２００２ｆｔ．４ Ｈ 第２２卷第２期 灭床师范学院学报 Ｊｏｕｍａ１ ０ｆ Ｔｉｚｎｓｈｕｉ ＮｏｒｍａＩ Ｕｎｉｖｅｒｓ Ａｐｒ、２００２ Ｖｏ１．２２ＮＯ ２
无穷限广义积分的几种计算方法
刘开生，杨钟玄
（兀水师范学院数学系，【ｌ 兀床７４］Ｏ０Ｉ）
摘要：利用数学分析．复变函数、概率统计理论给出计算广义积分的几种方法．在教学中运用这几种方法 可开拓学生视野，激发学生学习数学的＊趣． 关键词：广义积分；计算方法 中国分类号：０Ｉ ７２．２ 文献标识码：ｅ 文章编号：１３７１－１３５ｌ（２００２）０２．０００９ ０２
方法一：利用广义积分的定义求广义积分 划广义积分ｒ ，（ｘ）ｄｒ
若ｖ Ａ＞０ Ｉｉｍ ｒ ｒ（ｘ）ｄｒ Ａ… 称广义积分上ｆ（ｘ）ｄｒ收敛且称上上￡极限值 为广义积分的值日ｌｊ ｒ ，（ ）ｄｒ＝ ｆ，（ ）ｄｒ
故可看出，广义积分山定义计算可分两步： Ｉ．求定积分 Ｉ ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（Ａ）
２・取极限 ｜ｉ—ｒａ ｒ，（ ）出＝ ｉ Ｆ（ ） ｔ￣／Ｉ］Ｉ汁算ｒ ！ｄｒ （ —１）
（１）￡ ＝Ｉ ｔ 一÷ 出
； 』 ＋ｌｎ ２ Ａ （２）Ｉｈ…ｎ［Ｉｎ ｝．Ｉｎ ２１：【ｊ１
ｆ“ ：Ｉｎ ２ ｆ 一Ｉ
方法＿：利用一重积分理论计算广义积分 利用＿重积分计算广义积分时．麻分两步 】．把广义积分巧妙的化为一个一 重机分；２．计 算＿重积分．从而问接地汁算出广义积分的值。 例２汁算广义积分ｆ Ｐ一 ！ｄｒ
山于ｒ 。 ｄｒ＝ ‘：ｄｒ
． 【ｒ 一 ｄｘ］ ＝Ｉ＋ 一 ：ｄｒ・ｒ ｅ ｄｒ
ｅ 一ｄｘ・ ｅ ｄｒ＝珏ｅ－（ ’
其却Ｄ：ｆｏ．＋一）ｘｆＯ．＋一） ｅ １ ｄｘ）３＝ｇ ｄｙ
而 Ｐ ” ＝ ￣ＰＩ ８９）
．：，： ｄｒ：孚
例３计算广义积分，＝ｆ：暑 ｓｉｎｂｘ－ｓｉｎａｘ ｄｘ
冈为 ！型＝；￣ｃｏｓｘｙ
所以，＝ ： Ｐ ｓｉｎｂｘ－ｓｉｎａｘ ｄ２ｃ
数项级数与无穷限广义积分
魏正刚
（石家庄铁道大学四方学院 河北石家庄０５００２８） 学术论坛
摘要：本文在学习过数嘎级数与无穷限广义积分的基础上，为了更深刻巩固我们所学过的基本内容，就两者的定叉。性质．判别法等方 面给出了对照，就相似结论给出了证明，以达到更清楚地认识数项级数与无穷限广义积分是平行理论的目的。
关键词：收敛 发散 数璜级数 姥对收敛 条件收敛 中图分类号：ｏ１ ７２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－－３７９１（２０１ｏ）ｏ４（ｃ）一０２５０－－０１
设， ）＝ｒ厂 ，由函数极限和数列
极限的关系知道：Ｊ ， ）存在的充分必
要条件是对任何数列 ｝， ＋ｍ，数列 ｆ， ））收敛，并且有同一极限值。现在，我们
任意取一个数列 ）， 佃，并设
Ａｏ＝ ，那么ｒ／ ＝ｅ＿， ＋ ／
＋…＋ ， ，记 ＝ ｉ， ，于是
ｒ ／ 一 ＝ 。因此，
如果积分Ｉ，ｂ 收敛于Ｌ，那么每一个 衄
这样的级数己 ｔ也收敛于 。由此得到以
下推论：如果找到一个数列｛ ｝，使所作出
的级数己 不收敛，或是找到两个数列，
使所作出的两个级数不收敛于同一值，就
能断定Ｉ厂 不收敛。另一方面，每一无穷
级数己 ，可以看作一个阶梯函数的无穷积
分这只要置ｆ（ｘ）＝ ，Ｊｊ｝ ＜ｋ＋１，因而
． ＊∞ 、 ∑ ＝ｊ 。由此我们说数项级数
和无穷限广义积分是存在某种联系的，而
事实上两者是平行的理论。本文将要通过
定义、性质、判别法等方面来说明这一点。
这样一来，如果我们已经熟悉了数项级数
的知识，那么，这必然会有助于我们掌握广
义积分的有关问题。
１数项级数与无穷限广义积分定义、性质
等的相似对比
（１）定义对比。
①数项级数定义：一系列无穷多个数
ｚ，ｌ， ２， ，…，甜 ，…写成和式 ｌ＋甜２＋ ＋…
＋” ＋…就称为无穷级数，记为乙 。对
任何一个无穷级数厶 ，我们总可以作出
ｌ
一个数列 ＝ ：１，２，３…），并称 为级
§5—4 广义积分
一、无穷区间上的广义积分
例1 如图，若求以y=21x为曲顶、[21，A]为底的
单曲边梯形的面积S(A)，则是一个典型的定积分问题，
S(A)=Adxx
2211=2－A1．
现在若要求由x=21， y=21x和x轴所“界定”的区
域的“面积”S，则因为面积累积区域是[21，+]，它已
经不是定积分问题了，也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S(A)，即定积分的极限来得到S：
S=)12(lim)(lim1lim
221AASdxxAAAA=2．
定义1 设函数f(x)在 [a，+)内有定义，对任意A[a，+)，f(x)在[a，A]上可积(即定积分Aadxxf
)(存在)，称极限AaAdxxf
)(lim为函数f(x)在[a，+)上的无穷区间广义积分(简称无穷积分)，记作
)(adxxf，即
)(adxxf=AaAdxxf
)(lim． (1)
若(1)右边的极限存在，则称无穷积分
)(adxxf收敛；否则就称为发散．
例1的问题可以用无穷积分表示为S=
2211dxx，而且这个无穷积分是收敛的．
同样可以定义
bAAbdxxfdxxf
)(lim)( (极限号下的积分存在);
)(dxxf=BaBaAAdxxfdxxf
)(lim)(lim (2)
(两个极限号下的积分都存在，a(－，+))．
第二节 广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的,有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用,对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值。 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 - 积分收敛,否则其结果毫无意义。 因此,判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．
定理9。1(Cauchy收敛原理）f（x）在[a, +∞ ）上的广义积分adxxf)(收敛的充分必要条件是：0， 存在A>0, 使得b， b>A时，恒有
|)(|/bbdxxf
证明：对blim0)(bdxxf使用柯西收敛原理立即得此结论．
同样对瑕积分badxxf)((b为瑕点）, 我们有
定理9。2(瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在［a，b)上有定义，在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积,则瑕积分badxxf)(收敛的充要条件是： 0， 0, 只要0</，就有
|)(|/bbdxxf
定义9.5如果广义积分adxxf|)(|收敛，我们称广义积分adxxf)(绝对收敛（也称f（x)在[a，+)上绝对可积］; 如adxxf)(收敛而非绝对收敛，则称adxxf)(条件收敛，也称f（x）在［a,+)上条件可积．
由于aAA/,，均有
|)(|/AAdxxf/|)(|AAdxxf
因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．
定理9.3如果广义积分adxxf)(绝对收敛，则广义积分adxxf)(必收敛．
它的逆命题不一定成立,后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分,类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．
