判断B;根据组合数的性质判断C，D.
【详解】对于A，因为排列是有顺序的，因此元素相同顺序可能不同，这样的排列是不同的排列，故A错误；
对于B，根据排列数的公式A121mnnnnnm，正确；
对于C，组合式CCxmnn，则xm或xmn ，故C错误；
对于D，22223222322323234334441CCCCCCCCCCCCCCnnnnnn，故D正确，
故选：BD
12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.053 第 6 页 共 14 页 C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为1553
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053
【答案】BCD
【分析】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件iB：第i台车床加工的零件，则1(|)6%PAB，23(|)(|)5%PABPAB，1()30%PB，2()30%PB，3()40%PB，再依次求选项中的概率即可．
【详解】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件iB：第i台车床加工的零件，
则1(|)6%PAB，23(|)(|)5%PABPAB，
1()30%PB，2()30%PB，3()40%PB，
对于选项A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为1()6%30%0.018PAB，故错误；
对于选项B，任取一个零件是次品的概率为
123()()()()6%30%5%30%5%40%0.053PAPABPABPAB，故正确；
对于选项C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
2222()(|)()5%30%(|)()150.0535)3(PABPABPBPBAPAPA，故正确；
对于选项D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
3333()(|)()5%40%(|)()200.0535)3(PABPABPBPBAPAPA，故正确；
故选：BCD．
三、填空题
13．若17217012171111xaaxaxax，则012317aaaaa_________．
【答案】-1
【分析】运用赋值法，令x=0即可求解.
【详解】令x=0，则 1711x ，
21701217012171111aaxaxaxaaaa ，
故答案为：-1.
14．若直线l的方向向量为2,0,1v，平面的一个法向量为2,2,0n，则直线l与平面所成角的正弦值为_________．
