(完整版)基本不等式均值定理练习题

高二数学均值定理试题答案及解析1.下列不等式正确的是A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴A正确；∵，∴B错误；【考点】基本不等式．2.若实数，满足，则的最小值是A．18B．6C．D．【答案】B【解析】因为，所以当且仅当时“＝”成立.故选B.【考点】1、基本不等式2、指数式的运算.3.已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值为【答案】【解析】因为∠F1PF2＝90°，所以,因为，且，可解的。

因为，整理的，即，所以【考点】椭圆的概念和离心率问题，基本不等式4.已知正数满足，则的最小值为 .【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为．【考点】本题主要考查了对于基本不等式的掌握．5.若正数满足，则的最小值是__________.【答案】5【解析】所以3x+4y=(3x+4y)=【考点】1.基本不等式的应用.2.构造等式一边是1.6.设的最大值为（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】本题主要考查的是均值不等式。

由条件可知，所以。

又，所以，。

应选D。

7.设、、都是正实数，则，，这三个数（）A．都不小于2B．都不大于2C．至少有一个大于2D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】略8.设为正实数，求证：【答案】证明：因为为正实数,由平均不等式可得,即．所以而所以【解析】略9.设x,y∈R，a＞1，b＞1，若ax="by=3," a+b=2，则的最大值A．2B．C．1D．【答案】C【解析】略10.已知且,则的最小值为【答案】9【解析】略11.（本小题满分12分）已知、，且。

求证：。

【答案】略【解析】解法一：欲证原不等式成立，只要证：，即证：，由知………………………（4分）只要证：只要证：即证：……………………………………………………（8分）即证：即证：上式显然成立，故原不等式成立。

（完整版）均值不等式专题20道-带答案均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．若则的最⼩值是__________．2．若,且则的最⼤值为______________.3．已知，且，则的最⼩值为______．4．已知正数满⾜，则的最⼩值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最⼩值是______．6．设正实数满⾜，则的最⼩值为________7．已知，且，则的最⼩值是________8．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值是______9．已知，函数的值域为，则的最⼩值为________．10．已知，，且，则的最⼩值为__________．11．若正数x，y满⾜，则的最⼩值是______．12．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值为______．13．若，，，则的最⼩值为______．14．若，则的最⼩值为________.15．已知a，b都是正数，满⾜，则的最⼩值为______．16．已知，且，则的最⼩值为______．17．已知点在圆上运动，则的最⼩值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最⼩值为____．19．已知正实数，满⾜，则的最⼤值为______.20．已知，，则的最⼩值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利⽤基本不等式求解的最⼩值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题考查基本不等式求解和的最⼩值问题，关键是能够利⽤对数相等得到的关系，从⽽构造出符合基本不等式的形式. 2．【解析】【分析】先平⽅，再消元，最后利⽤基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最⼤值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最⼤值为，综上的最⼤值为【点睛】本题考查利⽤基本不等式求最值，考查基本分析求解能⼒，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利⽤代数式的恒等变换和利⽤均值不等式的应⽤求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满⾜，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】由题意可得经过圆⼼，可得，再+利⽤基本不等式求得它的最⼩值．【详解】圆，即，表⽰以为圆⼼、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆⼼，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最⼩值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应⽤，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最⼩值为8.【点睛】在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最⼩值是【点睛】由已知分离，然后进⾏1的代换后利⽤基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满⾜，则当且仅当且即，时取得最⼩值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是进⾏分离后利⽤1的代换，在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利⽤基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成⽴，所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题主要考查⼆次函数的图象与性质，以及基本不等式的应⽤，属于中档题. 在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另⼀边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应⽤，否则会出现错误.10．【解析】【分析】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利⽤基本不等式求最值,将所求式运⽤“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题. 11．【解析】【分析】利⽤乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满⾜，则，，当且仅当时取等号，故的最⼩值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应⽤属基础题．12．2【解析】【分析】利⽤“1”的代换，求得最值，再对直接利⽤基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满⾜，，，当且仅当，即，时，取等号，的最⼩值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应⽤，熟记不等式应⽤条件，多次运⽤基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最⼩值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最⼩值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运⽤，注意运⽤“1”的代换，考查化简运算能⼒，属于基础题．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利⽤，可得到最⼩值，要注意等号取得的条件。

b 3 3 3 3 3 基本不等式（均值定理）练习题 一、选择题 1. 若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的个数为( ) ①ab≤1;② + ≤ 2; ③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤ 1 + 1 ≥ 2. a b(A)1 (B)2(C)3 (D)4 2. 已知m = a + 1 （a > 2）, n = 2b 2 a - 2 b ≠ 0）, 则 m 、n 之间的大小关系是( )(A)m>n(B)m<n (C)m=n (D)不确定 3. 设m = 1 log x, n = log 1+ x , p = log 2x , 其中 0＜a ＜1,x ＞0 且 x≠1,则下列结论正确的是( ) 2 a a 2 a 1+ x （A ）m ＜n ＜p (B)m ＜p ＜n (C)n ＜m ＜p (D)n ＜p ＜m 4. 已知不等式（x + y)( 1 + a ) ≥ 9 对任意正实数 x,y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( ) x y (A)8 (B)6 (C)4(D)2 5. 设 a>0,b>0,若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 1 + 1 的最小值为()a b (A)8(B)4 (C)1 (D)146. 若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc= 4 - 2 3，则 2a+b+c 的最小值为() (A ) -1(B ) +1(C ) 2 + 2 (D ) 2 - 2 7. 设 x>y>z,n∈N *,且1 + 1 ≥ n 恒成立，则 n 的最大值是( ) x - y y - z x - z(A)2(B)3 (C)4 (D)5 二、填空题1. 在 4×+9×=60 的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和. 2. 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 .3. 若对任意 x>0, a ≥ x x 2 + 3x +1恒成立，则 a 的取值范围是 . 4. 函数 y=log a (x+3)-1(a ＞0 且 a≠1)的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 mn ＞0，则 1 + 2 的最小值为.m n 5. 若实数满足a + b = 2 ，则3a + 3b 的最小值是 .a2 三、解答题 1. 若log 4 x + log 4 y = 2 ，求 1 + 1 的最小值.并求 x,y 的值 x y2. 若 x , y ∈ R + 且2x + y = 1，求 1 + 1 的最小值x yy 2 3. 已知 x ，y 为正实数，且 x 2＋＝1，求 x 2 1＋y 2的最大值.4. 已知 a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求 a ＋b 的最小值。

第三节：基本不等式1、基本不等式：（1）如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a＞0，b＞0，a,b的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数2、基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正、二定、三相等三个正数的均值不等式：n个正数的均值不等式：3、四种均值的关系两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：4. 最值定理设x＞0,y＞0,由x+y≥（1）若积xy=P(定值），则和x+y有最小值；（2）若和x+y=S(定值），则积xy有最大值即:积定和最小，和定积最大.（不等式的证明）例1、证明基本不等式（跟踪训练）例2、（跟踪训练）例3、若x＞0,y＞0,x+y=1. 求证:（跟踪训练）若a、b、c是不全相等的正数，求证：（利用基本不等式求最值）例3、（跟踪训练1）（跟踪训练2）若x、y∈ , 则x+4y=1,求x.y的最大值例4、若正数a,b满足求a+b的最小值（跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。

（跟踪训练2）设x、y均为正数，且求xy的最小值。

例5、若x,y,z∈，x－2y+3z=0, 则的最小值为_________.（跟踪训练）若直线2ax－by+2=0(a＞b＞0）始终平分圆的周长，则的最小值为_________.例6、已知a、b都是正实数，且满足求4a+b的最小值（跟踪训练）设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的最大值为12，求的最小值（利用均值不等式判断不等式的成立）例7、设a＞0，b＞0，则下列不等式中不成立的是（）A. B.C. D.（跟踪训练）下列不等式不一定成立的是 ( )。