1§2 无穷积分的性质与收敛判别
1．证明定理11.2及其推论1
定理11.2（比较法则）设定义在[),+∞a
上的两个函数f
和g
都在任何区间],[ua
上可
积，且满足),[),(|)(|+∞∈≤axxgxf
，则当∫+∞
adxxg)(
收敛时，∫+∞
adxxf|)(|
必收敛（或
者，当∫+∞
adxxg)(
收敛，所以aA>∃
，当Auu>>
12时，有∫<2
1)(u
udxxgε
由于)(|)(|xgxf≤
，),[+∞∈∀ax
，因此更有∫∫<≤2
12
1)(|)(|u
uu
udxxgdxxfε
，故
∫+∞
adxxf|)(|
收敛。
推论1 若f
和g
都在任何],[ua
上可积，1)(>xg，且c
xgxf
x=
∞→)(|)(|
lim
，则有
（I）当+∞<
时，∫+∞
adxxf|)(|
与dxxg
a∫+∞
)(
同敛态；
（ii）当0=c
时，由∫+∞
adxxg)(
收敛可推知，dxxf
a|)(|∫+∞
出收敛；
（iii）当+∞=c
时，由∫+∞
adxxg)(
发散可推知∫+∞
adxxf|)(|
也发散。
证：（I）因为+∞<=<
+∞→c
xgxf
x)(|)(|
lim0
，所以)(0c<>∀εε
存在aA>
，使得当Ax>时，有εε+<<−
xgxf
c
)(|)(|
0
，即
dxxgcxfxggc)()(|)(|)(()(0εε+<<−<
（*）
从而，若∫+∞
adxxg)(
收敛，那么∫+∞
+
Adxxgc)()(ε
收敛。于是由
∫∫+∞
+=A
aAdxxfdxxfdxxf|)(||)(||)(|
收敛。
若∫+∞
adxxg)(
发散，则∫+∞
−
Adxxgc)()(ε
发散，而|,)(|)()(0xfxgcε−<
故
∫+∞
adxxf|)(|
发散，即∫+∞
adxxf||(|
发散。综合即知，∫+∞
adxxf|)(|
与∫+∞
adxxg)(
同敛态。
（ii）在（*）中令0=c
，取右半个不等式，类似可证得结论。
（iii）在（*）中取1=−εc
，用左半个不等式即将得证。
2．设f
与g
反常积分的狄利克雷判别法
狄利克雷判别法（Dirichlet's Test）是用来判别反常积分是否收敛的一种方法。
狄利克雷判别法的主要观点是，如果一个函数的部分和序列有界，并且这个函数的单调性逐渐趋于零，那么对应的反常积分就是收敛的。
具体来说，狄利克雷判别法包括以下两个条件：
1. 对于一个函数f(x)，对于所有的x，当x趋于正无穷时，|∫(a,x)f(t)dt|有界。也就是说，该函数的积分在一定范围内是有界的。
2. 对于一个函数f(x)，当x趋于正无穷时，f(x)是单调递减趋于零的。也就是说，该函数的值在逐渐减小，在无穷远处趋于零。
如果一个函数满足以上两个条件，那么该函数对应的反常积分就是收敛的。
狄利克雷判别法在求解反常积分的收敛性时非常有用，它简化了判别的过程，并提供了一种有效的方法来判别反常积分是否收敛。然而，它并不适用于所有的情况，因此在应用时需要考虑其他的判别方法。
微积分中的级数收敛与发散判定
微积分中的级数是由一系列数相加或相乘而成的数列。级数的收敛与发散是微积分中的重要概念，对于理解和应用微积分具有重要意义。本文将介绍级数的收敛和发散的判定方法，并探讨级数的应用。
一、级数的定义
在微积分中，级数是由一个无穷数列的和所组成的数列。设有数列{a₁, a₂,
a₃, ...}，则对应的级数可以表示为：
S = a₁ + a₂ + a₃ + ...
二、级数的收敛与发散
1. 收敛：如果级数的部分和数列{S₁, S₂, S₃, ...}存在有限的极限L，即lim(Sₙ) = L (n趋向于无穷大)，则称级数收敛，记作∑(n=1 to ∞) aₙ = L。
2. 发散：如果级数的部分和数列{S₁, S₂, S₃, ...}不存在有限的极限，即lim(Sₙ)不存在或为无穷大，则称级数发散。
三、级数收敛的判定方法
级数的收敛与发散判定是微积分中的重要内容，有多种方法可供选择。
1. 正项级数判定法
如果级数的每一项都是非负数，且数列{a₁, a₂, a₃, ...}单调递减，则级数收敛。即若aₙ ≥ 0，且aₙ ≥ aₙ₊₁，则∑(n=1 to ∞) aₙ收敛。
2. 比值判别法
对于级数∑(n=1 to ∞) aₙ，计算相邻两项的比值的极限lim(aₙ₊₁/aₙ)，若该极限存在且小于1，则级数收敛；若该极限大于1或不存在，则级数发散。 3. 根值判别法
对于级数∑(n=1 to ∞) aₙ，计算相邻两项的根值的极限lim(n次方根(|aₙ|))，若该极限存在且小于1，则级数收敛；若该极限大于1或不存在，则级数发散。
4. 积分判别法
对于函数f(x)，如果f(x)在区间[a, ∞)上单调递减且非负，则级数∑(n=1 to ∞) f(n)与定积分∫(a to ∞) f(x)dx具有相同的收敛性。
四、级数发散的判定方法
级数的发散判定方法相对简单，以下为两种常见的方法。
本节阐述广义积分收敛原理及判别法
1、正文
1.1广义积分收敛原理
无穷限积分收敛原理
1处：这里采用的是柯西收敛原理，而我们知道柯西收敛原理和语言的极限定义是等价的。
因为只是判定积分是否收敛，那么用柯西收敛原理是更好的。
无穷限积分的比较判别法
无穷限积分判别法的重点是找到满足条件的。 绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。条件发散可推出绝对发散，但反之不然。
注记
1处：无穷下限的积分，我初步尝试了一下，发现和无穷上限的积分收敛原理和比较判别法是一样的。 2处：双无穷限的积分不难，就是判断无穷下限的积分和无穷上限的积分是否同时收敛。
瑕积分收敛原理 注意这个指的是点的左开区间。
瑕积分收敛的比较判别法
绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。条件发散可推出绝对发散，但反之不然。
注记 1.左端点的无界积分的收敛原理和比较判别法是类似的。 2.对于区间中有一瑕点的无界积分，其要义是判定区间和的无界积分是否同时成立。
注意！
无论是无穷限积分还是无界积分，都要求它们的子闭区间是黎曼可积的。
1.2广义积分收敛判别法
无穷限积分收敛判别法的比较形式
