广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法

第二节 广义积分的收敛判别法

上一节我们讨论了广义积分的计算， 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值。 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．

定理9.1（Cauchy收敛原理）f（x)在[a， +∞ )上的广义积分adxxf)(收敛的充分必要条件是：0, 存在A>0, 使得b, b〉A时，恒有

|)(|/bbdxxf

证明：对blim0)(bdxxf使用柯西收敛原理立即得此结论．

同样对瑕积分badxxf)(（b为瑕点）, 我们有

定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在［a,b)上有定义，在其任何闭子区间［a， b–]上常义可积，则瑕积分badxxf)(收敛的充要条件是: 0 , 0, 只要0</，就有

|)(|/bbdxxf

定义9。5如果广义积分adxxf|)(|收敛，我们称广义积分adxxf)(绝对收敛（也称f（x）在[a,+)上绝对可积］; 如adxxf)(收敛而非绝对收敛,则称adxxf)(条件收敛，也称f（x)在[a，+)上条件可积．

由于aAA/,，均有

|)(|/AAdxxf/|)(|AAdxxf

因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．

定理9.3如果广义积分adxxf)(绝对收敛，则广义积分adxxf)(必收敛．

它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子.

对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．

下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法．

比较判别法：

定理9。4（无限区间上的广义积分）设在[a,+）上恒有),()(0xkxf（k为正常数）

则当adxx)(收敛时， adxxf)(也收敛;

当adxxf)(发散时， adxx)(也发散．

证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．

对瑕积分有类似的结论判别法

定理9.5 设f（x)， g（x） 均为［a,b）上的非负函数，b为两个函数的奇点,如存在一个正常数k， 使

xxkgxf),()(0[a, b)， 则 1） 如badxxg)(收敛，则badxaf)(也收敛。

2）如badxxf)(发散，则badxxg)(也发散．

比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．

定理9。6 如果f（x), g（x)是[a,+)上的非负函数， 且,)()(limlxgxfx

则

(1) 如果l0, 且adxxg)(收敛， 则积分adxxf)(也收敛．

（2) 如果l0， 且adxxg)(发散，则积分adxxf)(也发散．

证明：如果,0)()(limlxgxfx 则对于)0(0l， 存在A，

当Ax时， lxgxfl)()(0

即)()()()()(xglxfxgl成立. 显然adxxf)(与adxxg)(同时收敛或同时发散，在l=0或 l=时，可类似地讨论。

使用同样的方法，我们有

定理9。7 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分badxxf)(与badxxg)( 如果f（x）, g （x) 是非负函数,且,)()(limlxgxfbx 则

（1） 当l0， 且badxxg)(收敛时，则badxxf)(也收敛．

（2） 当l0，且badxxg)(发散时，则badxxf)(也发散．

对无限区间上的广义积分中，取apdxx1作比较标准,则得到下列Cauchy判别法：设f（x）是[a，+)的函数，在其任意闭区间上可积，那么: 定理9.8 若0f（x)pxc， p〉1，那么积分adxxf)(收敛,如f(x）pxc，p1,则积分adxxf)(发散．

其极限形式为

定理9。9 如xlimlxfxp)( (l0， p〉1)， 则积分adxxf)(收敛．

如blimlxfxp)(， 而l0, p1， 则adxxf)( 发散。

例9。8 判断下列广义积分的收敛性.

(1） 111)11ln(dxxx

(2） 11dxxxnm （m〉0， n>0）

解：（1）因为0xx11)11ln(

xx111 21)1(1xxx

由121dxx收敛推出111)11ln(dxxx收敛．

（2）因为xlim,11nmmnxxx 所以当n－m〉1时，积分11dxxxnm收敛。 当n－m1时，积分11dxxxnm发散．

对于瑕积分，使用bapdxax)(1作为比较标准，我们有下列柯西判别法． 定理9.10 设x=a是f（x)在[a,b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么

（1） 如0f（x）paxc)( (c〉0)， p<1, 则badxxf)(收敛．

（2） 如f(x）paxc)( （c>0)， p1, 则badxxf)(发散．

瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为

定理9。11 设kxfaxpax)()(lim

如0k〈， p〈1, 则badxxf)(收敛

如0

例9.9 判别下列瑕积分的敛散性.

（1） 10222)1)(1(xkxdx （k2<1)

（2) 20cossinxxdxqp （p,q>0)

解:（1）1是被积函数的唯一瑕点

因为 1limx)1)(1()1(22221xkxdxx =)1(212k

由21p知瑕积分收敛．

（2)0与2都是被积函数的瑕点．

先讨论,cossin40xxdxqp 由0limx1cossin1xxxqpp

知： 当p<1时, 瑕积分40cossinxxdxqp收敛； 当p1时,瑕积分40cossinxxdxqp发散．

再讨论 24cossinxxdxqp

因2limx1cossin1)2(xxxqpp

所以当 q〈1时， 瑕积分24cossinxxdxqp收敛，

当q1时，瑕积分24cossinxxdxqp发散．

综上所述，当p〈1且q〈1时， 瑕积分20cossinxxdxqp收敛; 其他情况发散．

例9.10 求证: 若瑕积分10)(dxxf收敛，且当0x时函数f(x)单调趋向于+，则0limxx f(x)=0.

证明：不妨设]1,0(x, f(x)0， 且f（x）在(0， 1）上单调减少。

已知10)(dxxf收敛，由柯西收敛准则,有

0, 0（<1）， x0有

,)(2xxdttf

从而

0〈)(2xfxxxdttf2)(

或

0

例9.11 求证瑕积分10)]cos1([1dxxx(〉0）, 当〈31时收敛

当31时发散。

证明：∵0limx)]cos1([3xxx=0limx233cos1xxxx

=0limx2cos112xx

所以当3〈1时，即<31时，瑕积分收敛．当31，即31时，瑕积分发散．

前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论,我们先给出下面的重要结果．

定理9.12（积分第二中值定理）设g（x）在[a，b]上可积,f(x）在［a,b]上单调,则存在ξ[a，b] 使

badxxgxf)()(=aadxxfbgdxxfag)()()()(

为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．

引理9。1设f(x)在[a， b］上单调下降并且非负，函数g(x）在[a,b］上可积，则存在c[a,b]，使

badxxgxf)()(=f（a)cadxxg)(

证明：作辅助函数)(x= f(a）,)(xadttg 对[a,b］的任一分法

P： a=x0〈x1〈x2<…〈xn=b 我们有

badxxgxf)()(=dxxgxfnixxii)()(11

由此得到

|badxxgxf)()(－dxxgxfnixxiii)()(111｜

=｜dxxgxfxfinixxii)()]()([111｜

dxxgxfxfinixxii|)(||)()(|111

)(1fLnii△xi

这里L是｜g（x)|在[a，b]的上界, )(fwi是)(xf在iixx,1上的振幅，从这个估计式可知, 当P0时，应当有

dxxgxfnixxiii)()(111badxxgxf)()(

我们来证明

)(min],[xbaxdxxgxfnixxiii)()(111)(max],[xbax

为此，引入记号

G(x)= xadttg)(

并作如下变换

dxxgxfnixxiii)()(111

=)]()([)(111iiniixGxGxf =)()(11iniixGxf)()(111iniixGxf

=)()(11iniixGxf)()(10iniixGxf

=)()(11iniixGxf)()(11iniixGxf （0)()(0aGxG)

=)(])()([11iniiixGxfxf)()(nnxGxf

因为0)()(1iixfxf， )(nxf0，

所以

dxxgxfnixxiii)()(111

=)(])()([11iniiixGxfxf)()(nnxGxf

｛)(])()([11nniiixfxfxf})(min],[xGbax

=)(min)(],[xGafbax

同样可证

dxxgxfnixxiii)()(111)(max)(],[xGafbax

我们证明了不等式

)(min)(],[xGafbaxdxxgxfnixxiii)()(111)(max)(],[xGafbax

即

)(min],[xbaxdxxgxfnixxiii)()(111)(max],[xbax

现令｜p｜0, 取极限，就得到